Страница 201 — Глава 4. Работа и мощность. Энергия. § 59…

Энергия — физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершить работу. Если тело может совершить работу, говорят, что оно обладает энергией. Чем большую работу может совершить тело, тем большей энергией оно обладает. При совершении работы энергия тела уменьшается, причём совершённая работа равна убыли энергии. Например, сжатая пружина, поднятый над землёй груз и движущийся молоток обладают энергией, потому что могут совершить работу.

Энергию измеряют в джоулях (Дж), так же как и работу. Единицы одинаковы потому, что работа есть мера изменения энергии: совершённая работа равна убыли энергии тела (или её увеличению, если работу совершают над телом). Две величины, одна из которых определяет изменение другой, должны измеряться в одних и тех же единицах. Кроме того, и кинетическая энергия E = mv²/2, и потенциальная E = mgh при подстановке единиц дают кг · м²/с² = Н · м = Дж, то есть единицу работы.

Существуют механическая, внутренняя, электрическая, атомная (ядерная) и другие виды энергии. Они отличаются тем, с какими свойствами тел и явлениями связаны: механическая — с движением тел и их взаимным расположением, внутренняя — с движением и взаимодействием частиц, из которых состоит тело (с его теплотой), электрическая — с электрическими зарядами и током, атомная — с превращениями атомных ядер. В механике рассматривают два вида механической энергии. Кинетическая энергия — энергия движущегося тела, она зависит от его массы и скорости. Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей тела, она зависит от их взаимного расположения (например, высоты поднятия тела над Землёй или деформации пружины).

Кинетической энергией обладают любые движущиеся тела: летящая пуля, едущий автомобиль, текущая вода, бегущий человек, катящийся с горки шарик, движущийся молоток. Кинетическая энергия вычисляется по формуле Eк = mv²/2, поэтому она равна нулю, если скорость тела равна нулю. Чтобы уменьшить кинетическую энергию до нуля, нужно остановить тело. Для этого тело должно совершить работу против тормозящих сил (трения, сопротивления), равную своей кинетической энергии: именно так тормозит автомобиль, останавливаясь под действием силы трения.

Потенциальной энергией обладают тела, поднятые над землёй (например, груз на крыше, вода в плотине, самолёт в воздухе) — это энергия взаимодействия тела и Земли. Потенциальной энергией обладают также упруго деформированные тела — сжатая или растянутая пружина, согнутая линейка, натянутая тетива лука, сжатый газ: в них части тела взаимодействуют друг с другом силами упругости. Во всех случаях тело способно, возвращаясь в исходное состояние или падая, совершить работу.

Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия, а сила взаимодействия и работа этой силы зависят от того, как расположены взаимодействующие тела друг относительно друга. Чем выше тело поднято над Землёй, тем большую работу сила тяжести совершит при его падении, значит, тем больше потенциальная энергия (Eп = mgh). Чем сильнее сжата или растянута пружина, тем большую работу совершат силы упругости при возвращении в недеформированное состояние. Если взаимное расположение тел или частей тела не меняется, то и их потенциальная энергия остаётся прежней.

Нужно показать, что падающее тело способно совершить работу. Можно взять груз (например, металлический цилиндр), поднять его на некоторую высоту над вбиваемым в песок колышком или над деревянным бруском и отпустить. Падая, груз вбивает колышек в песок или сдвигает брусок, то есть совершает работу. Если поднять тот же груз выше, колышек уйдёт глубже: груз совершит большую работу, значит, на большей высоте его потенциальная энергия больше. Опыт с более тяжёлым грузом, поднятым на ту же высоту, покажет большую работу и подтвердит зависимость энергии от массы.

Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй, определяется формулой Eп = mgh, где h — высота над выбранным нулевым уровнем. При движении по горизонтали высота тела не меняется, масса и ускорение свободного падения тоже остаются прежними, поэтому Eп не изменяется. Иначе говоря, сила тяжести направлена вертикально и при перемещении по горизонтали работы не совершает (перемещение перпендикулярно силе), а значит, и энергия взаимодействия тела с Землёй остаётся неизменной.

Механической энергией тела (системы тел) называют сумму его кинетической и потенциальной энергий: E = Eк + Eп. Для системы тел кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий отдельных тел, а потенциальная — сумме потенциальных энергий всех пар взаимодействующих тел. Например, летящий самолёт обладает потенциальной энергией, так как находится на высоте над Землёй, и кинетической энергией, так как движется относительно Земли; его механическая энергия равна их сумме.

Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй, вычисляется по формуле Eп = mgh. Она прямо пропорциональна каждой из трёх величин: ускорению свободного падения g, массе тела m и высоте h. Если одну из этих величин увеличить в несколько раз, а две другие оставить без изменения, то потенциальная энергия увеличится во столько же раз. Например, на Луне, где g меньше примерно в 6 раз, потенциальная энергия того же тела на той же высоте в 6 раз меньше, чем на Земле; при удвоении массы или высоты энергия тоже удваивается.

Потенциальная энергия Eп = mgh. Высота h и ускорение g у обоих тел одинаковы, значит, энергия определяется массой. Масса m = ρV; объёмы одинаковы, поэтому больше масса у вещества с большей плотностью. Плотность свинца (около 11 300 кг/м³) значительно больше плотности мрамора (около 2700 кг/м³), так что масса куска свинца примерно в 4 раза больше. Следовательно, большей потенциальной энергией обладает кусок свинца.

Дано:
m₁ = m
m₂ = 2m
v₁ = v₂ = v
Найти: Eк₂ / Eк₁.
Решение:
Eк₁ = mv²/2, Eк₂ = 2m · v²/2 = mv².
Eк₂ / Eк₁ = mv² / (mv²/2) = 2.
Ответ: Eк₂ = 2Eк₁, то есть кинетическая энергия тела массой 2m вдвое больше.
Вывод: при одинаковых скоростях кинетическая энергия прямо пропорциональна массе тела.

Дано:
m₁ = m₂ = m
v₁ = 2v₂
Найти: Eк₁ / Eк₂.
Решение:
Eк₁ = m(2v₂)²/2 = 4 · mv₂²/2, Eк₂ = mv₂²/2.
Eк₁ / Eк₂ = 4.
Ответ: Eк₁ = 4Eк₂, то есть кинетическая энергия первого тела в 4 раза больше.
Вывод: кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости; увеличение скорости в 2 раза увеличивает энергию в 4 раза.

Дано:
m = 0,5 кг
v = 72 км/ч = 72 · 1000 м / 3600 с = 20 м/с
Найти: Eк.
Решение:
Eк = mv²/2 = 0,5 кг · (20 м/с)² / 2 = 0,5 · 400 / 2 Дж = 100 Дж.
Ответ: Eк = 100 Дж.

Дано:
m = 50 кг
Eк = 1,6 кДж = 1600 Дж
Найти: v; как изменится Eк при изменении скорости в 2 раза.
Решение:
Из Eк = mv²/2 получаем v² = 2Eк / m, v = √(2Eк / m) = √(2 · 1600 Дж / 50 кг) = √64 м²/с² = 8 м/с.
Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости. Если скорость увеличить вдвое, энергия увеличится в 2² = 4 раза: Eк' = 6400 Дж = 6,4 кДж. Если скорость уменьшить вдвое, энергия уменьшится в 4 раза: Eк' = 400 Дж.
Ответ: v = 8 м/с; при увеличении скорости вдвое энергия увеличится в 4 раза (при уменьшении вдвое — уменьшится в 4 раза).

Дано:
ΔEк = 50 Дж
Найти: A.
Решение:
Работа равна изменению кинетической энергии: A = ΔEк = 50 Дж. Если человек разгоняется, он совершает работу над собой, увеличивая энергию на 50 Дж; если тормозится, то работа совершается против его движения и энергия уменьшается на те же 50 Дж.
Ответ: A = 50 Дж.

Дано:
m₁ = m, h₁ = 2h
m₂ = 2m, h₂ = h
Найти: Eп₁ / Eп₂.
Решение:
Eп₁ = m · g · 2h = 2mgh.
Eп₂ = 2m · g · h = 2mgh.
Eп₁ / Eп₂ = 1.
Ответ: Eп₁ = Eп₂.
Вывод: потенциальная энергия пропорциональна произведению массы на высоту, поэтому уменьшение массы вдвое при увеличении высоты вдвое не меняет энергию.

Дано:
m = 10 кг
h = 6 м
g = 10 Н/кг
Найти: ΔEп.
Решение:
ΔEп = mgh = 10 кг · 10 Н/кг · 6 м = 600 Дж.
Ответ: потенциальная энергия увеличивается на 600 Дж.