Глава II. Дополнительные упражнения. К параграфу 5 (продолжение) — с. 93
378. График линейной функции, заданной формулой вида y = kx + 1, параллелен графику функции y = −0,4x. Найдите значение коэффициента k и выясните, принадлежит ли этому графику точка M(50; −19).
Графики линейных функций y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, когда k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂. Здесь b = 1 ≠ 0, значит, нужно взять k = −0,4. Формула: y = −0,4x + 1.
Проверим точку M(50; −19): при x = 50 получаем y = −0,4·50 + 1 = −20 + 1 = −19. Ордината совпадает с ординатой точки M, поэтому точка M принадлежит графику.
Ответ: k = −0,4; да, принадлежит.
Проверим точку M(50; −19): при x = 50 получаем y = −0,4·50 + 1 = −20 + 1 = −19. Ордината совпадает с ординатой точки M, поэтому точка M принадлежит графику.
Ответ: k = −0,4; да, принадлежит.
379. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку A(2; 3) и параллельная графику функции y = 1,5x − 3. Постройте её график.
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, поэтому искомая функция имеет вид y = 1,5x + b.
Прямая проходит через A(2; 3): 3 = 1,5·2 + b, откуда b = 0. Формула: y = 1,5x (прямая пропорциональность).
Для построения достаточно двух точек: (0; 0) и (2; 3). Проводим через них прямую (она изображена красным; чёрным пунктиром показан график данной функции y = 1,5x − 3).
Ответ: y = 1,5x.
Прямая проходит через A(2; 3): 3 = 1,5·2 + b, откуда b = 0. Формула: y = 1,5x (прямая пропорциональность).
Для построения достаточно двух точек: (0; 0) и (2; 3). Проводим через них прямую (она изображена красным; чёрным пунктиром показан график данной функции y = 1,5x − 3).
Ответ: y = 1,5x.
380. График линейной функции — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку M(5; 8). Задайте эту функцию формулой.
Прямая, параллельная оси абсцисс, состоит из точек с одной и той же ординатой, то есть задаётся формулой y = b (k = 0). Так как она проходит через M(5; 8), ордината равна 8.
Ответ: y = 8.
Ответ: y = 8.
381. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций: а) y = 4x + 9 и y = 6x − 5; б) y = 16x − 7 и y = 21x + 8; в) y = 10x − 7 и y = 5; г) y = 0,1x и y = 14.
В точке пересечения значения функций равны, поэтому приравниваем правые части, находим x, затем y.
а) 4x + 9 = 6x − 5; 14 = 2x; x = 7; y = 4·7 + 9 = 37. Точка (7; 37).
б) 16x − 7 = 21x + 8; −15 = 5x; x = −3; y = 16·(−3) − 7 = −55. Точка (−3; −55).
в) 10x − 7 = 5; 10x = 12; x = 1,2; y = 5. Точка (1,2; 5).
г) 0,1x = 14; x = 140; y = 14. Точка (140; 14).
Ответ: а) (7; 37); б) (−3; −55); в) (1,2; 5); г) (140; 14).
а) 4x + 9 = 6x − 5; 14 = 2x; x = 7; y = 4·7 + 9 = 37. Точка (7; 37).
б) 16x − 7 = 21x + 8; −15 = 5x; x = −3; y = 16·(−3) − 7 = −55. Точка (−3; −55).
в) 10x − 7 = 5; 10x = 12; x = 1,2; y = 5. Точка (1,2; 5).
г) 0,1x = 14; x = 140; y = 14. Точка (140; 14).
Ответ: а) (7; 37); б) (−3; −55); в) (1,2; 5); г) (140; 14).
382. Графики линейных функций y = 3x + 2, y = −2x + 3 и y = 0,5x − 2 ограничивают треугольник. Лежит ли начало координат внутри этого треугольника?
Найдём вершины треугольника — точки попарного пересечения прямых.
1) y = 3x + 2 и y = −2x + 3: 3x + 2 = −2x + 3, x = 0,2, y = 2,6. Вершина (0,2; 2,6).
2) y = 3x + 2 и y = 0,5x − 2: 3x + 2 = 0,5x − 2, 2,5x = −4, x = −1,6, y = −2,8. Вершина (−1,6; −2,8).
3) y = −2x + 3 и y = 0,5x − 2: −2x + 3 = 0,5x − 2, 5 = 2,5x, x = 2, y = −1. Вершина (2; −1).
Внутренность треугольника — это точки, лежащие по ту же сторону от каждой прямой, что и противоположная вершина.
Прямая y = 3x + 2: начало координат ниже неё (0 < 2); вершина (2; −1) тоже ниже (−1 < 8). Одна сторона.
Прямая y = −2x + 3: начало координат ниже (0 < 3); вершина (−1,6; −2,8) тоже ниже (−2,8 < 6,2). Одна сторона.
Прямая y = 0,5x − 2: начало координат выше (0 > −2); вершина (0,2; 2,6) тоже выше (2,6 > −1,9). Одна сторона.
Ответ: начало координат лежит внутри треугольника.
1) y = 3x + 2 и y = −2x + 3: 3x + 2 = −2x + 3, x = 0,2, y = 2,6. Вершина (0,2; 2,6).
2) y = 3x + 2 и y = 0,5x − 2: 3x + 2 = 0,5x − 2, 2,5x = −4, x = −1,6, y = −2,8. Вершина (−1,6; −2,8).
3) y = −2x + 3 и y = 0,5x − 2: −2x + 3 = 0,5x − 2, 5 = 2,5x, x = 2, y = −1. Вершина (2; −1).
Внутренность треугольника — это точки, лежащие по ту же сторону от каждой прямой, что и противоположная вершина.
Прямая y = 3x + 2: начало координат ниже неё (0 < 2); вершина (2; −1) тоже ниже (−1 < 8). Одна сторона.
Прямая y = −2x + 3: начало координат ниже (0 < 3); вершина (−1,6; −2,8) тоже ниже (−2,8 < 6,2). Одна сторона.
Прямая y = 0,5x − 2: начало координат выше (0 > −2); вершина (0,2; 2,6) тоже выше (2,6 > −1,9). Одна сторона.
Ответ: начало координат лежит внутри треугольника.
383. На рисунке 69 изображены прямые AB и CD — графики двух линейных функций. а) Из трёх точек M(−2; 3), N(−4; 2), P(−2; 5) выберите ту, через которую прямая AB проходить заведомо не может. б) Даны точки K(−6; 5), P(−3; 1), Q(3; 4), M(4; 0), N(0; 1), F(2; 2), L(−6; 1). Выберите из них те, которые лежат выше прямой AB и ниже прямой CD. в) Укажите приближённо координаты точки пересечения прямых AB и CD. [рисунок 69: сетка, ось y и ось x; прямая AB через точки A(−5; 0) и B(−2; 5); прямая CD через точки C(−7; 3) и D(0; 2)]
По рисунку: A(−5; 0), B(−2; 5), C(−7; 3), D(0; 2).
Прямая AB: угловой коэффициент (5 − 0)/(−2 + 5) = 5/3, формула y = (5/3)(x + 5). Прямая CD: угловой коэффициент (2 − 3)/(0 + 7) = −1/7, формула y = 2 − x/7.
а) График линейной функции — это прямая, у которой каждому x соответствует одно значение y. Точка B(−2; 5) лежит на прямой AB, поэтому точка с той же абсциссой −2 и другой ординатой, M(−2; 3), на прямой AB лежать не может. Точка P(−2; 5) совпадает с B. Для N(−4; 2): при x = −4 прямая AB даёт y = 5/3 ≈ 1,7, то есть N на прямой не лежит, но это видно лишь по расчёту.
Ответ: M(−2; 3).
б) «Выше AB» означает y > (5/3)(x + 5), «ниже CD» означает y < 2 − x/7.
K(−6; 5): AB даёт −5/3 (5 > −5/3, выше); CD даёт 20/7 ≈ 2,9 (5 > 2,9, выше CD) — не подходит.
P(−3; 1): AB даёт 10/3 ≈ 3,3; 1 < 3,3 — ниже AB, не подходит.
Q(3; 4): AB даёт 40/3; 4 < 13,3 — ниже AB, не подходит.
M(4; 0): AB даёт 15; ниже AB, не подходит.
N(0; 1): AB даёт 25/3; ниже AB, не подходит.
F(2; 2): AB даёт 35/3; ниже AB, не подходит.
L(−6; 1): AB даёт −5/3, 1 > −5/3 — выше AB; CD даёт 20/7 ≈ 2,9, 1 < 2,9 — ниже CD. Подходит.
Ответ: L(−6; 1).
в) (5/3)(x + 5) = 2 − x/7. Умножим на 21: 35(x + 5) = 42 − 3x; 38x = −133; x = −3,5; y = 2 + 0,5 = 2,5.
Ответ: (−3,5; 2,5).
Оговорка: координаты точек A, B, C, D определены по клеткам рисунка.
Прямая AB: угловой коэффициент (5 − 0)/(−2 + 5) = 5/3, формула y = (5/3)(x + 5). Прямая CD: угловой коэффициент (2 − 3)/(0 + 7) = −1/7, формула y = 2 − x/7.
а) График линейной функции — это прямая, у которой каждому x соответствует одно значение y. Точка B(−2; 5) лежит на прямой AB, поэтому точка с той же абсциссой −2 и другой ординатой, M(−2; 3), на прямой AB лежать не может. Точка P(−2; 5) совпадает с B. Для N(−4; 2): при x = −4 прямая AB даёт y = 5/3 ≈ 1,7, то есть N на прямой не лежит, но это видно лишь по расчёту.
Ответ: M(−2; 3).
б) «Выше AB» означает y > (5/3)(x + 5), «ниже CD» означает y < 2 − x/7.
K(−6; 5): AB даёт −5/3 (5 > −5/3, выше); CD даёт 20/7 ≈ 2,9 (5 > 2,9, выше CD) — не подходит.
P(−3; 1): AB даёт 10/3 ≈ 3,3; 1 < 3,3 — ниже AB, не подходит.
Q(3; 4): AB даёт 40/3; 4 < 13,3 — ниже AB, не подходит.
M(4; 0): AB даёт 15; ниже AB, не подходит.
N(0; 1): AB даёт 25/3; ниже AB, не подходит.
F(2; 2): AB даёт 35/3; ниже AB, не подходит.
L(−6; 1): AB даёт −5/3, 1 > −5/3 — выше AB; CD даёт 20/7 ≈ 2,9, 1 < 2,9 — ниже CD. Подходит.
Ответ: L(−6; 1).
в) (5/3)(x + 5) = 2 − x/7. Умножим на 21: 35(x + 5) = 42 − 3x; 38x = −133; x = −3,5; y = 2 + 0,5 = 2,5.
Ответ: (−3,5; 2,5).
Оговорка: координаты точек A, B, C, D определены по клеткам рисунка.
384. На рисунке 70 изображены прямые AB и CD — графики двух линейных функций. Найдите: а) координаты трёх точек, которые лежат ниже прямой AB; б) координаты трёх точек, которые лежат выше прямой CD; в) координаты точки пересечения прямых AB и CD. [рисунок 70: сетка, оси x и y; прямая AB через точки A(−5; 1) и B(1; 2); прямая CD через точки C(2; 5) и D(4; 0)]
По рисунку: A(−5; 1), B(1; 2), C(2; 5), D(4; 0).
Прямая AB: угловой коэффициент (2 − 1)/(1 + 5) = 1/6, формула y = (x + 11)/6. Прямая CD: угловой коэффициент (0 − 5)/(4 − 2) = −2,5, формула y = 10 − 2,5x.
а) Точка лежит ниже AB, если её ордината меньше (x + 11)/6. Например, (0; 0): 0 < 11/6; (2; 1): 1 < 13/6; (−5; 0): 0 < 1. Подходят точки (0; 0), (2; 1), (−5; 0).
б) Точка лежит выше CD, если y > 10 − 2,5x. Например, (3; 4): 4 > 2,5; (5; 2): 2 > −2,5; (4; 3): 3 > 0. Подходят точки (3; 4), (5; 2), (4; 3).
в) (x + 11)/6 = 10 − 2,5x; x + 11 = 60 − 15x; 16x = 49; x = 49/16 ≈ 3,1; y = (49/16 + 11)/6 = 75/32 ≈ 2,3.
Ответ: а) например, (0; 0), (2; 1), (−5; 0); б) например, (3; 4), (5; 2), (4; 3); в) примерно (3,1; 2,3).
Оговорка: координаты точек A, B, C, D определены по клеткам рисунка; точек, удовлетворяющих условиям а) и б), бесконечно много, приведены примеры.
Прямая AB: угловой коэффициент (2 − 1)/(1 + 5) = 1/6, формула y = (x + 11)/6. Прямая CD: угловой коэффициент (0 − 5)/(4 − 2) = −2,5, формула y = 10 − 2,5x.
а) Точка лежит ниже AB, если её ордината меньше (x + 11)/6. Например, (0; 0): 0 < 11/6; (2; 1): 1 < 13/6; (−5; 0): 0 < 1. Подходят точки (0; 0), (2; 1), (−5; 0).
б) Точка лежит выше CD, если y > 10 − 2,5x. Например, (3; 4): 4 > 2,5; (5; 2): 2 > −2,5; (4; 3): 3 > 0. Подходят точки (3; 4), (5; 2), (4; 3).
в) (x + 11)/6 = 10 − 2,5x; x + 11 = 60 − 15x; 16x = 49; x = 49/16 ≈ 3,1; y = (49/16 + 11)/6 = 75/32 ≈ 2,3.
Ответ: а) например, (0; 0), (2; 1), (−5; 0); б) например, (3; 4), (5; 2), (4; 3); в) примерно (3,1; 2,3).
Оговорка: координаты точек A, B, C, D определены по клеткам рисунка; точек, удовлетворяющих условиям а) и б), бесконечно много, приведены примеры.