Глава II. Дополнительные упражнения. К параграфу 5 (продолжение) — с. 92
369. Зная, что зависимость y от x является линейной функцией, заполните таблицу, перечертив её в тетрадь. [таблица а): строка x: −2, 0, 2, 4, 6; строка y: пусто, −8, 12, пусто, пусто] [таблица б): строка x: пусто, −10, 0, 10, 30, пусто; строка y: −15, пусто, 5, 6, пусто, 15]
Линейная функция имеет вид y = kx + b; найдём k и b по двум известным парам значений.
а) Известны пары (0; −8) и (2; 12). При x = 0 получаем b = −8. Из y = kx − 8 при x = 2: 2k − 8 = 12, k = 10. Формула: y = 10x − 8.
При x = −2: y = −20 − 8 = −28. При x = 4: y = 40 − 8 = 32. При x = 6: y = 60 − 8 = 52.
б) Известны пары (0; 5) и (10; 6). При x = 0 получаем b = 5. Из y = kx + 5 при x = 10: 10k + 5 = 6, k = 0,1. Формула: y = 0,1x + 5.
При x = −10: y = −1 + 5 = 4. При x = 30: y = 3 + 5 = 8. Если y = −15: 0,1x + 5 = −15, 0,1x = −20, x = −200. Если y = 15: 0,1x = 10, x = 100.
Ответ: а) y = −28; 32; 52; б) x = −200; x = 100; y = 4; y = 8 (на рисунке заполненные клетки выделены красным).
а) Известны пары (0; −8) и (2; 12). При x = 0 получаем b = −8. Из y = kx − 8 при x = 2: 2k − 8 = 12, k = 10. Формула: y = 10x − 8.
При x = −2: y = −20 − 8 = −28. При x = 4: y = 40 − 8 = 32. При x = 6: y = 60 − 8 = 52.
б) Известны пары (0; 5) и (10; 6). При x = 0 получаем b = 5. Из y = kx + 5 при x = 10: 10k + 5 = 6, k = 0,1. Формула: y = 0,1x + 5.
При x = −10: y = −1 + 5 = 4. При x = 30: y = 3 + 5 = 8. Если y = −15: 0,1x + 5 = −15, 0,1x = −20, x = −200. Если y = 15: 0,1x = 10, x = 100.
Ответ: а) y = −28; 32; 52; б) x = −200; x = 100; y = 4; y = 8 (на рисунке заполненные клетки выделены красным).
370. В таблице указаны некоторые значения аргумента и соответствующие им значения линейной функции. Подберите формулу, которой можно задать эту функцию. [таблица: строка x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; строка y: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71]
Функция линейная: y = kx + b. При увеличении x на 1 значение y увеличивается на 10 (11, 21, 31, ...), поэтому k = 10.
При x = 1: 10·1 + b = 11, откуда b = 1.
Формула: y = 10x + 1.
Проверка: x = 4 даёт 41, x = 7 даёт 71 — совпадает с таблицей.
Ответ: y = 10x + 1.
При x = 1: 10·1 + b = 11, откуда b = 1.
Формула: y = 10x + 1.
Проверка: x = 4 даёт 41, x = 7 даёт 71 — совпадает с таблицей.
Ответ: y = 10x + 1.
371. Масса одного гвоздя равна 5 г, а масса пустого ящика равна 400 г. Какова масса m (в граммах) ящика, в котором лежит x гвоздей?
Составьте формулу, выражающую зависимость m от x. Является ли функция, заданная этой формулой, линейной?
Масса x гвоздей равна 5x г. Масса ящика с гвоздями равна сумме массы пустого ящика и массы гвоздей: m = 5x + 400.
Эта формула имеет вид m = kx + b, где k = 5 и b = 400, поэтому функция линейная (аргумент x принимает натуральные значения и 0).
Ответ: m = 5x + 400; да, функция линейная.
Эта формула имеет вид m = kx + b, где k = 5 и b = 400, поэтому функция линейная (аргумент x принимает натуральные значения и 0).
Ответ: m = 5x + 400; да, функция линейная.
372. При каком значении a точка A(a; −1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности y = 3,5x?
Если точка принадлежит графику, её координаты удовлетворяют уравнению. Подставляем x = a и y = −1,4: −1,4 = 3,5a, откуда a = −1,4 : 3,5 = −0,4.
Ответ: a = −0,4.
Ответ: a = −0,4.
373. Функция задана формулой y = (1/4)x + 3, где −4 ≤ x ≤ 8. Постройте график этой функции. Какие целые значения может принимать эта функция?
Графиком является отрезок прямой. Найдём его концы: при x = −4 получаем y = −1 + 3 = 2; при x = 8 получаем y = 2 + 3 = 5. Строим отрезок с концами (−4; 2) и (8; 5).
Функция возрастает (k = 1/4 > 0), поэтому её значения заполняют все числа от 2 до 5 включительно. Целые значения: 2, 3, 4, 5. Они достигаются при x = −4, 0, 4, 8 соответственно: (1/4)·0 + 3 = 3, (1/4)·4 + 3 = 4.
Ответ: 2, 3, 4 и 5.
Функция возрастает (k = 1/4 > 0), поэтому её значения заполняют все числа от 2 до 5 включительно. Целые значения: 2, 3, 4, 5. Они достигаются при x = −4, 0, 4, 8 соответственно: (1/4)·0 + 3 = 3, (1/4)·4 + 3 = 4.
Ответ: 2, 3, 4 и 5.
374. Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры воздуха может быть найдена приближённо по формуле v = 331 + 0,6t, где v — скорость (в метрах в секунду), t — температура (в градусах Цельсия). Найдите, с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой −35 °C и в летний день с температурой +30 °C.
Подставляем температуры в формулу.
t = −35: v = 331 + 0,6·(−35) = 331 − 21 = 310 м/с.
t = 30: v = 331 + 0,6·30 = 331 + 18 = 349 м/с.
Ответ: 310 м/с и 349 м/с.
t = −35: v = 331 + 0,6·(−35) = 331 − 21 = 310 м/с.
t = 30: v = 331 + 0,6·30 = 331 + 18 = 349 м/с.
Ответ: 310 м/с и 349 м/с.
375. Пересекает ли ось x график линейной функции и если пересекает, то в какой точке: а) y = 100 − 25x; б) y = 7x + 49; в) y = 200x; г) y = −75x; д) y = −15; е) y = 15?
Точка пересечения с осью x — это точка с ординатой 0, поэтому решаем уравнение y = 0.
а) 100 − 25x = 0, x = 4. Пересекает в точке (4; 0).
б) 7x + 49 = 0, x = −7. Пересекает в точке (−7; 0).
в) 200x = 0, x = 0. Пересекает в точке (0; 0).
г) −75x = 0, x = 0. Пересекает в точке (0; 0).
д) y = −15 — прямая, параллельная оси x и не совпадающая с ней: y никогда не равен 0, ось x не пересекает.
е) y = 15 — тоже прямая, параллельная оси x; ось x не пересекает.
Ответ: а) (4; 0); б) (−7; 0); в), г) (0; 0); д), е) не пересекает.
а) 100 − 25x = 0, x = 4. Пересекает в точке (4; 0).
б) 7x + 49 = 0, x = −7. Пересекает в точке (−7; 0).
в) 200x = 0, x = 0. Пересекает в точке (0; 0).
г) −75x = 0, x = 0. Пересекает в точке (0; 0).
д) y = −15 — прямая, параллельная оси x и не совпадающая с ней: y никогда не равен 0, ось x не пересекает.
е) y = 15 — тоже прямая, параллельная оси x; ось x не пересекает.
Ответ: а) (4; 0); б) (−7; 0); в), г) (0; 0); д), е) не пересекает.
376. Постройте схематически график функции y = kx + b, если: а) k > 0; b > 0; б) k > 0; b < 0; в) k < 0; b > 0; г) k < 0; b < 0.
Графиком функции y = kx + b является прямая, которая пересекает ось y в точке (0; b). Знак k определяет направление: при k > 0 прямая поднимается слева направо (функция возрастает), при k < 0 — опускается (функция убывает).
а) k > 0, b > 0: возрастающая прямая, пересекает ось y выше начала координат.
б) k > 0, b < 0: возрастающая прямая, пересекает ось y ниже начала координат.
в) k < 0, b > 0: убывающая прямая, пересекает ось y выше начала координат.
г) k < 0, b < 0: убывающая прямая, пересекает ось y ниже начала координат.
Схемы изображены на рисунке.
а) k > 0, b > 0: возрастающая прямая, пересекает ось y выше начала координат.
б) k > 0, b < 0: возрастающая прямая, пересекает ось y ниже начала координат.
в) k < 0, b > 0: убывающая прямая, пересекает ось y выше начала координат.
г) k < 0, b < 0: убывающая прямая, пересекает ось y ниже начала координат.
Схемы изображены на рисунке.
377. Покажите схематически в одной координатной плоскости, как расположены графики функций y = ax и y = bx, если: а) a > 0, b > 0 и a > b; б) a < 0, b < 0 и |a| < |b|.
Графики y = ax и y = bx — прямые, проходящие через начало координат. Чем больше |коэффициент|, тем круче прямая (ближе к оси y).
а) a > 0, b > 0: обе прямые возрастают и проходят в первой и третьей четвертях. Так как a > b, прямая y = ax расположена круче (ближе к оси y), чем прямая y = bx.
б) a < 0, b < 0: обе прямые убывают и проходят во второй и четвёртой четвертях. Так как |a| < |b|, прямая y = bx круче (ближе к оси y), а прямая y = ax ближе к оси x.
Схемы изображены на рисунке (сплошная линия — y = ax в случае а), пунктирная — y = bx; в случае б) пунктирная линия — y = ax, сплошная — y = bx).
а) a > 0, b > 0: обе прямые возрастают и проходят в первой и третьей четвертях. Так как a > b, прямая y = ax расположена круче (ближе к оси y), чем прямая y = bx.
б) a < 0, b < 0: обе прямые убывают и проходят во второй и четвёртой четвертях. Так как |a| < |b|, прямая y = bx круче (ближе к оси y), а прямая y = ax ближе к оси x.
Схемы изображены на рисунке (сплошная линия — y = ax в случае а), пунктирная — y = bx; в случае б) пунктирная линия — y = ax, сплошная — y = bx).