Глава II. Дополнительные упражнения. К параграфу 4 — с. 90
361. Рыболов пошёл из дома на озеро, где ловил рыбу. Затем он вернулся обратно. График движения рыболова показан на рисунке 68. Узнайте по графику: а) каково расстояние от дома до озера; б) сколько часов шёл рыболов до озера и сколько часов он затратил на обратный путь; в) сколько часов рыболов был на озере; г) на каком расстоянии от дома был рыболов через 1 ч после выхода из дома; д) через сколько часов после выхода рыболов был на расстоянии 6 км от дома; е) какова средняя скорость рыболова на пути к озеру и какова на обратном пути. [рисунок 68: график s, км от t, ч: ломаная (0; 0), (1,5; 8), (8; 8), (9,5; 0); на оси s отмечены 2, 4, 6; на оси t отмечены 0, 2, 4, 6, 8, 10; клетка равна 1 ч по горизонтали и 1 км по вертикали]
Ломаная проходит через точки (0; 0), (1,5; 8), (8; 8), (9,5; 0): сначала рыболов идёт к озеру, затем стоит на месте (горизонтальный участок), затем возвращается.
а) Наибольшее расстояние от дома равно 8 км — это и есть расстояние до озера.
б) До озера рыболов шёл 1,5 ч (от t = 0 до t = 1,5). Обратный путь занял 9,5 − 8 = 1,5 ч.
в) На озере рыболов был от t = 1,5 до t = 8, то есть 8 − 1,5 = 6,5 ч.
г) Скорость по пути к озеру равна 8 : 1,5 = 16/3 км/ч. Через 1 ч рыболов был на расстоянии 16/3 · 1 = 5 1/3 км ≈ 5,3 км от дома.
д) На пути к озеру: (16/3)·t = 6, t = 18/16 = 1,125 ч, то есть примерно через 1 ч 8 мин. На обратном пути: 8 − (16/3)(t − 8) = 6, откуда t − 8 = 0,375 и t = 8,375 ч, то есть через 8 ч 22,5 мин.
е) К озеру: 8 : 1,5 = 5 1/3 км/ч. Обратно: 8 : 1,5 = 5 1/3 км/ч. Скорости одинаковы.
Ответ: а) 8 км; б) 1,5 ч и 1,5 ч; в) 6,5 ч; г) ≈ 5,3 км; д) ≈ через 1,1 ч и через 8,4 ч; е) 5 1/3 км/ч в обе стороны.
Оговорка: значения сняты с рисунка по клеткам (клетка равна 1 ч и 1 км); момент 1,5 ч прибытия к озеру определён приближённо, поэтому пункты г), д), е) приближённые.
а) Наибольшее расстояние от дома равно 8 км — это и есть расстояние до озера.
б) До озера рыболов шёл 1,5 ч (от t = 0 до t = 1,5). Обратный путь занял 9,5 − 8 = 1,5 ч.
в) На озере рыболов был от t = 1,5 до t = 8, то есть 8 − 1,5 = 6,5 ч.
г) Скорость по пути к озеру равна 8 : 1,5 = 16/3 км/ч. Через 1 ч рыболов был на расстоянии 16/3 · 1 = 5 1/3 км ≈ 5,3 км от дома.
д) На пути к озеру: (16/3)·t = 6, t = 18/16 = 1,125 ч, то есть примерно через 1 ч 8 мин. На обратном пути: 8 − (16/3)(t − 8) = 6, откуда t − 8 = 0,375 и t = 8,375 ч, то есть через 8 ч 22,5 мин.
е) К озеру: 8 : 1,5 = 5 1/3 км/ч. Обратно: 8 : 1,5 = 5 1/3 км/ч. Скорости одинаковы.
Ответ: а) 8 км; б) 1,5 ч и 1,5 ч; в) 6,5 ч; г) ≈ 5,3 км; д) ≈ через 1,1 ч и через 8,4 ч; е) 5 1/3 км/ч в обе стороны.
Оговорка: значения сняты с рисунка по клеткам (клетка равна 1 ч и 1 км); момент 1,5 ч прибытия к озеру определён приближённо, поэтому пункты г), д), е) приближённые.
362. Изучая зависимость объёма V жидкости в сосуде от высоты h её уровня, получили таблицу: [таблица: строка h, см: 3, 6, 9, 12, 15, 18; строка V, л: 1,2; 3,1; 5,6; 9,7; 14,7; 21]. Постройте график функции V от h. Узнайте по графику: а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня стала равной 5 см; 10 см; б) какой будет высота уровня жидкости в сосуде, если в него налить 4 л; 10 л.
Строим точки (3; 1,2), (6; 3,1), (9; 5,6), (12; 9,7), (15; 14,7), (18; 21) в системе координат (по оси абсцисс — h в сантиметрах, по оси ординат — V в литрах) и соединяем их плавной линией (на рисунке — ломаной).
а) Через точку h = 5 проводим вертикаль до графика, затем горизонталь до оси V: между значениями 1,2 (при h = 3) и 3,1 (при h = 6) получаем примерно 2,5 л. При h = 10 вертикаль даёт точку между 5,6 (при h = 9) и 9,7 (при h = 12): примерно 7 л.
б) Для V = 4 проводим горизонталь до графика и опускаем перпендикуляр на ось h: график лежит между точками (6; 3,1) и (9; 5,6), получаем h ≈ 7 см. Для V = 10: между точками (12; 9,7) и (15; 14,7), получаем h ≈ 12 см.
Ответ: а) ≈ 2,5 л и ≈ 7 л; б) ≈ 7 см и ≈ 12 см.
Оговорка: значения определены по графику приближённо (по прямой между соседними точками).
а) Через точку h = 5 проводим вертикаль до графика, затем горизонталь до оси V: между значениями 1,2 (при h = 3) и 3,1 (при h = 6) получаем примерно 2,5 л. При h = 10 вертикаль даёт точку между 5,6 (при h = 9) и 9,7 (при h = 12): примерно 7 л.
б) Для V = 4 проводим горизонталь до графика и опускаем перпендикуляр на ось h: график лежит между точками (6; 3,1) и (9; 5,6), получаем h ≈ 7 см. Для V = 10: между точками (12; 9,7) и (15; 14,7), получаем h ≈ 12 см.
Ответ: а) ≈ 2,5 л и ≈ 7 л; б) ≈ 7 см и ≈ 12 см.
Оговорка: значения определены по графику приближённо (по прямой между соседними точками).
363. Из анализа журнала посещаемости бассейна в утреннее время с 8 до 12 часов в течение недели была получена следующая информация. В понедельник было 19 посетителей, а во вторник на 11 человек больше. В среду было на 10% больше, чем во вторник. В четверг было 25 посетителей, а в пятницу на 20% больше, чем в четверг. В воскресенье число посетителей было на 6 человек больше, чем в субботу, и равнялось 30. По данному описанию постройте график зависимости числа посетителей бассейна по дням недели, соединив соседние точки отрезками.
Найдём число посетителей в каждый день.
Понедельник: 19.
Вторник: 19 + 11 = 30.
Среда: на 10% больше, чем во вторник: 30 + 0,1·30 = 33.
Четверг: 25.
Пятница: на 20% больше, чем в четверг: 25 + 0,2·25 = 30.
Воскресенье: 30. Суббота на 6 человек меньше: 30 − 6 = 24.
На оси абсцисс откладываем дни недели от понедельника до воскресенья, на оси ординат — число посетителей. Отмечаем точки (Пн; 19), (Вт; 30), (Ср; 33), (Чт; 25), (Пт; 30), (Сб; 24), (Вс; 30) и соединяем соседние точки отрезками.
Ответ: 19; 30; 33; 25; 30; 24; 30 человек; график изображён на рисунке.
Понедельник: 19.
Вторник: 19 + 11 = 30.
Среда: на 10% больше, чем во вторник: 30 + 0,1·30 = 33.
Четверг: 25.
Пятница: на 20% больше, чем в четверг: 25 + 0,2·25 = 30.
Воскресенье: 30. Суббота на 6 человек меньше: 30 − 6 = 24.
На оси абсцисс откладываем дни недели от понедельника до воскресенья, на оси ординат — число посетителей. Отмечаем точки (Пн; 19), (Вт; 30), (Ср; 33), (Чт; 25), (Пт; 30), (Сб; 24), (Вс; 30) и соединяем соседние точки отрезками.
Ответ: 19; 30; 33; 25; 30; 24; 30 человек; график изображён на рисунке.
364. Токарь в течение семи дней выполнял заказ по изготовлению деталей в соответствии с заданием, выданным ему бригадиром в начале первого рабочего дня. В понедельник он потратил часть рабочего времени на изучение чертежей и изготовил всего 47 деталей, что было наименьшим показателем за все оставшиеся рабочие дни. Во вторник он изготовил на 13 деталей больше, а в среду на 15% больше, чем во вторник. В четверг часть рабочего времени была потрачена им на заточку резцов, поэтому деталей было изготовлено на 8 меньше, чем в среду. В пятницу был сокращённый рабочий день, и токарь изготовил на 4 детали меньше, чем в четверг. В следующий понедельник было сделано на 8 деталей больше, чем в пятницу, а во вторник он выполнил заказ полностью, изготовив максимальное количество деталей за все семь рабочих дней, — на 15 деталей больше, чем в пятницу. По описанию постройте график зависимости числа изготовленных деталей от номера рабочего дня. Соседние точки соедините отрезками.
Найдём число деталей по дням (дни нумеруем от 1 до 7).
День 1 (понедельник): 47.
День 2 (вторник): 47 + 13 = 60.
День 3 (среда): на 15% больше, чем во вторник: 60 + 0,15·60 = 60 + 9 = 69.
День 4 (четверг): 69 − 8 = 61.
День 5 (пятница): 61 − 4 = 57.
День 6 (следующий понедельник): 57 + 8 = 65.
День 7 (вторник): 57 + 15 = 72.
Проверка: 47 — наименьшее из чисел, 72 — наибольшее, как сказано в условии.
На оси абсцисс откладываем номер рабочего дня, на оси ординат — число деталей, отмечаем точки (1; 47), (2; 60), (3; 69), (4; 61), (5; 57), (6; 65), (7; 72) и соединяем соседние точки отрезками.
Ответ: 47; 60; 69; 61; 57; 65; 72 детали; график изображён на рисунке.
День 1 (понедельник): 47.
День 2 (вторник): 47 + 13 = 60.
День 3 (среда): на 15% больше, чем во вторник: 60 + 0,15·60 = 60 + 9 = 69.
День 4 (четверг): 69 − 8 = 61.
День 5 (пятница): 61 − 4 = 57.
День 6 (следующий понедельник): 57 + 8 = 65.
День 7 (вторник): 57 + 15 = 72.
Проверка: 47 — наименьшее из чисел, 72 — наибольшее, как сказано в условии.
На оси абсцисс откладываем номер рабочего дня, на оси ординат — число деталей, отмечаем точки (1; 47), (2; 60), (3; 69), (4; 61), (5; 57), (6; 65), (7; 72) и соединяем соседние точки отрезками.
Ответ: 47; 60; 69; 61; 57; 65; 72 детали; график изображён на рисунке.