Глава II. Дополнительные упражнения. К параграфу 4 — с. 89
356. Турист вышел с турбазы A в направлении железнодорожной станции B. На рисунке 65 дан график зависимости пути, пройденного туристом, от времени движения. Выясните: а) какое время затратил турист на путь из A в B; б) с какой средней скоростью двигался турист; в) сколько минут он затратил на первый привал и сколько затратил на второй привал; г) сколько километров турист прошёл за первый час движения и сколько за последний; д) какое время было затрачено туристом на первые 8 км и какое на последующие 8 км. [рисунок 65: ломаная в осях t, ч и s, км из точки (0; 0) до точки с s = 16 км; на оси s отмечены 4, 8, 12, 16; на оси t отмечены 0, 1, 2, 3]
По графику ломаная проходит через точки (0; 0), (1; 6), (1,5; 6), (2 2/3; 11), (3; 11), (4; 16). Горизонтальные участки — привалы.
а) Весь путь AB равен 16 км и закончился в момент t = 4, значит, на дорогу ушло 4 ч.
б) Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: 16 : 4 = 4 км/ч.
в) Первый привал: от t = 1 до t = 1,5, то есть 0,5 ч = 30 мин. Второй привал: от t = 2 2/3 до t = 3, то есть 1/3 ч = 20 мин.
г) За первый час турист прошёл 6 км. За последний час (от t = 3 до t = 4) путь вырос с 11 до 16 км, то есть на 5 км.
д) Первые 8 км пройдены к моменту t = 2 (график проходит через точку (2; 8)), на них затрачено 2 ч (включая первый привал). Последние 8 км (от s = 8 до s = 16) пройдены за время от t = 2 до t = 4, то есть за 2 ч (включая второй привал).
Ответ: а) 4 ч; б) 4 км/ч; в) 30 мин и 20 мин; г) 6 км и 5 км; д) 2 ч и 2 ч.
Оговорка: значения на концах участков сняты с рисунка по клеткам (клетка: 0,25 ч по горизонтали и 2 км по вертикали); момент 2 2/3 ч и расстояние 11 км определены приближённо.
а) Весь путь AB равен 16 км и закончился в момент t = 4, значит, на дорогу ушло 4 ч.
б) Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: 16 : 4 = 4 км/ч.
в) Первый привал: от t = 1 до t = 1,5, то есть 0,5 ч = 30 мин. Второй привал: от t = 2 2/3 до t = 3, то есть 1/3 ч = 20 мин.
г) За первый час турист прошёл 6 км. За последний час (от t = 3 до t = 4) путь вырос с 11 до 16 км, то есть на 5 км.
д) Первые 8 км пройдены к моменту t = 2 (график проходит через точку (2; 8)), на них затрачено 2 ч (включая первый привал). Последние 8 км (от s = 8 до s = 16) пройдены за время от t = 2 до t = 4, то есть за 2 ч (включая второй привал).
Ответ: а) 4 ч; б) 4 км/ч; в) 30 мин и 20 мин; г) 6 км и 5 км; д) 2 ч и 2 ч.
Оговорка: значения на концах участков сняты с рисунка по клеткам (клетка: 0,25 ч по горизонтали и 2 км по вертикали); момент 2 2/3 ч и расстояние 11 км определены приближённо.
357. Какова область определения функции, заданной формулой: а) y = 7/(x² − 4); б) y = 8/(x² + 4)?
Формула имеет смысл, когда знаменатель дроби не равен нулю.
а) x² − 4 = 0 при x² = 4, то есть при x = 2 и x = −2. При остальных x знаменатель не равен нулю. Область определения: все числа, кроме 2 и −2.
б) x² ≥ 0, поэтому x² + 4 ≥ 4 > 0 при любом x; знаменатель никогда не обращается в нуль. Область определения: все числа.
Ответ: а) все числа, кроме 2 и −2; б) все числа.
а) x² − 4 = 0 при x² = 4, то есть при x = 2 и x = −2. При остальных x знаменатель не равен нулю. Область определения: все числа, кроме 2 и −2.
б) x² ≥ 0, поэтому x² + 4 ≥ 4 > 0 при любом x; знаменатель никогда не обращается в нуль. Область определения: все числа.
Ответ: а) все числа, кроме 2 и −2; б) все числа.
358. Бригада по плану должна изготовить 150 деталей за смену. Однако она перевыполнила план на x%. Составьте формулу, выражающую зависимость y от x, где y — число изготовленных бригадой деталей. Найдите по формуле: а) значение y, если x = 10; б) значение x, при котором y = 180.
Перевыполнение на x% означает, что сверх плана сделано x% от 150 деталей, то есть 150·x/100 = 1,5x деталей. Тогда y = 150 + 1,5x.
а) При x = 10: y = 150 + 1,5·10 = 165.
б) При y = 180: 150 + 1,5x = 180, 1,5x = 30, x = 20.
Ответ: y = 150 + 1,5x; а) 165; б) 20.
а) При x = 10: y = 150 + 1,5·10 = 165.
б) При y = 180: 150 + 1,5x = 180, 1,5x = 30, x = 20.
Ответ: y = 150 + 1,5x; а) 165; б) 20.
359. Из квадрата со стороной 10 см вырезали прямоугольник со сторонами 8 см и x см (рис. 66). Обозначив площадь оставшейся части квадрата (в квадратных сантиметрах) буквой y, выразите зависимость y(x) формулой. Найдите: а) значение y, если x = 2,5; 4; б) значение x, если y = 20; 36. [рисунок 66: квадрат со стороной 10; в его углу вырезан прямоугольник, высота которого равна 8, ширина x]
Площадь квадрата 10² = 100 см², площадь вырезанного прямоугольника 8x см². Остаётся y = 100 − 8x (где 0 < x ≤ 10).
а) x = 2,5: y = 100 − 8·2,5 = 100 − 20 = 80. x = 4: y = 100 − 32 = 68.
б) y = 20: 100 − 8x = 20, 8x = 80, x = 10. y = 36: 100 − 8x = 36, 8x = 64, x = 8.
Ответ: y = 100 − 8x; а) 80 и 68; б) 10 и 8.
а) x = 2,5: y = 100 − 8·2,5 = 100 − 20 = 80. x = 4: y = 100 − 32 = 68.
б) y = 20: 100 − 8x = 20, 8x = 80, x = 10. y = 36: 100 − 8x = 36, 8x = 64, x = 8.
Ответ: y = 100 − 8x; а) 80 и 68; б) 10 и 8.
360. На рисунке 67 чёрной линией изображён график первой функции, а цветной — график второй функции. При каких значениях аргумента значение первой функции: а) равно значению второй; б) больше значения второй; в) меньше значения второй? [рисунок 67: на координатной плоскости чёрная линия — ветви вниз, с наибольшим значением около 2,3 при x около 1,3, пересекает ось x в точках около −1 и 3,5; цветная линия — ветви вверх, с наименьшим значением около 0,5 при x около 1,5; линии пересекаются в точках с абсциссами −0,5 и 3 и ординатой 1]
Графики пересекаются в двух точках: с абсциссами x = −0,5 и x = 3 (обе точки имеют ординату 1).
а) Значения равны там, где графики пересекаются: x = −0,5 и x = 3.
б) Первая функция больше второй там, где чёрная линия лежит выше цветной: между точками пересечения, при −0,5 < x < 3.
в) Первая функция меньше второй там, где чёрная линия лежит ниже цветной: при x < −0,5 и при x > 3 (в пределах рисунка).
Ответ: а) −0,5 и 3; б) −0,5 < x < 3; в) x < −0,5 или x > 3.
Оговорка: абсциссы точек пересечения определены по клеткам рисунка (клетка по оси x равна 0,5).
а) Значения равны там, где графики пересекаются: x = −0,5 и x = 3.
б) Первая функция больше второй там, где чёрная линия лежит выше цветной: между точками пересечения, при −0,5 < x < 3.
в) Первая функция меньше второй там, где чёрная линия лежит ниже цветной: при x < −0,5 и при x > 3 (в пределах рисунка).
Ответ: а) −0,5 и 3; б) −0,5 < x < 3; в) x < −0,5 или x > 3.
Оговорка: абсциссы точек пересечения определены по клеткам рисунка (клетка по оси x равна 0,5).