Глава II. п.17 Кусочно-заданные функции. Упражнения — с. 87
345. Постройте график функции: а) y = −x, если x < −1; y = x, если x ≥ −1; б) y = 2x, если −1 ≤ x < 1; y = 3 − x, если 1 ≤ x ≤ 4.
а) При x < −1 график — часть прямой y = −x: точки (−2; 2), (−3; 3); при x = −1 значение −x = 1 не достигается (точка (−1; 1) выколота). При x ≥ −1 график — часть прямой y = x: начинается в точке (−1; −1) и идёт через (0; 0), (2; 2). График состоит из двух лучей (рисунок).
б) При −1 ≤ x < 1 график — отрезок прямой y = 2x с концами (−1; −2) (включён) и (1; 2) (при x = 1 по этой формуле точка не берётся). При 1 ≤ x ≤ 4 график — отрезок прямой y = 3 − x: при x = 1 получаем y = 2, при x = 4 получаем y = −1, концы (1; 2) и (4; −1) включены. Отрезки соединяются в точке (1; 2), график — ломаная (рисунок).
б) При −1 ≤ x < 1 график — отрезок прямой y = 2x с концами (−1; −2) (включён) и (1; 2) (при x = 1 по этой формуле точка не берётся). При 1 ≤ x ≤ 4 график — отрезок прямой y = 3 − x: при x = 1 получаем y = 2, при x = 4 получаем y = −1, концы (1; 2) и (4; −1) включены. Отрезки соединяются в точке (1; 2), график — ломаная (рисунок).
346. Постройте график функции y = −x − 2, если x < −1; y = 2x + 1, если x ≥ −1. Определите, при каких значениях m прямая y = m и график данной функции: а) не имеют общих точек; б) имеют ровно одну общую точку; в) имеют ровно две общие точки.
Первая часть — луч y = −x − 2 при x < −1: точки (−2; 0), (−3; 1), к точке (−1; −1) подходит (значение −(−1) − 2 = −1). Вторая часть — луч y = 2x + 1 при x ≥ −1: точки (−1; −1), (0; 1), (1; 3). В точке x = −1 обе формулы дают −1, поэтому график — ломаная («уголок») с вершиной (−1; −1) (рисунок).
Значения y на первой части: y = −x − 2 > −1 при x < −1, то есть y > −1. На второй части y = 2x + 1 ≥ −1, то есть y ≥ −1. Самое меньшее значение функции равно −1.
а) Прямая y = m не пересекает график при m < −1.
б) Ровно одну общую точку — в вершине, при m = −1.
в) Ровно две общие точки при m > −1 (одна на левом луче, другая — на правом).
Ответ: а) m < −1; б) m = −1; в) m > −1.
Значения y на первой части: y = −x − 2 > −1 при x < −1, то есть y > −1. На второй части y = 2x + 1 ≥ −1, то есть y ≥ −1. Самое меньшее значение функции равно −1.
а) Прямая y = m не пересекает график при m < −1.
б) Ровно одну общую точку — в вершине, при m = −1.
в) Ровно две общие точки при m > −1 (одна на левом луче, другая — на правом).
Ответ: а) m < −1; б) m = −1; в) m > −1.
347. Постройте график функции y = −x + 1, если x ≤ 1; y = 2x − 3, если x > 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m и график данной функции: а) не имеют общих точек; б) имеют одну общую точку; в) имеют две общие точки.
Левая часть — луч y = −x + 1 при x ≤ 1: точки (1;
0. (включена), (0; 1), (−2; 3). Правая часть — луч y = 2x − 3 при x > 1: точки (2; 1), (3; 3); при x = 1 получаем −1, но точка (1; −1) выколота (рисунок).
Множество значений левой части: y = −x + 1 ≥ 0 (так как x ≤ 1), то есть [0; +∞). Множество значений правой части: y = 2x − 3 > −1 (так как x > 1), то есть (−1; +∞).
а) Общих точек нет, когда m не принадлежит ни одному из множеств: m ≤ −1.
б) Одна общая точка (только с правой частью): −1 < m < 0.
в) Две общие точки (по одной с каждой частью): m ≥ 0.
Ответ: а) m ≤ −1; б) −1 < m < 0; в) m ≥ 0.
Множество значений левой части: y = −x + 1 ≥ 0 (так как x ≤ 1), то есть [0; +∞). Множество значений правой части: y = 2x − 3 > −1 (так как x > 1), то есть (−1; +∞).
а) Общих точек нет, когда m не принадлежит ни одному из множеств: m ≤ −1.
б) Одна общая точка (только с правой частью): −1 < m < 0.
в) Две общие точки (по одной с каждой частью): m ≥ 0.
Ответ: а) m ≤ −1; б) −1 < m < 0; в) m ≥ 0.
348. Постройте график функции: а) y = 0,25|x| + 1; б) y = |x| + 0,5x; в) y = (|x|/x)(x − 2).
Раскрываем модуль: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0.
а) При x ≥ 0: y = 0,25x + 1 (точки (0; 1), (4; 2)). При x < 0: y = −0,25x + 1 (точки (−4; 2), (−2; 1,5)). График — ломаная с вершиной (0; 1), симметричная относительно оси y.
б) При x ≥ 0: y = x + 0,5x = 1,5x (точки (0; 0), (2; 3)). При x < 0: y = −x + 0,5x = −0,5x (точки (−4; 2), (−2; 1)). График — ломаная с вершиной в начале координат.
в) Выражение имеет смысл при x ≠ 0. При x > 0: |x|/x = 1, y = x − 2 (точки (2; 0), (4; 2); точка (0; −2) выколота). При x < 0: |x|/x = −1, y = −(x − 2) = 2 − x (точки (−2; 4), (−1; 3); точка (0; 2) выколота). График — два луча (рисунок).
а) При x ≥ 0: y = 0,25x + 1 (точки (0; 1), (4; 2)). При x < 0: y = −0,25x + 1 (точки (−4; 2), (−2; 1,5)). График — ломаная с вершиной (0; 1), симметричная относительно оси y.
б) При x ≥ 0: y = x + 0,5x = 1,5x (точки (0; 0), (2; 3)). При x < 0: y = −x + 0,5x = −0,5x (точки (−4; 2), (−2; 1)). График — ломаная с вершиной в начале координат.
в) Выражение имеет смысл при x ≠ 0. При x > 0: |x|/x = 1, y = x − 2 (точки (2; 0), (4; 2); точка (0; −2) выколота). При x < 0: |x|/x = −1, y = −(x − 2) = 2 − x (точки (−2; 4), (−1; 3); точка (0; 2) выколота). График — два луча (рисунок).
349. Функция задана следующим образом: y = −x + 2, если x < 0; y = x + 2, если x ≥ 0. Задайте эту функцию одной формулой, используя знак модуля.
При x ≥ 0 имеем |x| = x, поэтому y = x + 2 = |x| + 2. При x < 0 имеем |x| = −x, поэтому y = −x + 2 = |x| + 2. В обоих случаях y = |x| + 2.
Ответ: y = |x| + 2.
Ответ: y = |x| + 2.
350. На рисунке 63 изображён график функции, область определения которой есть множество таких значений x, что −2 ≤ x ≤ 6. Задайте эту функцию аналитически. [рисунок 63: ломаная с вершинами (−2; −1), (1; 2), (3; 0), (6; 3)]
График — ломаная из трёх звеньев с вершинами (−2; −1), (1; 2), (3; 0), (6; 3). Для каждого звена найдём формулу y = kx + b.
1) От (−2; −1) до (1; 2): k = (2 − (−1))/(1 − (−2)) = 3/3 = 1, из точки (1; 2): b = 2 − 1 = 1; y = x + 1.
2) От (1; 2) до (3; 0): k = (0 − 2)/(3 − 1) = −1, b = 2 + 1 = 3; y = −x + 3.
3) От (3; 0) до (6; 3): k = (3 − 0)/(6 − 3) = 1, b = 0 − 3 = −3; y = x − 3.
В вершинах соседние формулы дают одинаковые значения: при x = 1: 1 + 1 = 2 и −1 + 3 = 2; при x = 3: −3 + 3 = 0 и 3 − 3 = 0.
Ответ: y = x + 1 при −2 ≤ x ≤ 1; y = −x + 3 при 1 < x ≤ 3; y = x − 3 при 3 < x ≤ 6.
1) От (−2; −1) до (1; 2): k = (2 − (−1))/(1 − (−2)) = 3/3 = 1, из точки (1; 2): b = 2 − 1 = 1; y = x + 1.
2) От (1; 2) до (3; 0): k = (0 − 2)/(3 − 1) = −1, b = 2 + 1 = 3; y = −x + 3.
3) От (3; 0) до (6; 3): k = (3 − 0)/(6 − 3) = 1, b = 0 − 3 = −3; y = x − 3.
В вершинах соседние формулы дают одинаковые значения: при x = 1: 1 + 1 = 2 и −1 + 3 = 2; при x = 3: −3 + 3 = 0 и 3 − 3 = 0.
Ответ: y = x + 1 при −2 ≤ x ≤ 1; y = −x + 3 при 1 < x ≤ 3; y = x − 3 при 3 < x ≤ 6.