Глава II. §4. Упражнения (окончание) и Дополнительные упражнения к главе II. К параграфу 4 — с. 88
351. Изменение температуры T (в градусах Цельсия) воды в баке описано с помощью формул: T = 4t + 20, если 0 ≤ t < 20; T = 100, если 20 ≤ t ≤ 30; T = −(1/3)t + 110, если 30 < t ≤ 90. Найдите значение T при t = 10; 20; 30; 45; 60; 90. Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда 0 ≤ t < 20; когда 20 ≤ t ≤ 30; когда 30 < t ≤ 90?
Для каждого значения t выбираем формулу, в промежуток которой оно попадает.
t = 10 (0 ≤ t < 20): T = 4·10 + 20 = 60.
t = 20 (20 ≤ t ≤ 30): T = 100.
t = 30 (20 ≤ t ≤ 30): T = 100.
t = 45 (30 < t ≤ 90): T = −(1/3)·45 + 110 = −15 + 110 = 95.
t = 60: T = −(1/3)·60 + 110 = −20 + 110 = 90.
t = 90: T = −(1/3)·90 + 110 = −30 + 110 = 80.
Физический смысл. При 0 ≤ t < 20 температура растёт равномерно: на 4 градуса за единицу времени, от 20° до 100° (вода нагревается). При 20 ≤ t ≤ 30 температура не меняется и равна 100° (вода кипит). При 30 < t ≤ 90 температура равномерно убывает на 1/3 градуса за единицу времени, от 100° до 80° (вода остывает).
Ответ: 60; 100; 100; 95; 90; 80.
t = 10 (0 ≤ t < 20): T = 4·10 + 20 = 60.
t = 20 (20 ≤ t ≤ 30): T = 100.
t = 30 (20 ≤ t ≤ 30): T = 100.
t = 45 (30 < t ≤ 90): T = −(1/3)·45 + 110 = −15 + 110 = 95.
t = 60: T = −(1/3)·60 + 110 = −20 + 110 = 90.
t = 90: T = −(1/3)·90 + 110 = −30 + 110 = 80.
Физический смысл. При 0 ≤ t < 20 температура растёт равномерно: на 4 градуса за единицу времени, от 20° до 100° (вода нагревается). При 20 ≤ t ≤ 30 температура не меняется и равна 100° (вода кипит). При 30 < t ≤ 90 температура равномерно убывает на 1/3 градуса за единицу времени, от 100° до 80° (вода остывает).
Ответ: 60; 100; 100; 95; 90; 80.
352. Пешеход, отправившийся из дома на прогулку, оказался через t ч на расстоянии s км от дома. Зависимость s от t задана тремя формулами: s = 6t, если 0 ≤ t < 5/6; s = 5, если 5/6 ≤ t ≤ 1; s = −5t + 10, если 1 < t ≤ 2. Найдите расстояние s при t, равном 0; 1/2; 5/6; 1; 1,5; 2.
Для каждого t выбираем нужную формулу.
t = 0 (0 ≤ t < 5/6): s = 6·0 = 0.
t = 1/2 (0 ≤ t < 5/6): s = 6·(1/2) = 3.
t = 5/6 (5/6 ≤ t ≤ 1): s = 5.
t = 1 (5/6 ≤ t ≤ 1): s = 5.
t = 1,5 (1 < t ≤ 2): s = −5·1,5 + 10 = −7,5 + 10 = 2,5.
t = 2 (1 < t ≤ 2): s = −5·2 + 10 = 0.
Ответ: 0 км; 3 км; 5 км; 5 км; 2,5 км; 0 км. (Пешеход идёт 50 мин со скоростью 6 км/ч, затем 10 мин стоит на расстоянии 5 км и возвращается домой.)
t = 0 (0 ≤ t < 5/6): s = 6·0 = 0.
t = 1/2 (0 ≤ t < 5/6): s = 6·(1/2) = 3.
t = 5/6 (5/6 ≤ t ≤ 1): s = 5.
t = 1 (5/6 ≤ t ≤ 1): s = 5.
t = 1,5 (1 < t ≤ 2): s = −5·1,5 + 10 = −7,5 + 10 = 2,5.
t = 2 (1 < t ≤ 2): s = −5·2 + 10 = 0.
Ответ: 0 км; 3 км; 5 км; 5 км; 2,5 км; 0 км. (Пешеход идёт 50 мин со скоростью 6 км/ч, затем 10 мин стоит на расстоянии 5 км и возвращается домой.)
353. На рисунке 64 изображён график движения автомобиля из пункта A в пункт B. Задайте эту функцию аналитически. С какой скоростью двигался автомобиль до остановки?
С какой скоростью двигался автомобиль после остановки? [рисунок 64: ломаная в осях t, ч и s, км от точки A(0; 0) до точки B; на оси s отмечены 60, 120, 180; на оси t отмечены 0, 1, 2]
По рисунку ломаная проходит через точки (0; 0), (1; 60), (1,5; 90), (2; 90) и B(3; 180).
Участок 1 (0 ≤ t ≤ 1,5): прямая через начало координат и (1; 60), угловой коэффициент 60, поэтому s = 60t. Проверка: при t = 1,5 получаем s = 90.
Участок 2 (1,5 ≤ t ≤ 2): график горизонтален, s = 90 (автомобиль стоит).
Участок 3 (2 ≤ t ≤ 3): прямая через (2; 90) и (3; 180), угловой коэффициент (180 − 90)/(3 − 2) = 90, поэтому s = 90t + b, откуда 90 = 90·2 + b, b = −90 и s = 90t − 90.
Функция: s = 60t при 0 ≤ t ≤ 1,5; s = 90 при 1,5 ≤ t ≤ 2; s = 90t − 90 при 2 ≤ t ≤ 3.
Скорость до остановки равна угловому коэффициенту первого участка: 60 км/ч; после остановки: 90 км/ч.
Оговорка: координаты узловых точек сняты с рисунка по клеткам сетки (клетка по горизонтали 0,25 ч, по вертикали 30 км).
Участок 1 (0 ≤ t ≤ 1,5): прямая через начало координат и (1; 60), угловой коэффициент 60, поэтому s = 60t. Проверка: при t = 1,5 получаем s = 90.
Участок 2 (1,5 ≤ t ≤ 2): график горизонтален, s = 90 (автомобиль стоит).
Участок 3 (2 ≤ t ≤ 3): прямая через (2; 90) и (3; 180), угловой коэффициент (180 − 90)/(3 − 2) = 90, поэтому s = 90t + b, откуда 90 = 90·2 + b, b = −90 и s = 90t − 90.
Функция: s = 60t при 0 ≤ t ≤ 1,5; s = 90 при 1,5 ≤ t ≤ 2; s = 90t − 90 при 2 ≤ t ≤ 3.
Скорость до остановки равна угловому коэффициенту первого участка: 60 км/ч; после остановки: 90 км/ч.
Оговорка: координаты узловых точек сняты с рисунка по клеткам сетки (клетка по горизонтали 0,25 ч, по вертикали 30 км).
354. Масса одного кубического сантиметра ртути равна 13,6 г. Масса V см³ ртути равна m г. Задайте формулой зависимость: а) m(V); б) V(m).
а) Масса пропорциональна объёму: m = 13,6·V.
б) Выразим V из этой формулы: V = m : 13,6, то есть V = m/13,6.
Ответ: а) m = 13,6V; б) V = m/13,6.
б) Выразим V из этой формулы: V = m : 13,6, то есть V = m/13,6.
Ответ: а) m = 13,6V; б) V = m/13,6.
355. При делении числа y на число x в частном получается 5, а в остатке 10. Задайте формулой функцию y(x). Какова область определения этой функции?
Найдите две пары соответственных значений x и y.
Делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток: y = 5x + 10.
Остаток должен быть меньше делителя, поэтому x > 10. Так как идёт речь о делении натуральных чисел с остатком, x — натуральное число, большее 10.
Область определения: все натуральные числа x > 10, то есть 11, 12, 13, ...
Пары значений: при x = 11 получаем y = 5·11 + 10 = 65; при x = 12 получаем y = 5·12 + 10 = 70.
Проверка: 65 : 11 = 5 (ост. 10), 70 : 12 = 5 (ост. 10).
Ответ: y = 5x + 10, x — натуральное, x > 10; пары (11; 65) и (12; 70).
Остаток должен быть меньше делителя, поэтому x > 10. Так как идёт речь о делении натуральных чисел с остатком, x — натуральное число, большее 10.
Область определения: все натуральные числа x > 10, то есть 11, 12, 13, ...
Пары значений: при x = 11 получаем y = 5·11 + 10 = 65; при x = 12 получаем y = 5·12 + 10 = 70.
Проверка: 65 : 11 = 5 (ост. 10), 70 : 12 = 5 (ост. 10).
Ответ: y = 5x + 10, x — натуральное, x > 10; пары (11; 65) и (12; 70).