Глава II. п.17 Кусочно-заданные функции. Упражнения — с. 86
343. Функция задана графиком (рис. 61). Задайте эту функцию аналитически, т. е. одной или несколькими формулами. [рисунок 61: ломаная — левый луч идёт от точки (−3,5; 4,5) вниз до точки (0; 1), затем горизонтальный отрезок от (0; 1) до (1; 1), затем правый луч идёт вверх от точки (1; 1) до точки (4,5; 4,5)]
График состоит из трёх частей.
1) Левая часть при x ≤ 0: прямая проходит через точки (−3; 4) и (0; 1). Для y = kx + b имеем b = 1, 4 = −3k + 1, k = −1, поэтому y = −x + 1.
2) Средняя часть при 0 ≤ x ≤ 1: горизонтальный отрезок на высоте 1, y = 1.
3) Правая часть при x ≥ 1: прямая через точки (1; 1) и (3; 3), то есть y = x (при x = 1 получаем 1, при x = 3 получаем 3).
В точках x = 0 и x = 1 соседние формулы дают одинаковые значения (1), поэтому границы можно включать в любую часть.
Ответ: y = −x + 1 при −3,5 ≤ x < 0; y = 1 при 0 ≤ x ≤ 1; y = x при 1 < x ≤ 4,5.
Оговорка: границы области определения (−3,5 и 4,5) сняты с рисунка.
1) Левая часть при x ≤ 0: прямая проходит через точки (−3; 4) и (0; 1). Для y = kx + b имеем b = 1, 4 = −3k + 1, k = −1, поэтому y = −x + 1.
2) Средняя часть при 0 ≤ x ≤ 1: горизонтальный отрезок на высоте 1, y = 1.
3) Правая часть при x ≥ 1: прямая через точки (1; 1) и (3; 3), то есть y = x (при x = 1 получаем 1, при x = 3 получаем 3).
В точках x = 0 и x = 1 соседние формулы дают одинаковые значения (1), поэтому границы можно включать в любую часть.
Ответ: y = −x + 1 при −3,5 ≤ x < 0; y = 1 при 0 ≤ x ≤ 1; y = x при 1 < x ≤ 4,5.
Оговорка: границы области определения (−3,5 и 4,5) сняты с рисунка.
344. Из бака ёмкостью 20 л, заполненного водой (рис. 62), через открытый кран равномерно вытекает вода со скоростью 2 л в минуту. Через кран может вытечь 0,9 всего объёма воды в баке, так как кран расположен выше дна бака. Объём воды V (в литрах) в баке зависит от времени x (в минутах), когда кран открыт. Задайте зависимость V от x аналитически, если известно, что кран был открыт в течение 12 мин. [рисунок 62: бак с краном вблизи дна]
Через кран может вытечь 0,9 · 20 = 18 л, после этого в баке остаётся 20 − 18 = 2 л. При скорости 2 л/мин 18 л вытекут за 18 : 2 = 9 мин.
Пока кран течёт (0 ≤ x < 9), за x мин вытекает 2x л, и V = 20 − 2x. При x = 9 получаем V = 20 − 18 = 2.
С 9-й по 12-ю минуту (9 ≤ x ≤ 12) вода не вытекает, V = 2.
Ответ: V = 20 − 2x при 0 ≤ x < 9; V = 2 при 9 ≤ x ≤ 12.
Пока кран течёт (0 ≤ x < 9), за x мин вытекает 2x л, и V = 20 − 2x. При x = 9 получаем V = 20 − 18 = 2.
С 9-й по 12-ю минуту (9 ≤ x ≤ 12) вода не вытекает, V = 2.
Ответ: V = 20 − 2x при 0 ≤ x < 9; V = 2 при 9 ≤ x ≤ 12.