Глава II. §5. п.16 Линейная функция и её график (в начале с. 74 — упражнения для повторения) — с. 82
337. В бак налили воду, температура которой 10 °C, и нагревали её до 100 °C, причём через каждую минуту температура повышалась на 1,5 °C. Задайте формулой зависимость температуры воды T (в градусах Цельсия) от времени нагревания t (в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику: а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания; б) через какое время вода нагрелась до 85 °C.
В начале температура 10 °C, каждую минуту она растёт на 1,5 °C, поэтому через t мин T = 10 + 1,5t.
Нагревание идёт до 100 °C: 10 + 1,5t = 100, 1,5t = 90, t = 60. Значит, формула верна при 0 ≤ t ≤ 60, а график — отрезок с концами (0; 10) и (60; 100. (рисунок).
а) По графику: при t = 5 температура 17,5 °C; при t = 10 — 25 °C. Проверка: 10 + 1,5·5 = 17,5; 10 + 1,5·10 = 25.
б) T = 85: 10 + 1,5t = 85, 1,5t = 75, t = 50. По графику вода нагрелась до 85 °C через 50 мин.
Ответ: T = 10 + 1,5t (0 ≤ t ≤ 60); а) 17,5 °C и 25 °C; б) через 50 мин.
Нагревание идёт до 100 °C: 10 + 1,5t = 100, 1,5t = 90, t = 60. Значит, формула верна при 0 ≤ t ≤ 60, а график — отрезок с концами (0; 10) и (60; 100. (рисунок).
а) По графику: при t = 5 температура 17,5 °C; при t = 10 — 25 °C. Проверка: 10 + 1,5·5 = 17,5; 10 + 1,5·10 = 25.
б) T = 85: 10 + 1,5t = 85, 1,5t = 75, t = 50. По графику вода нагрелась до 85 °C через 50 мин.
Ответ: T = 10 + 1,5t (0 ≤ t ≤ 60); а) 17,5 °C и 25 °C; б) через 50 мин.
338. Группа туристов отправилась со станции на турбазу. Первые 2 ч они шли со скоростью 4,5 км/ч. Затем сделали привал на 1 ч. На оставшуюся часть пути они затратили полтора часа, проходя её со скоростью 6 км/ч. Постройте график движения.
Пусть t — время в часах от начала движения, s — пройденный путь в километрах.
1) 0 ≤ t ≤ 2: идут со скоростью 4,5 км/ч, s = 4,5t; при t = 2 получаем s = 9 км.
2) 2 ≤ t ≤ 3: привал, путь не меняется, s = 9.
3) 3 ≤ t ≤ 4,5: идут со скоростью 6 км/ч, s = 9 + 6(t − 3); при t = 4,5 получаем s = 9 + 6·1,5 = 18 км.
График — ломаная с вершинами (0; 0), (2; 9), (3; 9), (4,5; 18): наклонный отрезок, горизонтальный отрезок (привал) и ещё один наклонный отрезок, более крутой (рисунок). Длина всего пути 18 км.
Ответ: s = 4,5t при 0 ≤ t ≤ 2; s = 9 при 2 < t ≤ 3; s = 6t − 9 при 3 < t ≤ 4,5; график — ломаная (рисунок).
1) 0 ≤ t ≤ 2: идут со скоростью 4,5 км/ч, s = 4,5t; при t = 2 получаем s = 9 км.
2) 2 ≤ t ≤ 3: привал, путь не меняется, s = 9.
3) 3 ≤ t ≤ 4,5: идут со скоростью 6 км/ч, s = 9 + 6(t − 3); при t = 4,5 получаем s = 9 + 6·1,5 = 18 км.
График — ломаная с вершинами (0; 0), (2; 9), (3; 9), (4,5; 18): наклонный отрезок, горизонтальный отрезок (привал) и ещё один наклонный отрезок, более крутой (рисунок). Длина всего пути 18 км.
Ответ: s = 4,5t при 0 ≤ t ≤ 2; s = 9 при 2 < t ≤ 3; s = 6t − 9 при 3 < t ≤ 4,5; график — ломаная (рисунок).
339. (Для работы в парах.) На рисунке 55 изображены графики движения двух машин, следующих из города A в город B, расстояние между которыми 200 км. С помощью этих графиков ответьте на вопросы: а) какое время была в пути первая машина; вторая машина; б) какая машина начала своё движение раньше; в) с какой скоростью двигалась каждая машина; г) какая машина прибыла в город B раньше?
1. Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто — на вопросы б), г), и ответьте на них.
2. Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.
3. Обсудите, что означает точка пересечения графиков. [рисунок 55: по оси t — время в часах, по оси s — путь в километрах; график I выходит из точки (0; 0), график II — из точки (1; 0); графики пересекаются в точке (2; 140)]
Читаем графики. Машина I выехала в момент t = 0, машина II — в момент t = 1 ч. Графики пересекаются в точке (2; 140): к моменту t = 2 ч обе машины проехали по 140 км.
в) Скорости. Машина I: 140 : 2 = 70 км/ч. Машина II ехала с t = 1 до t = 2, то есть 1 ч, и проехала 140 км: 140 км/ч.
а) Время в пути (путь 200 км). Первая машина: 200 : 70 = 20/7 = 2 6/7 ч (примерно 2 ч 51 мин); по графику прибывает в B при t ≈ 2,9. Вторая: 200 : 140 = 10/7 = 1 3/7 ч (примерно 1 ч 26 мин), она прибывает при t = 1 + 10/7 = 2 3/7 ≈ 2,4 ч.
б) Раньше начала движение первая машина (на 1 ч).
г) Раньше в город B прибыла вторая машина (в момент t ≈ 2,4 ч против t ≈ 2,9 ч).
Обсуждение: точка пересечения графиков показывает момент и место, где машины встретились на дороге: в 2 ч после выезда первой машины и в 140 км от A вторая машина догнала первую и затем обогнала её.
Ответ: а) 2 6/7 ч и 1 3/7 ч; б) первая; в) 70 км/ч и 140 км/ч; г) вторая.
Оговорка: значения сняты с рисунка.
в) Скорости. Машина I: 140 : 2 = 70 км/ч. Машина II ехала с t = 1 до t = 2, то есть 1 ч, и проехала 140 км: 140 км/ч.
а) Время в пути (путь 200 км). Первая машина: 200 : 70 = 20/7 = 2 6/7 ч (примерно 2 ч 51 мин); по графику прибывает в B при t ≈ 2,9. Вторая: 200 : 140 = 10/7 = 1 3/7 ч (примерно 1 ч 26 мин), она прибывает при t = 1 + 10/7 = 2 3/7 ≈ 2,4 ч.
б) Раньше начала движение первая машина (на 1 ч).
г) Раньше в город B прибыла вторая машина (в момент t ≈ 2,4 ч против t ≈ 2,9 ч).
Обсуждение: точка пересечения графиков показывает момент и место, где машины встретились на дороге: в 2 ч после выезда первой машины и в 140 км от A вторая машина догнала первую и затем обогнала её.
Ответ: а) 2 6/7 ч и 1 3/7 ч; б) первая; в) 70 км/ч и 140 км/ч; г) вторая.
Оговорка: значения сняты с рисунка.