Глава II. §5. Упражнения для повторения; Контрольные вопросы и задания; п.17 Кусочно-заданные функции — с. 83
340. Решите уравнение: а) 3(0,9x − 1) − (x + 0,6) = −0,2; б) 7 − (3,1 − 0,1y) = −0,2y.
а) Раскрываем скобки: 2,7x − 3 − x − 0,6 = −0,2. Приводим подобные: 1,7x − 3,6 = −0,2. Тогда 1,7x = 3,4, x = 2.
б) Раскрываем скобки: 7 − 3,1 + 0,1y = −0,2y. Получаем 3,9 + 0,1y = −0,2y, 3,9 = −0,3y, y = −13.
Ответ: а) 2; б) −13.
б) Раскрываем скобки: 7 − 3,1 + 0,1y = −0,2y. Получаем 3,9 + 0,1y = −0,2y, 3,9 = −0,3y, y = −13.
Ответ: а) 2; б) −13.
341. Три бригады изготовили 65 деталей. Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая, а третья — 30% того числа деталей, которые изготовили первая и вторая бригады вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?
Пусть вторая бригада изготовила x деталей, тогда первая — (x − 10) деталей. Первая и вторая вместе изготовили x + (x − 10) = 2x − 10 деталей, а третья — 30% этого числа: 0,3(2x − 10) = 0,6x − 3 деталей.
Всего 65 деталей: (x − 10) + x + (0,6x − 3) = 65, 2,6x − 13 = 65, 2,6x = 78, x = 30.
Вторая бригада — 30 деталей, первая — 30 − 10 = 20, третья — 0,3·(20 + 30) = 15. Проверка: 20 + 30 + 15 = 65.
Ответ: 20, 30 и 15 деталей.
Всего 65 деталей: (x − 10) + x + (0,6x − 3) = 65, 2,6x − 13 = 65, 2,6x = 78, x = 30.
Вторая бригада — 30 деталей, первая — 30 − 10 = 20, третья — 0,3·(20 + 30) = 15. Проверка: 20 + 30 + 15 = 65.
Ответ: 20, 30 и 15 деталей.
342. Запишите в виде выражения сумму трёх последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно: а) n; б) n − 1; в) n + 4. Упростите записанное выражение.
Три последовательных числа: меньшее, меньшее + 1, меньшее + 2.
а) n, n + 1, n + 2: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3.
б) n − 1, n, n + 1: (n − 1) + n + (n + 1) = 3n.
в) n + 4, n + 5, n + 6: (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) = 3n + 15.
Ответ: а) 3n + 3; б) 3n; в) 3n + 15.
а) n, n + 1, n + 2: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3.
б) n − 1, n, n + 1: (n − 1) + n + (n + 1) = 3n.
в) n + 4, n + 5, n + 6: (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) = 3n + 15.
Ответ: а) 3n + 3; б) 3n; в) 3n + 15.
Контрольный вопрос 1. Сформулируйте определение прямой пропорциональности.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx, где x — независимая переменная, k — не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности. Пример: s = 70t — путь при равномерном движении со скоростью 70 км/ч.
Контрольный вопрос 2. Что является графиком прямой пропорциональности?
Как построить график прямой пропорциональности?
Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат.
Чтобы построить график, достаточно найти координаты какой-нибудь одной точки графика, отличной от начала координат (для этого выбираем x ≠ 0 и находим y = kx), отметить эту точку и провести прямую через неё и начало координат. Например, для y = 1,5x берём x = 2, получаем y = 3, точка (2; 3).
Чтобы построить график, достаточно найти координаты какой-нибудь одной точки графика, отличной от начала координат (для этого выбираем x ≠ 0 и находим y = kx), отметить эту точку и провести прямую через неё и начало координат. Например, для y = 1,5x берём x = 2, получаем y = 3, точка (2; 3).
Контрольный вопрос 3. Как расположен в координатной плоскости график функции y = kx при k > 0 и при k < 0?
График y = kx проходит через точку (1; k). При k > 0 эта точка лежит в первой координатной четверти, поэтому график расположен в первой и третьей четвертях. При k < 0 точка (1; k) лежит в четвёртой четверти, поэтому график расположен во второй и четвёртой четвертях.
Контрольный вопрос 4. Дайте определение линейной функции.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x — независимая переменная, k и b — некоторые числа. Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции (при b = 0 и k ≠ 0). Пример: y = 50x + 20.
Контрольный вопрос 5. Что является графиком линейной функции?
Как построить график линейной функции?
Графиком линейной функции y = kx + b является прямая (при k ≠ 0 она параллельна прямой y = kx, при k = 0 — параллельна оси x или совпадает с ней).
Чтобы построить график, достаточно найти координаты двух точек графика, отметить их в координатной плоскости и провести через них прямую. Удобно брать точку с абсциссой 0 — это точка (0; b). Пример: для y = 2x + 3 берём точки (−2; −1) и (1; 5).
Чтобы построить график, достаточно найти координаты двух точек графика, отметить их в координатной плоскости и провести через них прямую. Удобно брать точку с абсциссой 0 — это точка (0; b). Пример: для y = 2x + 3 берём точки (−2; −1) и (1; 5).
Контрольный вопрос 6. В каком случае графики двух линейных функций пересекаются и в каком случае они являются параллельными прямыми?
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. Если угловые коэффициенты одинаковы (и числа b различны), то прямые параллельны (при одинаковых k и b графики совпадают). Пример: y = 2x − 3 и y = 9 − 4x пересекаются (2 ≠ −4), а y = 0,5x + 2 и y = 0,5x − 3 параллельны.
Контрольный вопрос 7. В какой точке график функции y = kx + b пересекает ось ординат?
При x = 0 значение y равно b, поэтому график функции y = kx + b пересекает ось y в точке с координатами (0; b).
Контрольный вопрос 8. В каких координатных четвертях расположен график функции: y = 6x; y = 0,5x + 4; y = 3x − 1; y = −3?
y = 6x: прямая пропорциональность с k = 6 > 0, график проходит через начало координат в I и III четвертях.
y = 0,5x + 4: k = 0,5 > 0, прямая пересекает ось y в точке (0; 4), а ось x в точке (−8; 0); при x < −8 значения y отрицательны, поэтому график проходит через III, II и I четверти.
y = 3x − 1: k = 3 > 0, прямая пересекает ось y в точке (0; −1), ось x — в точке (1/3; 0); график проходит через III, IV и I четверти.
y = −3: горизонтальная прямая, лежащая ниже оси x (y = −3 < 0), то есть в III и IV четвертях.
Ответ: y = 6x — I и III; y = 0,5x + 4 — I, II и III; y = 3x − 1 — I, III и IV; y = −3 — III и IV.
y = 0,5x + 4: k = 0,5 > 0, прямая пересекает ось y в точке (0; 4), а ось x в точке (−8; 0); при x < −8 значения y отрицательны, поэтому график проходит через III, II и I четверти.
y = 3x − 1: k = 3 > 0, прямая пересекает ось y в точке (0; −1), ось x — в точке (1/3; 0); график проходит через III, IV и I четверти.
y = −3: горизонтальная прямая, лежащая ниже оси x (y = −3 < 0), то есть в III и IV четвертях.
Ответ: y = 6x — I и III; y = 0,5x + 4 — I, II и III; y = 3x − 1 — I, III и IV; y = −3 — III и IV.