Глава II. Дополнительные упражнения. К параграфу 5 — с. 91
365. Постройте график функции, выбрав соответствующий масштаб: а) y = 100x; б) y = 0,02x.
Обе функции — прямые пропорциональности, их графики — прямые, проходящие через начало координат. Для построения достаточно найти ещё одну точку, масштаб выбираем так, чтобы она оказалась в удобном месте.
а) y = 100x. При x = 1 получаем y = 100; при x = 2 получаем y = 200. Берём по оси x единичный отрезок равным 1, а по оси y единичный отрезок равным 100. Проводим прямую через (0; 0) и (1; 100).
б) y = 0,02x. При x = 50 получаем y = 0,02·50 = 1; при x = 100 получаем y = 2. Берём по оси x единичный отрезок равным 25, а по оси y единичный отрезок равным 1. Проводим прямую через (0; 0) и (50; 1).
а) y = 100x. При x = 1 получаем y = 100; при x = 2 получаем y = 200. Берём по оси x единичный отрезок равным 1, а по оси y единичный отрезок равным 100. Проводим прямую через (0; 0) и (1; 100).
б) y = 0,02x. При x = 50 получаем y = 0,02·50 = 1; при x = 100 получаем y = 2. Берём по оси x единичный отрезок равным 25, а по оси y единичный отрезок равным 1. Проводим прямую через (0; 0) и (50; 1).
366. Какое расстояние y (в километрах) проедет велосипедист за x ч, если будет двигаться равномерно со скоростью 15 км/ч?
Постройте график зависимости y от x (масштаб по оси x: в 1 см — 15 км; по оси y: в 1 см — 1 ч). С помощью графика ответьте на вопросы: а) какой путь проедет велосипедист за 3 ч; за 3 ч 40 мин; б) сколько времени затратит велосипедист на путь в 50 км?
Путь при равномерном движении равен скорости, умноженной на время: y = 15x, где x ≥ 0.
График — прямая, проходящая через точки (0; 0) и (4; 60). (Единицы на осях: по оси x — 1 ч, по оси y — 15 км; на рисунке для наглядности по оси x отложено время, по оси y — расстояние.)
а) За 3 ч: y = 15·3 = 45 км. За 3 ч 40 мин = 3 2/3 ч: y = 15·11/3 = 55 км.
б) y = 50: 15x = 50, x = 50/15 = 10/3 = 3 1/3 ч = 3 ч 20 мин.
Ответ: а) 45 км; 55 км; б) 3 ч 20 мин.
Оговорка: в условии масштабы по осям указаны в обратном соответствии с названиями величин (по x — километры, по y — часы); график построен для зависимости y (км) от x (ч) с расстоянием по вертикали и временем по горизонтали.
График — прямая, проходящая через точки (0; 0) и (4; 60). (Единицы на осях: по оси x — 1 ч, по оси y — 15 км; на рисунке для наглядности по оси x отложено время, по оси y — расстояние.)
а) За 3 ч: y = 15·3 = 45 км. За 3 ч 40 мин = 3 2/3 ч: y = 15·11/3 = 55 км.
б) y = 50: 15x = 50, x = 50/15 = 10/3 = 3 1/3 ч = 3 ч 20 мин.
Ответ: а) 45 км; 55 км; б) 3 ч 20 мин.
Оговорка: в условии масштабы по осям указаны в обратном соответствии с названиями величин (по x — километры, по y — часы); график построен для зависимости y (км) от x (ч) с расстоянием по вертикали и временем по горизонтали.
367. Является ли линейной функция, заданная формулой: а) y = (4x − 7)/2; б) y = 3(x + 8); в) y = x(6 − x); г) y = x(9 − x) + x²?
Линейная функция имеет вид y = kx + b. Приведём каждую формулу к такому виду.
а) y = (4x − 7)/2 = 2x − 3,5. Это линейная функция (k = 2, b = −3,5).
б) y = 3(x + 8) = 3x + 24. Это линейная функция (k = 3, b = 24).
в) y = x(6 − x) = 6x − x². В формуле есть x², поэтому функция не линейная.
г) y = x(9 − x) + x² = 9x − x² + x² = 9x. Это линейная функция (k = 9, b = 0), в частности, прямая пропорциональность.
Ответ: а), б), г) — да; в) — нет.
а) y = (4x − 7)/2 = 2x − 3,5. Это линейная функция (k = 2, b = −3,5).
б) y = 3(x + 8) = 3x + 24. Это линейная функция (k = 3, b = 24).
в) y = x(6 − x) = 6x − x². В формуле есть x², поэтому функция не линейная.
г) y = x(9 − x) + x² = 9x − x² + x² = 9x. Это линейная функция (k = 9, b = 0), в частности, прямая пропорциональность.
Ответ: а), б), г) — да; в) — нет.
368. Функция задана формулой y = 0,2x − 4. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному −25; −12; 45;
60. При каком значении аргумента значение функции равно 0; 1?
Существует ли такое значение x, при котором: а) значение функции равно значению аргумента; б) значение функции противоположно значению аргумента?
Подставляем значения в формулу.
x = −25: y = 0,2·(−25) − 4 = −5 − 4 = −9.
x = −12: y = −2,4 − 4 = −6,4.
x = 45: y = 9 − 4 = 5.
x = 60: y = 12 − 4 = 8.
y = 0: 0,2x − 4 = 0, 0,2x = 4, x = 20.
y = 1: 0,2x − 4 = 1, 0,2x = 5, x = 25.
а) y = x: 0,2x − 4 = x, −4 = 0,8x, x = −5. Проверка: y(−5) = −1 − 4 = −5. Такое значение существует.
б) y = −x: 0,2x − 4 = −x, 1,2x = 4, x = 10/3 = 3 1/3. Проверка: y(10/3) = 2/3 − 4 = −10/3. Такое значение существует.
Ответ: −9; −6,4; 5; 8; при x = 20 и x = 25; а) да, x = −5; б) да, x = 3 1/3.
x = −25: y = 0,2·(−25) − 4 = −5 − 4 = −9.
x = −12: y = −2,4 − 4 = −6,4.
x = 45: y = 9 − 4 = 5.
x = 60: y = 12 − 4 = 8.
y = 0: 0,2x − 4 = 0, 0,2x = 4, x = 20.
y = 1: 0,2x − 4 = 1, 0,2x = 5, x = 25.
а) y = x: 0,2x − 4 = x, −4 = 0,8x, x = −5. Проверка: y(−5) = −1 − 4 = −5. Такое значение существует.
б) y = −x: 0,2x − 4 = −x, 1,2x = 4, x = 10/3 = 3 1/3. Проверка: y(10/3) = 2/3 − 4 = −10/3. Такое значение существует.
Ответ: −9; −6,4; 5; 8; при x = 20 и x = 25; а) да, x = −5; б) да, x = 3 1/3.