Глава II. §5. п.16 Линейная функция и её график (в начале с. 74 — упражнения для повторения) — с. 79
314. Длина прямоугольника x см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?
Ширина равна (x − 3) см, где x > 3.
Периметр: P = 2(x + (x − 3)) = 2(2x − 3) = 4x − 6.
Площадь: S = x(x − 3) = x² − 3x.
Зависимость P = 4x − 6 имеет вид y = kx + b (k = 4, b = −6) — линейная функция. Зависимость S = x² − 3x содержит x², поэтому линейной функцией не является.
Ответ: P = 4x − 6, S = x² − 3x; линейная функция — зависимость периметра от длины.
Периметр: P = 2(x + (x − 3)) = 2(2x − 3) = 4x − 6.
Площадь: S = x(x − 3) = x² − 3x.
Зависимость P = 4x − 6 имеет вид y = kx + b (k = 4, b = −6) — линейная функция. Зависимость S = x² − 3x содержит x², поэтому линейной функцией не является.
Ответ: P = 4x − 6, S = x² − 3x; линейная функция — зависимость периметра от длины.
315. Ученик имел 85 р. На эти деньги он купил x почтовых марок по 10 р. После покупки у него осталось y р. Задайте формулой зависимость y от x. Является ли эта зависимость линейной функцией?
Марки стоят 10x р., поэтому после покупки осталось y = 85 − 10x (р.), где x — целое число, 0 ≤ x ≤ 8.
Формулу можно записать как y = −10x + 85, это вид y = kx + b при k = −10, b = 85. Значит, зависимость является линейной функцией.
Ответ: y = 85 − 10x; да, является.
Формулу можно записать как y = −10x + 85, это вид y = kx + b при k = −10, b = 85. Значит, зависимость является линейной функцией.
Ответ: y = 85 − 10x; да, является.
316. Является ли линейной функция, заданная формулой: а) y = 2x − 3; б) y = 7 − 9x; в) y = x/2 + 1; г) y = 2/x + 1; д) y = x² − 3; е) y = (10x − 7)/5?
Линейная функция — функция вида y = kx + b.
а) y = 2x − 3: k = 2, b = −3, линейная.
б) y = 7 − 9x = −9x + 7: k = −9, b = 7, линейная.
в) y = x/2 + 1 = 0,5x + 1: k = 0,5, b = 1, линейная.
г) y = 2/x + 1: переменная стоит в знаменателе, формула не приводится к виду kx + b, не линейная.
д) y = x² − 3: есть x², не линейная.
е) y = (10x − 7)/5 = 2x − 1,4: k = 2, b = −1,4, линейная.
Ответ: линейные — а), б), в), е); не линейные — г), д).
а) y = 2x − 3: k = 2, b = −3, линейная.
б) y = 7 − 9x = −9x + 7: k = −9, b = 7, линейная.
в) y = x/2 + 1 = 0,5x + 1: k = 0,5, b = 1, линейная.
г) y = 2/x + 1: переменная стоит в знаменателе, формула не приводится к виду kx + b, не линейная.
д) y = x² − 3: есть x², не линейная.
е) y = (10x − 7)/5 = 2x − 1,4: k = 2, b = −1,4, линейная.
Ответ: линейные — а), б), в), е); не линейные — г), д).
317. Линейная функция задана формулой y = 0,5x + 6. Найдите значение y, соответствующее x = −12; 0;
34. При каком x значение y равно −16; 0; 8?
Значения y: x = −12: y = 0,5·(−12) + 6 = −6 + 6 = 0; x = 0: y = 6; x = 34: y = 0,5·34 + 6 = 17 + 6 = 23.
Значения x: y = −16: 0,5x + 6 = −16, 0,5x = −22, x = −44. y = 0: 0,5x = −6, x = −12. y = 8: 0,5x = 2, x = 4.
Ответ: 0; 6; 23; x = −44; −12; 4.
Значения x: y = −16: 0,5x + 6 = −16, 0,5x = −22, x = −44. y = 0: 0,5x = −6, x = −12. y = 8: 0,5x = 2, x = 4.
Ответ: 0; 6; 23; x = −44; −12; 4.
318. Линейная функция задана формулой y = −3x + 1,5. Найдите: а) значение y, если x = −1,5; 2,5; 4; б) значение x, при котором y = −4,5; 0; 1,5.
а) x = −1,5: y = −3·(−1,5) + 1,5 = 4,5 + 1,5 = 6. x = 2,5: y = −7,5 + 1,5 = −6. x = 4: y = −12 + 1,5 = −10,5.
б) y = −4,5: −3x + 1,5 = −4,5, −3x = −6, x = 2. y = 0: −3x = −1,5, x = 0,5. y = 1,5: −3x = 0, x = 0.
Ответ: а) 6; −6; −10,5; б) 2; 0,5; 0.
б) y = −4,5: −3x + 1,5 = −4,5, −3x = −6, x = 2. y = 0: −3x = −1,5, x = 0,5. y = 1,5: −3x = 0, x = 0.
Ответ: а) 6; −6; −10,5; б) 2; 0,5; 0.
319. Постройте график функции, заданной формулой: а) y = −2x + 1; б) y = 0,2x + 5; в) y = −x + 4,5; г) y = x + 1,5; д) y = (1/2)x − 3; е) y = −x − 3,5.
Графиком линейной функции является прямая; для построения достаточно двух точек (удобно взять точку пересечения с осью y, где x = 0).
а) y = −2x + 1: x = 0 → y = 1; x = 0,5 → y = 0. Точки (0; 1), (0,5; 0).
б) y = 0,2x + 5: x = 0 → y = 5; x = 5 → y = 6. Точки (0; 5), (5; 6).
в) y = −x + 4,5: x = 0 → y = 4,5; x = 4,5 → y = 0. Точки (0; 4,5), (4,5; 0).
г) y = x + 1,5: x = 0 → y = 1,5; x = −1,5 → y = 0. Точки (0; 1,5), (−1,5; 0).
д) y = x/2 − 3: x = 0 → y = −3; x = 6 → y = 0. Точки (0; −3), (6; 0).
е) y = −x − 3,5: x = 0 → y = −3,5; x = −3,5 → y = 0. Точки (0; −3,5), (−3,5; 0).
Отмечаем точки и проводим через каждую пару прямую (рисунок).
а) y = −2x + 1: x = 0 → y = 1; x = 0,5 → y = 0. Точки (0; 1), (0,5; 0).
б) y = 0,2x + 5: x = 0 → y = 5; x = 5 → y = 6. Точки (0; 5), (5; 6).
в) y = −x + 4,5: x = 0 → y = 4,5; x = 4,5 → y = 0. Точки (0; 4,5), (4,5; 0).
г) y = x + 1,5: x = 0 → y = 1,5; x = −1,5 → y = 0. Точки (0; 1,5), (−1,5; 0).
д) y = x/2 − 3: x = 0 → y = −3; x = 6 → y = 0. Точки (0; −3), (6; 0).
е) y = −x − 3,5: x = 0 → y = −3,5; x = −3,5 → y = 0. Точки (0; −3,5), (−3,5; 0).
Отмечаем точки и проводим через каждую пару прямую (рисунок).
320. (Задача-исследование.) Дана линейная функция y = kx + 4. При каком значении k график этой функции: а) параллелен графику прямой пропорциональности y = −x; б) не пересекает ось абсцисс; в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3; г) проходит через точку пересечения графиков функций y = 12 − x и y = x + 4?
Обсудите ответы на поставленные вопросы.
а) Графики y = kx + 4 и y = −x параллельны, если угловые коэффициенты равны: k = −1.
б) Прямая y = kx + 4 не пересекает ось абсцисс, если она параллельна ей, то есть k = 0 (тогда y = 4). При k ≠ 0 уравнение kx + 4 = 0 имеет решение x = −4/k, и пересечение есть.
в) Точка (3; 0) лежит на графике: 0 = 3k + 4, откуда k = −4/3 = −1 1/3.
г) Найдём точку пересечения графиков y = 12 − x и y = x + 4: 12 − x = x + 4, 8 = 2x, x = 4, y = 4 + 4 = 8. Точка (4; 8) лежит на графике y = kx + 4: 8 = 4k + 4, k = 1.
Обсуждение: условие а) задаёт направление прямой, б) — частный случай k = 0 (горизонтальная прямая y = 4), в) и г) — прохождение через заданную точку. В г) получаем y = x + 4, то есть график совпадает с одним из двух данных графиков.
Ответ: а) k = −1; б) k = 0; в) k = −4/3; г) k = 1.
б) Прямая y = kx + 4 не пересекает ось абсцисс, если она параллельна ей, то есть k = 0 (тогда y = 4). При k ≠ 0 уравнение kx + 4 = 0 имеет решение x = −4/k, и пересечение есть.
в) Точка (3; 0) лежит на графике: 0 = 3k + 4, откуда k = −4/3 = −1 1/3.
г) Найдём точку пересечения графиков y = 12 − x и y = x + 4: 12 − x = x + 4, 8 = 2x, x = 4, y = 4 + 4 = 8. Точка (4; 8) лежит на графике y = kx + 4: 8 = 4k + 4, k = 1.
Обсуждение: условие а) задаёт направление прямой, б) — частный случай k = 0 (горизонтальная прямая y = 4), в) и г) — прохождение через заданную точку. В г) получаем y = x + 4, то есть график совпадает с одним из двух данных графиков.
Ответ: а) k = −1; б) k = 0; в) k = −4/3; г) k = 1.
321. Постройте график функции y = −10x + 40, выбрав масштаб: по оси x — в 1 см одна единица, по оси y — в 1 см 10 единиц. Найдите по графику: а) значение y, соответствующее x = −2,5; 0,8; 3,5; б) значение x, которому соответствует y = 70; −10; −30.
Строим прямую по двум точкам: x = 0 → y = 40, точка (0; 40); y = 0 → x = 4, точка (4;
0. (рисунок).
а) По графику: x = −2,5 → y = 65; x = 0,8 → y = 32; x = 3,5 → y = 5. Проверка: −10·(−2,5) + 40 = 65; −10·0,8 + 40 = 32; −10·3,5 + 40 = 5.
б) По графику: y = 70 → x = −3; y = −10 → x = 5; y = −30 → x = 7. Проверка: −10·(−3) + 40 = 70; −10·5 + 40 = −10; −10·7 + 40 = −30.
Ответ: а) 65; 32; 5; б) −3; 5; 7.
а) По графику: x = −2,5 → y = 65; x = 0,8 → y = 32; x = 3,5 → y = 5. Проверка: −10·(−2,5) + 40 = 65; −10·0,8 + 40 = 32; −10·3,5 + 40 = 5.
б) По графику: y = 70 → x = −3; y = −10 → x = 5; y = −30 → x = 7. Проверка: −10·(−3) + 40 = 70; −10·5 + 40 = −10; −10·7 + 40 = −30.
Ответ: а) 65; 32; 5; б) −3; 5; 7.
322. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции: а) y = −2,4x + 9,6; б) y = −0,7x − 28; в) y = 1,2x + 6; г) y = −5x + 2.
С осью y график пересекается при x = 0 (ордината равна b); с осью x — при y = 0.
а) x = 0: y = 9,6, точка (0; 9,6). y = 0: −2,4x + 9,6 = 0, x = 4, точка (4; 0).
б) x = 0: y = −28, точка (0; −28). y = 0: −0,7x = 28, x = −40, точка (−40; 0).
в) x = 0: y = 6, точка (0; 6). y = 0: 1,2x = −6, x = −5, точка (−5; 0).
г) x = 0: y = 2, точка (0; 2). y = 0: −5x + 2 = 0, x = 0,4, точка (0,4; 0).
Ответ: а) (0; 9,6) и (4; 0); б) (0; −28) и (−40; 0); в) (0; 6) и (−5; 0); г) (0; 2) и (0,4; 0).
а) x = 0: y = 9,6, точка (0; 9,6). y = 0: −2,4x + 9,6 = 0, x = 4, точка (4; 0).
б) x = 0: y = −28, точка (0; −28). y = 0: −0,7x = 28, x = −40, точка (−40; 0).
в) x = 0: y = 6, точка (0; 6). y = 0: 1,2x = −6, x = −5, точка (−5; 0).
г) x = 0: y = 2, точка (0; 2). y = 0: −5x + 2 = 0, x = 0,4, точка (0,4; 0).
Ответ: а) (0; 9,6) и (4; 0); б) (0; −28) и (−40; 0); в) (0; 6) и (−5; 0); г) (0; 2) и (0,4; 0).