Глава II. §5. п.15 Прямая пропорциональность и её график. Упражнения — с. 73
306. Для каждого графика прямой пропорциональности на рисунке 36 на с. 71 напишите соответствующую формулу. [рисунок 36: четыре прямые I, II, III, IV, проходящие через начало координат; I и IV — крутые (I идёт вверх вправо, IV — вниз вправо), II — пологая вверх вправо, III — вниз вправо]
Формула y = kx; чтобы найти k, возьмём на каждой прямой точку с удобными координатами.
I: прямая проходит через точку (2; 6), поэтому k = 6 : 2 = 3, y = 3x.
II: прямая проходит через точку (4; 1), поэтому k = 1 : 4 = 0,25, y = 0,25x (то же, что y = x/4).
III: прямая проходит через точку (6; −6), поэтому k = −6 : 6 = −1, y = −x.
IV: прямая проходит через точку (2; −6), поэтому k = −6 : 2 = −3, y = −3x.
Ответ: I — y = 3x; II — y = 0,25x; III — y = −x; IV — y = −3x.
Оговорка: координаты точек сняты с рисунка; положение прямых (I и III четверти для I и II, II и IV для III и IV) согласуется со знаками k.
I: прямая проходит через точку (2; 6), поэтому k = 6 : 2 = 3, y = 3x.
II: прямая проходит через точку (4; 1), поэтому k = 1 : 4 = 0,25, y = 0,25x (то же, что y = x/4).
III: прямая проходит через точку (6; −6), поэтому k = −6 : 6 = −1, y = −x.
IV: прямая проходит через точку (2; −6), поэтому k = −6 : 2 = −3, y = −3x.
Ответ: I — y = 3x; II — y = 0,25x; III — y = −x; IV — y = −3x.
Оговорка: координаты точек сняты с рисунка; положение прямых (I и III четверти для I и II, II и IV для III и IV) согласуется со знаками k.
307. Турист вышел из города и через x ч находился на расстоянии y км от него. Зависимость y от x показана в таблице: [таблица: строка x: 0; 0,5; 1; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; строка y: 0; 2,1; 4,0; 7,9; 10,1; 12,1; 14; 16,1] В координатной плоскости отметьте эти точки и покажите с помощью линейки, что они расположены почти на прямой. Составьте формулу, которая приближённо выражает зависимость y от x.
Отмечаем точки (0; 0), (0,5; 2,1), (1; 4), (2; 7,9), (2,5; 10,1), (3; 12,1), (3,5; 14), (4; 16,1). Приложив линейку, видим, что все они лежат почти на одной прямой, проходящей через начало координат (рисунок).
Значит, зависимость приближённо является прямой пропорциональностью y = kx. Найдём k как отношение y к x: 4,0 : 1 = 4; 7,9 : 2 ≈ 3,95; 10,1 : 2,5 ≈ 4,04; 12,1 : 3 ≈ 4,03; 14 : 3,5 = 4; 16,1 : 4 ≈ 4,03; 2,1 : 0,5 = 4,2. Все отношения близки к 4.
Скорость туриста примерно 4 км/ч, и зависимость выражается формулой y = 4x.
Ответ: y ≈ 4x.
Значит, зависимость приближённо является прямой пропорциональностью y = kx. Найдём k как отношение y к x: 4,0 : 1 = 4; 7,9 : 2 ≈ 3,95; 10,1 : 2,5 ≈ 4,04; 12,1 : 3 ≈ 4,03; 14 : 3,5 = 4; 16,1 : 4 ≈ 4,03; 2,1 : 0,5 = 4,2. Все отношения близки к 4.
Скорость туриста примерно 4 км/ч, и зависимость выражается формулой y = 4x.
Ответ: y ≈ 4x.
308. На рисунке 37 построены графики движения пешехода (отрезок OB) и велосипедиста (отрезок OA). С помощью графиков ответьте на вопросы: а) какое время был в пути пешеход и какое время — велосипедист; б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист; в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой — велосипедист; г) во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом? [рисунок 37: по оси t — время в часах, по оси s — путь в километрах; отрезок OA заканчивается в точке A(2; 30), отрезок OB — в точке B(4; 20)]
По графику: точка A(2; 30), точка B(4; 20).
а) Велосипедист был в пути 2 ч (отрезок OA заканчивается при t = 2), пешеход — 4 ч (отрезок OB заканчивается при t = 4).
б) Велосипедист проехал 30 км, пешеход прошёл 20 км.
в) Скорость — это путь, делённый на время. Велосипедист: 30 : 2 = 15 км/ч. Пешеход: 20 : 4 = 5 км/ч.
г) За 2 ч велосипедист проехал 30 км, а пешеход при скорости 5 км/ч прошёл 5 · 2 = 10 км (на графике OB при t = 2 значение s = 10). Отношение: 30 : 10 = 3.
Ответ: а) 4 ч и 2 ч; б) 20 км и 30 км; в) 5 км/ч и 15 км/ч; г) в 3 раза.
а) Велосипедист был в пути 2 ч (отрезок OA заканчивается при t = 2), пешеход — 4 ч (отрезок OB заканчивается при t = 4).
б) Велосипедист проехал 30 км, пешеход прошёл 20 км.
в) Скорость — это путь, делённый на время. Велосипедист: 30 : 2 = 15 км/ч. Пешеход: 20 : 4 = 5 км/ч.
г) За 2 ч велосипедист проехал 30 км, а пешеход при скорости 5 км/ч прошёл 5 · 2 = 10 км (на графике OB при t = 2 значение s = 10). Отношение: 30 : 10 = 3.
Ответ: а) 4 ч и 2 ч; б) 20 км и 30 км; в) 5 км/ч и 15 км/ч; г) в 3 раза.
309. На рисунке 38 изображён график зависимости удлинения y стальной проволоки от силы F, под действием которой проволока растягивается. Укажите границы изменения силы F, при которых зависимость удлинения проволоки от силы F является прямой пропорциональностью. [рисунок 38: по оси F — сила в ньютонах, по оси y — удлинение в миллиметрах; график — луч из начала координат до точки (1000; 8), далее горизонтальный луч y = 8]
Прямая пропорциональность y = kF изображается прямой, проходящей через начало координат. На графике это наклонный отрезок от точки (0; 0) до точки (1000; 8): при F от 0 до 1000 Н удлинение растёт пропорционально силе (k = 8 : 1000 = 0,008 мм/Н).
При F > 1000 Н график — горизонтальный луч y = 8: удлинение перестаёт зависеть от силы, это уже не прямая пропорциональность.
Ответ: 0 ≤ F ≤ 1000 Н.
При F > 1000 Н график — горизонтальный луч y = 8: удлинение перестаёт зависеть от силы, это уже не прямая пропорциональность.
Ответ: 0 ≤ F ≤ 1000 Н.