Глава II. §5. п.15 Прямая пропорциональность и её график. Упражнения — с. 72
297. Велосипедист движется равномерно со скоростью 12 км/ч. Напишите формулу, выражающую зависимость пройденного пути s (в километрах) от времени движения t (в часах). Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
При равномерном движении путь равен произведению скорости на время: s = 12t.
Эта формула имеет вид y = kx, где k = 12 ≠ 0, поэтому зависимость пути от времени является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен скорости, 12 км/ч).
Ответ: s = 12t; да, является.
Эта формула имеет вид y = kx, где k = 12 ≠ 0, поэтому зависимость пути от времени является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности равен скорости, 12 км/ч).
Ответ: s = 12t; да, является.
298. Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой: а) y = −5x; б) y = 5x²; в) y = x/5; г) y = x + 5?
Прямая пропорциональность — функция вида y = kx, где k ≠ 0.
а) y = −5x: вид y = kx, k = −5 ≠ 0, является.
б) y = 5x²: в формуле есть x², а не x в первой степени, не является.
в) y = x/5 = (1/5)x: вид y = kx, k = 1/5 ≠ 0, является.
г) y = x + 5: есть слагаемое 5, формула не имеет вида y = kx (при x = 0 получаем y = 5, а не 0), не является.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
а) y = −5x: вид y = kx, k = −5 ≠ 0, является.
б) y = 5x²: в формуле есть x², а не x в первой степени, не является.
в) y = x/5 = (1/5)x: вид y = kx, k = 1/5 ≠ 0, является.
г) y = x + 5: есть слагаемое 5, формула не имеет вида y = kx (при x = 0 получаем y = 5, а не 0), не является.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
299. Прямая пропорциональность задана формулой y = −(1/6)x. Найдите значение y, соответствующее x, равному −9; 0; 1; 4.
Подставляем значения x в формулу y = −x/6.
x = −9: y = −(−9)/6 = 9/6 = 1,5.
x = 0: y = 0.
x = 1: y = −1/6.
x = 4: y = −4/6 = −2/3.
Ответ: 1,5; 0; −1/6; −2/3.
x = −9: y = −(−9)/6 = 9/6 = 1,5.
x = 0: y = 0.
x = 1: y = −1/6.
x = 4: y = −4/6 = −2/3.
Ответ: 1,5; 0; −1/6; −2/3.
300. Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой: а) y = 3x; б) y = −1,5x; в) y = x; г) y = −x; д) y = 2,5x; е) y = −4,5x.
Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат. Для построения достаточно найти ещё одну точку.
а) y = 3x: при x = 1 получаем y = 3, точка (1; 3).
б) y = −1,5x: при x = 2 получаем y = −3, точка (2; −3).
в) y = x: при x = 2 получаем y = 2, точка (2; 2); прямая — биссектриса I и III координатных углов.
г) y = −x: при x = 2 получаем y = −2, точка (2; −2); прямая — биссектриса II и IV координатных углов.
д) y = 2,5x: при x = 2 получаем y = 5, точка (2; 5).
е) y = −4,5x: при x = 1 получаем y = −4,5, точка (1; −4,5).
В каждом случае проводим прямую через начало координат и найденную точку (рисунок).
При k > 0 (а, в, д) прямые лежат в I и III четвертях, при k < 0 (б, г, е) — во II и IV.
а) y = 3x: при x = 1 получаем y = 3, точка (1; 3).
б) y = −1,5x: при x = 2 получаем y = −3, точка (2; −3).
в) y = x: при x = 2 получаем y = 2, точка (2; 2); прямая — биссектриса I и III координатных углов.
г) y = −x: при x = 2 получаем y = −2, точка (2; −2); прямая — биссектриса II и IV координатных углов.
д) y = 2,5x: при x = 2 получаем y = 5, точка (2; 5).
е) y = −4,5x: при x = 1 получаем y = −4,5, точка (1; −4,5).
В каждом случае проводим прямую через начало координат и найденную точку (рисунок).
При k > 0 (а, в, д) прямые лежат в I и III четвертях, при k < 0 (б, г, е) — во II и IV.
301. (Для работы в парах.) Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой симметричен графику функции y = 9x: а) относительно оси x; б) относительно оси y.
1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.
Пусть (x; y) — произвольная точка графика y = 9x, то есть y = 9x.
а) Симметрия относительно оси x переводит точку (x; y) в точку (x; −y). Для симметричной точки (x; y₁) имеем y₁ = −y = −9x. Значит, симметричный график задаётся формулой y = −9x.
б) Симметрия относительно оси y переводит точку (x; y) в точку (−x; y). Для точки (x₁; y) с x₁ = −x имеем y = 9x = 9·(−x₁) = −9x₁. Значит, симметричный график задаётся формулой y = −9x.
Проверка: точка (1; 9) графика y = 9x при симметрии относительно оси x переходит в (1; −9), а при симметрии относительно оси y — в (−1; 9); обе точки лежат на прямой y = −9x. Это одна и та же прямая: график y = 9x симметричен самому себе относительно начала координат, а две осевые симметрии (относительно x и относительно y) вместе дают симметрию относительно начала координат.
Ответ: а) y = −9x; б) y = −9x.
а) Симметрия относительно оси x переводит точку (x; y) в точку (x; −y). Для симметричной точки (x; y₁) имеем y₁ = −y = −9x. Значит, симметричный график задаётся формулой y = −9x.
б) Симметрия относительно оси y переводит точку (x; y) в точку (−x; y). Для точки (x₁; y) с x₁ = −x имеем y = 9x = 9·(−x₁) = −9x₁. Значит, симметричный график задаётся формулой y = −9x.
Проверка: точка (1; 9) графика y = 9x при симметрии относительно оси x переходит в (1; −9), а при симметрии относительно оси y — в (−1; 9); обе точки лежат на прямой y = −9x. Это одна и та же прямая: график y = 9x симметричен самому себе относительно начала координат, а две осевые симметрии (относительно x и относительно y) вместе дают симметрию относительно начала координат.
Ответ: а) y = −9x; б) y = −9x.
302. Постройте график функции, заданной формулой y = −0,5x. С помощью графика найдите: а) значение y, соответствующее x, равному −2; 4; 1; б) при каком x значение y равно −1; 0; 2,5. Существует ли такое x, при котором y = −150?
Если существует, то вычислите его.
График y = −0,5x — прямая через начало координат и точку (2; −1) (рисунок).
а) По графику: x = −2 → y = 1; x = 4 → y = −2; x = 1 → y = −0,5. Проверка: −0,5·(−2) = 1; −0,5·4 = −2; −0,5·1 = −0,5.
б) По графику: y = −1 при x = 2; y = 0 при x = 0; y = 2,5 при x = −5. Проверка: −0,5·2 = −1; −0,5·(−5) = 2,5.
Такое x существует: график продолжается неограниченно, а областью определения является множество всех чисел. Уравнение −0,5x = −150 даёт x = −150 : (−0,5) = 300 (на рисунке эта точка не помещается).
Ответ: а) 1; −2; −0,5; б) 2; 0; −5; да, x = 300.
а) По графику: x = −2 → y = 1; x = 4 → y = −2; x = 1 → y = −0,5. Проверка: −0,5·(−2) = 1; −0,5·4 = −2; −0,5·1 = −0,5.
б) По графику: y = −1 при x = 2; y = 0 при x = 0; y = 2,5 при x = −5. Проверка: −0,5·2 = −1; −0,5·(−5) = 2,5.
Такое x существует: график продолжается неограниченно, а областью определения является множество всех чисел. Уравнение −0,5x = −150 даёт x = −150 : (−0,5) = 300 (на рисунке эта точка не помещается).
Ответ: а) 1; −2; −0,5; б) 2; 0; −5; да, x = 300.
303. Принадлежат ли графику функции y = −0,5x точки A(0; 1), B(−1; 0,5), C(2; −1), D(4; −2)?
Точка принадлежит графику, если при подстановке её координат в формулу получается верное равенство.
A(0; 1): −0,5·0 = 0 ≠ 1, не принадлежит.
B(−1; 0,5): −0,5·(−1) = 0,5, верно, принадлежит.
C(2; −1): −0,5·2 = −1, верно, принадлежит.
D(4; −2): −0,5·4 = −2, верно, принадлежит.
Ответ: принадлежат точки B, C и D.
A(0; 1): −0,5·0 = 0 ≠ 1, не принадлежит.
B(−1; 0,5): −0,5·(−1) = 0,5, верно, принадлежит.
C(2; −1): −0,5·2 = −1, верно, принадлежит.
D(4; −2): −0,5·4 = −2, верно, принадлежит.
Ответ: принадлежат точки B, C и D.
304. Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку A(3; 21). Проходит ли этот график через точку B(−7; −49); точку C(−5; 3,5); точку D(0,8; −5,6)?
Прямая пропорциональность имеет вид y = kx. Так как график проходит через A(3; 21), то 21 = k·3, откуда k = 7 и y = 7x.
B(−7; −49): 7·(−7) = −49, верно, проходит.
C(−5; 3,5): 7·(−5) = −35 ≠ 3,5, не проходит.
D(0,8; −5,6): 7·0,8 = 5,6 ≠ −5,6, не проходит (у точки противоположный знак ординаты).
Ответ: через точку B проходит, через C и D не проходит.
B(−7; −49): 7·(−7) = −49, верно, проходит.
C(−5; 3,5): 7·(−5) = −35 ≠ 3,5, не проходит.
D(0,8; −5,6): 7·0,8 = 5,6 ≠ −5,6, не проходит (у точки противоположный знак ординаты).
Ответ: через точку B проходит, через C и D не проходит.
305. (Для работы в парах.) Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой: а) y = 1,7x; б) y = −3,1x; в) y = 0,9x; г) y = −2,3x; д) y = kx, где k > 0; е) y = kx, где k < 0. 1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий. 3) Обсудите, какой вид имеет график функции y = kx в заданиях д) и е).
График y = kx — прямая через начало координат. Её положение определяет знак k, а крутизна — модуль k: чем больше |k|, тем круче прямая к оси x (рисунок).
а) k = 1,7 > 0: прямая в I и III четвертях; проходит через точку (1; 1,7), круче, чем y = x.
б) k = −3,1 < 0: прямая во II и IV четвертях; проходит через точку (1; −3,1), очень крутая.
в) k = 0,9 > 0: I и III четверти, через точку (1; 0,9), чуть более полога, чем y = x.
г) k = −2,3 < 0: II и IV четверти, через точку (1; −2,3).
д) При k > 0 график — прямая через начало координат в I и III координатных четвертях; чем больше k, тем ближе прямая к оси y.
е) При k < 0 график — прямая через начало координат во II и IV четвертях.
На схеме для д) и е) показаны по две прямые с разными значениями k.
а) k = 1,7 > 0: прямая в I и III четвертях; проходит через точку (1; 1,7), круче, чем y = x.
б) k = −3,1 < 0: прямая во II и IV четвертях; проходит через точку (1; −3,1), очень крутая.
в) k = 0,9 > 0: I и III четверти, через точку (1; 0,9), чуть более полога, чем y = x.
г) k = −2,3 < 0: II и IV четверти, через точку (1; −2,3).
д) При k > 0 график — прямая через начало координат в I и III координатных четвертях; чем больше k, тем ближе прямая к оси y.
е) При k < 0 график — прямая через начало координат во II и IV четвертях.
На схеме для д) и е) показаны по две прямые с разными значениями k.