Глава II. §4. Упражнения для повторения и контрольные вопросы — с. 68
294. Решите уравнение: а) 3,7x − 2 = −2x + 3,13; б) 4,2x + 8 = 8 − 7x; в) −27x = 5 − 54x; г) x − 1 = 0,4x − 2,5.
Переносим слагаемые с x в одну сторону, числа — в другую.
а) 3,7x + 2x = 3,13 + 2; 5,7x = 5,13; x = 5,13 : 5,7 = 0,9.
б) 4,2x + 7x = 8 − 8; 11,2x = 0; x = 0.
в) −27x + 54x = 5; 27x = 5; x = 5/27.
г) x − 0,4x = −2,5 + 1; 0,6x = −1,5; x = −1,5 : 0,6 = −2,5.
Ответ: а) 0,9; б) 0; в) 5/27; г) −2,5.
а) 3,7x + 2x = 3,13 + 2; 5,7x = 5,13; x = 5,13 : 5,7 = 0,9.
б) 4,2x + 7x = 8 − 8; 11,2x = 0; x = 0.
в) −27x + 54x = 5; 27x = 5; x = 5/27.
г) x − 0,4x = −2,5 + 1; 0,6x = −1,5; x = −1,5 : 0,6 = −2,5.
Ответ: а) 0,9; б) 0; в) 5/27; г) −2,5.
295. В автопарке было в 1,5 раза больше грузовых машин, чем легковых. После того как автопарк получил ещё 45 легковых автомашин, а 12 грузовых машин передал фермерам, в нём стало легковых машин на 17 больше, чем грузовых. Сколько всего автомашин было в автопарке?
Пусть в автопарке было x легковых машин, тогда грузовых было 1,5x.
После изменений легковых стало x + 45, грузовых 1,5x − 12. Легковых на 17 больше:
(x + 45) − (1,5x − 12) = 17
x + 45 − 1,5x + 12 = 17
−0,5x = 17 − 57
−0,5x = −40
x = 80.
Легковых было 80, грузовых 1,5·80 = 120, всего 80 + 120 = 200.
Проверка: стало 125 легковых и 108 грузовых, 125 − 108 = 17.
Ответ: 200 автомашин.
После изменений легковых стало x + 45, грузовых 1,5x − 12. Легковых на 17 больше:
(x + 45) − (1,5x − 12) = 17
x + 45 − 1,5x + 12 = 17
−0,5x = 17 − 57
−0,5x = −40
x = 80.
Легковых было 80, грузовых 1,5·80 = 120, всего 80 + 120 = 200.
Проверка: стало 125 легковых и 108 грузовых, 125 − 108 = 17.
Ответ: 200 автомашин.
296. Верно ли, что: а) 6 2/3 − 1/3 · 1 3/4 + 1/4 − 6 > 0; б) (5 1/6 − 5 1/12) · 12 − 6 1/3 : 3 > 0; в) 7 + 2424 : (11,8 + 0,2) + 2,3 < 200; г) (3,08 − 2,16) : 8 − 0,17 · 3 < 0?
Вычисляем значение каждого выражения.
а) 1/3 · 1 3/4 = 1/3 · 7/4 = 7/12. Получаем 6 2/3 − 7/12 + 1/4 − 6 = 2/3 − 7/12 + 1/4 = 8/12 − 7/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3. 1/3 > 0 — верно.
б) 5 1/6 − 5 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12; 1/12 · 12 = 1. 6 1/3 : 3 = 19/3 · 1/3 = 19/9 = 2 1/9. Получаем 1 − 2 1/9 = −1 1/9. Это число меньше нуля, неравенство > 0 — неверно.
в) 11,8 + 0,2 = 12; 2424 : 12 = 202. Тогда 7 + 202 + 2,3 = 211,3. 211,3 < 200 — неверно.
г) 3,08 − 2,16 = 0,92; 0,92 : 8 = 0,115; 0,17 · 3 = 0,51. Получаем 0,115 − 0,51 = −0,395 < 0 — верно.
Ответ: а) верно; б) неверно; в) неверно; г) верно.
а) 1/3 · 1 3/4 = 1/3 · 7/4 = 7/12. Получаем 6 2/3 − 7/12 + 1/4 − 6 = 2/3 − 7/12 + 1/4 = 8/12 − 7/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3. 1/3 > 0 — верно.
б) 5 1/6 − 5 1/12 = 2/12 − 1/12 = 1/12; 1/12 · 12 = 1. 6 1/3 : 3 = 19/3 · 1/3 = 19/9 = 2 1/9. Получаем 1 − 2 1/9 = −1 1/9. Это число меньше нуля, неравенство > 0 — неверно.
в) 11,8 + 0,2 = 12; 2424 : 12 = 202. Тогда 7 + 202 + 2,3 = 211,3. 211,3 < 200 — неверно.
г) 3,08 − 2,16 = 0,92; 0,92 : 8 = 0,115; 0,17 · 3 = 0,51. Получаем 0,115 − 0,51 = −0,395 < 0 — верно.
Ответ: а) верно; б) неверно; в) неверно; г) верно.
Контрольные вопросы и задания.
1. Перечислите виды числовых промежутков.
Числовые промежутки бывают следующих видов (a < b):
отрезок [a; b] — все x, для которых a ≤ x ≤ b (оба конца входят);
интервал (a; b) — все x, для которых a < x < b (концы не входят);
полуинтервалы [a; b) и (a; b] — a ≤ x < b и a < x ≤ b (один конец входит, другой нет);
замкнутые лучи x ≥ a и x ≤ a (точка a входит);
открытые лучи x > a и x < a (точка a не входит).
На координатной прямой входящий конец отмечают закрашенной точкой, не входящий — светлой.
отрезок [a; b] — все x, для которых a ≤ x ≤ b (оба конца входят);
интервал (a; b) — все x, для которых a < x < b (концы не входят);
полуинтервалы [a; b) и (a; b] — a ≤ x < b и a < x ≤ b (один конец входит, другой нет);
замкнутые лучи x ≥ a и x ≤ a (точка a входит);
открытые лучи x > a и x < a (точка a не входит).
На координатной прямой входящий конец отмечают закрашенной точкой, не входящий — светлой.
Контрольные вопросы и задания.
2. Как найти расстояние между двумя точками?
Приведите примеры.
Расстояние между двумя точками координатной прямой равно модулю разности их координат: AB = |b − a|.
Примеры. Для A(−3) и B(5): AB = |5 − (−3)| = 8. Для C(2,5) и D(−1,5): CD = |−1,5 − 2,5| = 4. Если точки расположены по одну сторону от нуля, например E(4) и F(9): EF = |9 − 4| = 5.
Примеры. Для A(−3) и B(5): AB = |5 − (−3)| = 8. Для C(2,5) и D(−1,5): CD = |−1,5 − 2,5| = 4. Если точки расположены по одну сторону от нуля, например E(4) и F(9): EF = |9 − 4| = 5.
Контрольные вопросы и задания.
3. Приведите пример функциональной зависимости одной переменной от другой. Укажите независимую и зависимую переменные, а также область определения функции.
Пример: путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения: s = 50t.
Независимая переменная (аргумент) — время t, зависимая переменная (функция) — путь s: каждому значению t соответствует единственное значение s.
Область определения — все значения, которые принимает аргумент; по смыслу задачи t ≥ 0, то есть область определения состоит из всех неотрицательных чисел.
Независимая переменная (аргумент) — время t, зависимая переменная (функция) — путь s: каждому значению t соответствует единственное значение s.
Область определения — все значения, которые принимает аргумент; по смыслу задачи t ≥ 0, то есть область определения состоит из всех неотрицательных чисел.
Контрольные вопросы и задания.
4. Объясните на примере функции, заданной формулой y = 6x + 12: а) как по значению аргумента найти соответствующее значение функции; б) как найти значения аргумента, которым соответствует указанное значение функции.
а) Чтобы найти значение функции по значению аргумента, нужно подставить это значение в формулу вместо x и вычислить. Например, при x = 2: y = 6·2 + 12 = 24; при x = −3: y = 6·(−3) + 12 = −6.
б) Чтобы найти аргумент по значению функции, подставляем это значение в формулу вместо y и решаем получившееся уравнение. Например, пусть y = 30: 6x + 12 = 30, 6x = 18, x = 3. Пусть y = 0: 6x + 12 = 0, x = −2.
б) Чтобы найти аргумент по значению функции, подставляем это значение в формулу вместо y и решаем получившееся уравнение. Например, пусть y = 30: 6x + 12 = 30, 6x = 18, x = 3. Пусть y = 0: 6x + 12 = 0, x = −2.
Контрольные вопросы и задания.
5. Что называется графиком функции?
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Иначе говоря, точка (x; y) лежит на графике, если y — значение функции при данном x.
Чтобы построить график, составляют таблицу значений, отмечают соответствующие точки и соединяют их плавной линией: чем больше точек, тем точнее график.
Чтобы построить график, составляют таблицу значений, отмечают соответствующие точки и соединяют их плавной линией: чем больше точек, тем точнее график.
Контрольные вопросы и задания.
6. Покажите, как с помощью графика функции можно найти: а) значение функции, соответствующее значению аргумента; б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции. Используйте для этого график функции, изображённый на рисунке 25 (см. с. 64).
а) Чтобы найти значение функции при данном x, отмечаем это значение на оси x, проводим через него прямую, перпендикулярную оси x, до пересечения с графиком и находим ординату точки пересечения. По рисунку 25: при x = 0 получаем y = −1; при x = 3 получаем y = 1.
б) Чтобы найти значения аргумента для данного значения функции, отмечаем это значение на оси y, проводим через него прямую, параллельную оси x, и находим абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком. По рисунку 25: значению y = −1 соответствует x = 0; значению y = 2 соответствует x = 5 (и ещё одно значение, около −2,5).
Оговорка: значения сняты с графика приближённо.
б) Чтобы найти значения аргумента для данного значения функции, отмечаем это значение на оси y, проводим через него прямую, параллельную оси x, и находим абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком. По рисунку 25: значению y = −1 соответствует x = 0; значению y = 2 соответствует x = 5 (и ещё одно значение, около −2,5).
Оговорка: значения сняты с графика приближённо.