Глава I. Дополнительные упражнения к главе I. К параграфу 2 (окончание), К параграфу 3 — с. 49
224. Докажите, что:
а) выражение x(−1) + x(−2) + x(−3) + 6x тождественно равно нулю;
б) выражение a(−5) + a · 4 + a(−3) + a · 2 тождественно равно −2a.
а) выражение x(−1) + x(−2) + x(−3) + 6x тождественно равно нулю;
б) выражение a(−5) + a · 4 + a(−3) + a · 2 тождественно равно −2a.
а) x(−1) + x(−2) + x(−3) + 6x = −x − 2x − 3x + 6x = (−1 − 2 − 3 + 6)x = 0 · x = 0.
б) a(−5) + a · 4 + a(−3) + a · 2 = (−5 + 4 − 3 + 2)a = −2a.
Тождества доказаны.
б) a(−5) + a · 4 + a(−3) + a · 2 = (−5 + 4 − 3 + 2)a = −2a.
Тождества доказаны.
225. Найдите значение выражения 8a − (4b + 3a) − (4a − 3b):
а) при a = 6,8, b = 7,3; б) при a = −8,9, b = −9,9.
а) при a = 6,8, b = 7,3; б) при a = −8,9, b = −9,9.
Упростим: 8a − (4b + 3a) − (4a − 3b) = 8a − 4b − 3a − 4a + 3b = a − b.
а) 6,8 − 7,3 = −0,5.
б) −8,9 − (−9,9) = −8,9 + 9,9 = 1.
Ответ: а) −0,5; б) 1.
а) 6,8 − 7,3 = −0,5.
б) −8,9 − (−9,9) = −8,9 + 9,9 = 1.
Ответ: а) −0,5; б) 1.
226. Докажите, что значение выражения не зависит от a:
а) a + (2a − (3a − 5)); б) a − (6a − (5a − 8)).
а) a + (2a − (3a − 5)); б) a − (6a − (5a − 8)).
а) a + (2a − (3a − 5)) = a + (2a − 3a + 5) = a + (−a + 5) = a − a + 5 = 5.
б) a − (6a − (5a − 8)) = a − (6a − 5a + 8) = a − (a + 8) = a − a − 8 = −8.
Результат — число, оно не зависит от a.
б) a − (6a − (5a − 8)) = a − (6a − 5a + 8) = a − (a + 8) = a − a − 8 = −8.
Результат — число, оно не зависит от a.
227. Докажите, что если одно из чисел кратно 3, а другое кратно 5, то их произведение кратно 15.
Пусть первое число m кратно 3, то есть m = 3k, а второе n кратно 5, то есть n = 5l, где k и l — целые числа. Тогда mn = 3k · 5l = 15kl. Так как kl — целое число, произведение mn кратно 15.
228. Является ли корнем уравнения (2x − 3,8)(4,2 + 3x) = 0 число:
а) 1,9; б) 2; в) −1,4; г) −3?
а) 1,9; б) 2; в) −1,4; г) −3?
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Проверим числа.
а) x = 1,9: 2 · 1,9 − 3,8 = 0, значит, произведение 0. Является.
б) x = 2: 2 · 2 − 3,8 = 0,2 и 4,2 + 6 = 10,2, оба множителя не нули. Не является.
в) x = −1,4: 4,2 + 3 · (−1,4) = 4,2 − 4,2 = 0. Является.
г) x = −3: 2 · (−3) − 3,8 = −9,8 и 4,2 − 9 = −4,8, оба множителя не нули. Не является.
Ответ: корнями являются 1,9 и −1,4.
а) x = 1,9: 2 · 1,9 − 3,8 = 0, значит, произведение 0. Является.
б) x = 2: 2 · 2 − 3,8 = 0,2 и 4,2 + 6 = 10,2, оба множителя не нули. Не является.
в) x = −1,4: 4,2 + 3 · (−1,4) = 4,2 − 4,2 = 0. Является.
г) x = −3: 2 · (−3) − 3,8 = −9,8 и 4,2 − 9 = −4,8, оба множителя не нули. Не является.
Ответ: корнями являются 1,9 и −1,4.
229. Какие из чисел −4, −3, −1, 3, 4 являются корнями уравнения:
а) x² + 4x + 3 = 0; б) x² + x = 12?
а) x² + 4x + 3 = 0; б) x² + x = 12?
а) x² + 4x + 3: при x = −4: 16 − 16 + 3 = 3 ≠ 0; x = −3: 9 − 12 + 3 = 0, корень; x = −1: 1 − 4 + 3 = 0, корень; x = 3: 9 + 12 + 3 = 24 ≠ 0; x = 4: 16 + 16 + 3 = 35 ≠ 0.
б) x² + x при x = −4: 16 − 4 = 12, корень; x = −3: 9 − 3 = 6 ≠ 12; x = −1: 1 − 1 = 0 ≠ 12; x = 3: 9 + 3 = 12, корень; x = 4: 16 + 4 = 20 ≠ 12.
Ответ: а) −3 и −1; б) −4 и 3.
б) x² + x при x = −4: 16 − 4 = 12, корень; x = −3: 9 − 3 = 6 ≠ 12; x = −1: 1 − 1 = 0 ≠ 12; x = 3: 9 + 3 = 12, корень; x = 4: 16 + 4 = 20 ≠ 12.
Ответ: а) −3 и −1; б) −4 и 3.
230. Имеет ли корни уравнение:
а) 3x + 7 = (9 + x) + 2x; в) x² = x;
б) 5x − 1 = 4(x + 2) − (9 − x); г) x + 1 = x − 1?
а) 3x + 7 = (9 + x) + 2x; в) x² = x;
б) 5x − 1 = 4(x + 2) − (9 − x); г) x + 1 = x − 1?
а) Правая часть 9 + x + 2x = 3x + 9. Получаем 3x + 7 = 3x + 9, 0 · x = 2, неверно при любом x. Корней нет.
б) Правая часть 4x + 8 − 9 + x = 5x − 1. Получаем 5x − 1 = 5x − 1, верно при любом x. Корни есть, корнем является любое число.
в) x² = x: при x = 0 получаем 0 = 0, при x = 1 получаем 1 = 1. Корни есть (0 и 1).
г) x + 1 = x − 1 приводит к 1 = −1, неверно. Корней нет.
Ответ: а) нет; б) имеет (любое число); в) имеет (0 и 1); г) нет.
б) Правая часть 4x + 8 − 9 + x = 5x − 1. Получаем 5x − 1 = 5x − 1, верно при любом x. Корни есть, корнем является любое число.
в) x² = x: при x = 0 получаем 0 = 0, при x = 1 получаем 1 = 1. Корни есть (0 и 1).
г) x + 1 = x − 1 приводит к 1 = −1, неверно. Корней нет.
Ответ: а) нет; б) имеет (любое число); в) имеет (0 и 1); г) нет.
231. Почему не имеет корней уравнение:
а) |x| = −1; б) |x| + 3 = 0?
а) |x| = −1; б) |x| + 3 = 0?
а) Модуль числа неотрицателен, а −1 < 0, поэтому равенство |x| = −1 не выполняется ни при каком x.
б) |x| + 3 = 0 равносильно |x| = −3, но модуль не может быть отрицательным. Иначе: |x| ≥ 0, поэтому |x| + 3 ≥ 3 > 0, и сумма не равна нулю.
б) |x| + 3 = 0 равносильно |x| = −3, но модуль не может быть отрицательным. Иначе: |x| ≥ 0, поэтому |x| + 3 ≥ 3 > 0, и сумма не равна нулю.
232. Решите уравнение:
а) |x| = 5; б) |a| − 17 = 0; в) 6 − |b| = 0.
а) |x| = 5; б) |a| − 17 = 0; в) 6 − |b| = 0.
а) Модуль равен 5 у чисел 5 и −5. Ответ: x = 5 или x = −5.
б) |a| = 17, a = 17 или a = −17.
в) |b| = 6, b = 6 или b = −6.
Ответ: а) ±5; б) ±17; в) ±6.
б) |a| = 17, a = 17 или a = −17.
в) |b| = 6, b = 6 или b = −6.
Ответ: а) ±5; б) ±17; в) ±6.
233. При каких значениях коэффициента m уравнение mx = 5 имеет единственный корень?
Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней?
Уравнение вида ax = b при a ≠ 0 имеет единственный корень. Здесь a = m, b = 5, поэтому при любом m ≠ 0 корень единственный: x = 5/m.
При m = 0 уравнение принимает вид 0x = 5, оно не имеет корней. Значит, такое значение m существует: m = 0.
Бесконечно много корней было бы при a = 0 и b = 0, но b = 5 ≠ 0, поэтому такого значения m не существует.
Ответ: при m ≠ 0; корней нет при m = 0; значения m, при котором корней бесконечно много, нет.
При m = 0 уравнение принимает вид 0x = 5, оно не имеет корней. Значит, такое значение m существует: m = 0.
Бесконечно много корней было бы при a = 0 и b = 0, но b = 5 ≠ 0, поэтому такого значения m не существует.
Ответ: при m ≠ 0; корней нет при m = 0; значения m, при котором корней бесконечно много, нет.
234. При каких значениях коэффициента p уравнение px = 10 имеет корень, равный −5; 1; 20?
Подставляем значение корня в уравнение и находим p.
x = −5: p · (−5) = 10, p = −2.
x = 1: p · 1 = 10, p = 10.
x = 20: 20p = 10, p = 0,5.
Ответ: при p = −2; p = 10; p = 0,5 соответственно.
x = −5: p · (−5) = 10, p = −2.
x = 1: p · 1 = 10, p = 10.
x = 20: 20p = 10, p = 0,5.
Ответ: при p = −2; p = 10; p = 0,5 соответственно.
235. Решите уравнение:
а) 3,8x − (1,6 − 1,2x) = 9,6 + (3,7 − 5x);
б) (4,5y + 9) − (6,2 − 3,1y) = 7,2y + 2,8;
в) 0,6m − 1,4 = (3,5m + 1,7) − (2,7m − 3,4);
г) (5,3a − 0,8) − (1,6 − 4,7a) = 2a − (a − 0,3).
а) 3,8x − (1,6 − 1,2x) = 9,6 + (3,7 − 5x);
б) (4,5y + 9) − (6,2 − 3,1y) = 7,2y + 2,8;
в) 0,6m − 1,4 = (3,5m + 1,7) − (2,7m − 3,4);
г) (5,3a − 0,8) − (1,6 − 4,7a) = 2a − (a − 0,3).
а) 3,8x − 1,6 + 1,2x = 9,6 + 3,7 − 5x; 5x − 1,6 = 13,3 − 5x; 10x = 14,9; x = 1,49.
б) 4,5y + 9 − 6,2 + 3,1y = 7,2y + 2,8; 7,6y + 2,8 = 7,2y + 2,8; 0,4y = 0; y = 0.
в) 0,6m − 1,4 = 3,5m + 1,7 − 2,7m + 3,4; 0,6m − 1,4 = 0,8m + 5,1; −0,2m = 6,5; m = −32,5.
г) 5,3a − 0,8 − 1,6 + 4,7a = 2a − a + 0,3; 10a − 2,4 = a + 0,3; 9a = 2,7; a = 0,3.
Ответ: а) 1,49; б) 0; в) −32,5; г) 0,3.
б) 4,5y + 9 − 6,2 + 3,1y = 7,2y + 2,8; 7,6y + 2,8 = 7,2y + 2,8; 0,4y = 0; y = 0.
в) 0,6m − 1,4 = 3,5m + 1,7 − 2,7m + 3,4; 0,6m − 1,4 = 0,8m + 5,1; −0,2m = 6,5; m = −32,5.
г) 5,3a − 0,8 − 1,6 + 4,7a = 2a − a + 0,3; 10a − 2,4 = a + 0,3; 9a = 2,7; a = 0,3.
Ответ: а) 1,49; б) 0; в) −32,5; г) 0,3.
236. Может ли иметь положительный корень уравнение:
а) (x + 5)(x + 6) + 9 = 0; б) x² + 3x + 1 = 0?
а) (x + 5)(x + 6) + 9 = 0; б) x² + 3x + 1 = 0?
а) Если x > 0, то x + 5 > 0 и x + 6 > 0, их произведение положительно, и (x + 5)(x + 6) + 9 > 0. Равенство нулю невозможно. Положительного корня нет.
б) Если x > 0, то x² > 0, 3x > 0, и x² + 3x + 1 > 0. Равенство нулю невозможно. Положительного корня нет.
Ответ: а) не может; б) не может.
б) Если x > 0, то x² > 0, 3x > 0, и x² + 3x + 1 > 0. Равенство нулю невозможно. Положительного корня нет.
Ответ: а) не может; б) не может.