Глава I. Дополнительные упражнения к главе I. К параграфу 1 (окончание), К параграфу 2 — с. 48
217. Класс в школе, в которой учится Вася, имеет длину, равную 9 м, а ширину — на 3,75 м меньше. В классе три одинаковых окна высотой 2,1 м и шириной 1,5 м.
Комната Васи в квартире, в которой он живёт, имеет ширину 4 м, а длину — 4,5 м. В комнате два квадратных окна размером 1,5 × 1,5 м.
Выясните, в каком помещении лучше естественное освещение.
Для этого:
1) Найдите площадь всех окон класса (световую площадь).
2) Вычислите площадь класса.
3) Узнайте, сколько процентов составляет световая площадь класса по отношению к площади пола.
4) Вычислите площадь комнаты Васи.
5) Подсчитайте световую площадь комнаты и узнайте, сколько процентов составляет световая площадь комнаты по отношению к площади пола.
6) Что больше: световая площадь комнаты Васи или световая площадь класса, в котором он учится, и на сколько процентов?
7) Ответьте на вопрос задачи.
Комната Васи в квартире, в которой он живёт, имеет ширину 4 м, а длину — 4,5 м. В комнате два квадратных окна размером 1,5 × 1,5 м.
Выясните, в каком помещении лучше естественное освещение.
Для этого:
1) Найдите площадь всех окон класса (световую площадь).
2) Вычислите площадь класса.
3) Узнайте, сколько процентов составляет световая площадь класса по отношению к площади пола.
4) Вычислите площадь комнаты Васи.
5) Подсчитайте световую площадь комнаты и узнайте, сколько процентов составляет световая площадь комнаты по отношению к площади пола.
6) Что больше: световая площадь комнаты Васи или световая площадь класса, в котором он учится, и на сколько процентов?
7) Ответьте на вопрос задачи.
1) Площадь одного окна класса 2,1 · 1,5 = 3,15 м², трёх окон 3 · 3,15 = 9,45 м².
2) Ширина класса 9 − 3,75 = 5,25 м. Площадь класса 9 · 5,25 = 47,25 м².
3) 9,45 : 47,25 = 0,2, то есть 20%.
4) Площадь комнаты Васи 4 · 4,5 = 18 м².
5) Площадь одного окна 1,5 · 1,5 = 2,25 м², двух окон 4,5 м². 4,5 : 18 = 0,25, то есть 25%.
6) Световая площадь класса 9,45 м² больше световой площади комнаты 4,5 м². Разность 9,45 − 4,5 = 4,95 м², что составляет 4,95 : 4,5 = 1,1, то есть 110% от световой площади комнаты. Значит, световая площадь класса больше на 110%.
7) Освещение оценивают по доле световой площади в площади пола: в комнате Васи 25%, в классе 20%. Естественное освещение лучше в комнате Васи.
Ответ: 1) 9,45 м²; 2) 47,25 м²; 3) 20%; 4) 18 м²; 5) 4,5 м², 25%; 6) у класса больше, на 110%; 7) лучше в комнате Васи.
Оговорка: в п. 6 процент считаем от меньшей величины (световой площади комнаты); от площади класса разница составила бы около 52%.
2) Ширина класса 9 − 3,75 = 5,25 м. Площадь класса 9 · 5,25 = 47,25 м².
3) 9,45 : 47,25 = 0,2, то есть 20%.
4) Площадь комнаты Васи 4 · 4,5 = 18 м².
5) Площадь одного окна 1,5 · 1,5 = 2,25 м², двух окон 4,5 м². 4,5 : 18 = 0,25, то есть 25%.
6) Световая площадь класса 9,45 м² больше световой площади комнаты 4,5 м². Разность 9,45 − 4,5 = 4,95 м², что составляет 4,95 : 4,5 = 1,1, то есть 110% от световой площади комнаты. Значит, световая площадь класса больше на 110%.
7) Освещение оценивают по доле световой площади в площади пола: в комнате Васи 25%, в классе 20%. Естественное освещение лучше в комнате Васи.
Ответ: 1) 9,45 м²; 2) 47,25 м²; 3) 20%; 4) 18 м²; 5) 4,5 м², 25%; 6) у класса больше, на 110%; 7) лучше в комнате Васи.
Оговорка: в п. 6 процент считаем от меньшей величины (световой площади комнаты); от площади класса разница составила бы около 52%.
218. Найдите значение выражения:
а) 5,9 · 2,6 + 5,9 · 3,2 + 5,8 · 4,1;
б) 6,8 · 8,4 − 1,6 · 8,4 + 5,2 · 1,6.
а) 5,9 · 2,6 + 5,9 · 3,2 + 5,8 · 4,1;
б) 6,8 · 8,4 − 1,6 · 8,4 + 5,2 · 1,6.
а) Первые два слагаемых: 5,9 · (2,6 + 3,2) = 5,9 · 5,8. Тогда 5,9 · 5,8 + 5,8 · 4,1 = 5,8 · (5,9 + 4,1) = 5,8 · 10 = 58.
б) 6,8 · 8,4 − 1,6 · 8,4 = 8,4 · (6,8 − 1,6) = 8,4 · 5,2. Тогда 8,4 · 5,2 + 5,2 · 1,6 = 5,2 · (8,4 + 1,6) = 5,2 · 10 = 52.
Ответ: а) 58; б) 52.
б) 6,8 · 8,4 − 1,6 · 8,4 = 8,4 · (6,8 − 1,6) = 8,4 · 5,2. Тогда 8,4 · 5,2 + 5,2 · 1,6 = 5,2 · (8,4 + 1,6) = 5,2 · 10 = 52.
Ответ: а) 58; б) 52.
219. Вычислите:
а) (1,25 · 1,7 · 0,8 − 1,7) · 3,45;
б) 3,947 : (3,6 − 2,6 · 4 · 0,25).
а) (1,25 · 1,7 · 0,8 − 1,7) · 3,45;
б) 3,947 : (3,6 − 2,6 · 4 · 0,25).
а) 1,25 · 0,8 = 1, поэтому 1,25 · 1,7 · 0,8 = 1,7. Скобка 1,7 − 1,7 = 0, и всё произведение равно 0 · 3,45 = 0.
б) 2,6 · 4 · 0,25 = 2,6 · 1 = 2,6. Скобка 3,6 − 2,6 = 1. Значение 3,947 : 1 = 3,947.
Ответ: а) 0; б) 3,947.
б) 2,6 · 4 · 0,25 = 2,6 · 1 = 2,6. Скобка 3,6 − 2,6 = 1. Значение 3,947 : 1 = 3,947.
Ответ: а) 0; б) 3,947.
220. Объясните, почему равенство является тождеством:
а) |x| = |−x|; б) |x − y| = |y − x|; в) |2c| = 2|c|.
а) |x| = |−x|; б) |x − y| = |y − x|; в) |2c| = 2|c|.
а) Числа x и −x противоположны, а противоположные числа имеют равные модули, значит, равенство верно при любом x.
б) Числа x − y и y − x противоположны (y − x = −(x − y)), их модули равны при любых x и y.
в) |2c| = |2| · |c| = 2|c|, так как модуль произведения равен произведению модулей, а |2| = 2. Равенство верно при любом c.
б) Числа x − y и y − x противоположны (y − x = −(x − y)), их модули равны при любых x и y.
в) |2c| = |2| · |c| = 2|c|, так как модуль произведения равен произведению модулей, а |2| = 2. Равенство верно при любом c.
221. Является ли тождеством равенство:
а) |a + 5| = a + 5; б) |a² + 4| = a² + 4; в) |a − b| − |b − a| = 0; г) |a + b| − |a| = |b|?
а) |a + 5| = a + 5; б) |a² + 4| = a² + 4; в) |a − b| − |b − a| = 0; г) |a + b| − |a| = |b|?
а) Нет. При a = −6 левая часть |−1| = 1, правая −6 + 5 = −1, 1 ≠ −1. Равенство верно лишь при a ≥ −5.
б) Да. Так как a² + 4 > 0 при любом a, модуль положительного числа равен самому числу.
в) Да. Числа a − b и b − a противоположны, их модули равны, поэтому разность модулей равна нулю при любых a и b.
г) Нет. При a = 1, b = −1: |0| − |1| = −1, а |b| = 1.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
б) Да. Так как a² + 4 > 0 при любом a, модуль положительного числа равен самому числу.
в) Да. Числа a − b и b − a противоположны, их модули равны, поэтому разность модулей равна нулю при любых a и b.
г) Нет. При a = 1, b = −1: |0| − |1| = −1, а |b| = 1.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
222. Докажите, что:
а) если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное первое число;
б) если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное второе число.
а) если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное первое число;
б) если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное второе число.
Пусть a и b — данные числа, a + b — их сумма, a − b — разность.
а) (a + b) + (a − b) = a + b + a − b = 2a — удвоенное первое число.
б) (a + b) − (a − b) = a + b − a + b = 2b — удвоенное второе число.
Что и требовалось доказать.
а) (a + b) + (a − b) = a + b + a − b = 2a — удвоенное первое число.
б) (a + b) − (a − b) = a + b − a + b = 2b — удвоенное второе число.
Что и требовалось доказать.
223. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) (a + b)x + (a − b)x − 2ax; б) 8(x − y) + 8(y − x).
а) (a + b)x + (a − b)x − 2ax; б) 8(x − y) + 8(y − x).
а) (a + b)x + (a − b)x − 2ax = ax + bx + ax − bx − 2ax = 2ax − 2ax = 0.
б) 8(x − y) + 8(y − x) = 8x − 8y + 8y − 8x = 0.
В обоих случаях после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается 0 при любых значениях переменных.
б) 8(x − y) + 8(y − x) = 8x − 8y + 8y − 8x = 0.
В обоих случаях после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается 0 при любых значениях переменных.