Глава I. §3. Контрольные вопросы и задания — с. 42
1. Сформулируйте определение корня уравнения. Является ли число 7 корнем уравнения: 6x = 42; 0x = 11; (16 − 2 · 8)x = 0?
Корнем уравнения называют то значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
6x = 42: при x = 7 получаем 6 · 7 = 42, верное равенство, 7 является корнем.
0x = 11: при x = 7 получаем 0 = 11, неверно, 7 не является корнем (при любом x левая часть равна 0).
(16 − 2 · 8)x = 0: коэффициент 16 − 16 = 0, при x = 7 получаем 0 · 7 = 0, верное равенство, 7 является корнем (корнем будет любое число).
Ответ: 7 является корнем первого и третьего уравнений и не является корнем второго.
6x = 42: при x = 7 получаем 6 · 7 = 42, верное равенство, 7 является корнем.
0x = 11: при x = 7 получаем 0 = 11, неверно, 7 не является корнем (при любом x левая часть равна 0).
(16 − 2 · 8)x = 0: коэффициент 16 − 16 = 0, при x = 7 получаем 0 · 7 = 0, верное равенство, 7 является корнем (корнем будет любое число).
Ответ: 7 является корнем первого и третьего уравнений и не является корнем второго.
2. Что значит решить уравнение?
Решите уравнение: 6x = −12; x − 2x · 6 = 0; 5x − 4x = 6 + x.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
6x = −12: x = −12 : 6 = −2.
x − 2x · 6 = 0: x − 12x = 0, −11x = 0, x = 0.
5x − 4x = 6 + x: x = 6 + x, отсюда 0 · x = 6, равенство неверно при любом x, корней нет.
Ответ: −2; 0; корней нет.
6x = −12: x = −12 : 6 = −2.
x − 2x · 6 = 0: x − 12x = 0, −11x = 0, x = 0.
5x − 4x = 6 + x: x = 6 + x, отсюда 0 · x = 6, равенство неверно при любом x, корней нет.
Ответ: −2; 0; корней нет.
3. Какие уравнения называются равносильными?
Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению: 5x − 1 = 3; 0,2x = 1,1; 3x − 4x + 6 = 0.
Уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Уравнения, не имеющие корней, тоже считают равносильными.
Свойства уравнений: 1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; 2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.
Примеры. 5x − 1 = 3 равносильно 5x = 4 (перенесли −1 с обратным знаком); корень 0,8. 0,2x = 1,1 равносильно 2x = 11 (обе части умножили на 10); корень 5,5. 3x − 4x + 6 = 0 равносильно −x + 6 = 0, а оно равносильно x = 6 (обе части разделили на −1); корень 6.
Свойства уравнений: 1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; 2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.
Примеры. 5x − 1 = 3 равносильно 5x = 4 (перенесли −1 с обратным знаком); корень 0,8. 0,2x = 1,1 равносильно 2x = 11 (обе части умножили на 10); корень 5,5. 3x − 4x + 6 = 0 равносильно −x + 6 = 0, а оно равносильно x = 6 (обе части разделили на −1); корень 6.
4. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры.
Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — некоторые числа.
Примеры: 3x = 12; −0,5x = 2; 0x = 7. К такому виду приводятся и другие уравнения, например 5x − 4 = 2x + 8 (после переноса слагаемых и приведения подобных получаем 3x = 12).
Примеры: 3x = 12; −0,5x = 2; 0x = 7. К такому виду приводятся и другие уравнения, например 5x − 4 = 2x + 8 (после переноса слагаемых и приведения подобных получаем 3x = 12).
5. В каком случае уравнение ax = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней?
Приведите примеры.
Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственный корень x = b/a. Пример: 4x = 10, x = 2,5.
Если a = 0 и b = 0, то уравнение имеет вид 0x = 0, и его корнем является любое число, то есть корней бесконечно много. Пример: 0x = 0.
Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение имеет вид 0x = b, где b ≠ 0, и верного равенства не получается ни при каком x, корней нет. Пример: 0x = 5.
Если a = 0 и b = 0, то уравнение имеет вид 0x = 0, и его корнем является любое число, то есть корней бесконечно много. Пример: 0x = 0.
Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение имеет вид 0x = b, где b ≠ 0, и верного равенства не получается ни при каком x, корней нет. Пример: 0x = 5.