Глава I. §3. п.9 Решение задач с помощью уравнений — с. 41
179. (Для работы в парах.) В классе учится … учащихся. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5 :
4. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?
1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.
2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.
3) Обсудите полученные ответы.
1) Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.
2) Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.
3) Обсудите полученные ответы.
1) Число девочек составляет 5 частей, число мальчиков 4 части, всего 9 частей. Значит, число учащихся должно делиться на 9: например, 18, 27, 36 (для реального класса подходят числа примерно от 18 до 36).
2) Возьмём 27 учащихся. Пусть на одну часть приходится x человек, тогда девочек 5x, мальчиков 4x, и 5x + 4x = 27, 9x = 27, x = 3. Девочек 15, мальчиков 12.
Для 18 учащихся x = 2: 10 девочек и 8 мальчиков. Для 36: x = 4, 20 девочек и 16 мальчиков.
3) Обсуждение: если число учащихся не делится на 9 (например, 25 или 30), то число частей x не будет целым и задача решения не имеет.
Ответ: число учащихся кратно 9; например, при 27 учащихся 15 девочек и 12 мальчиков.
2) Возьмём 27 учащихся. Пусть на одну часть приходится x человек, тогда девочек 5x, мальчиков 4x, и 5x + 4x = 27, 9x = 27, x = 3. Девочек 15, мальчиков 12.
Для 18 учащихся x = 2: 10 девочек и 8 мальчиков. Для 36: x = 4, 20 девочек и 16 мальчиков.
3) Обсуждение: если число учащихся не делится на 9 (например, 25 или 30), то число частей x не будет целым и задача решения не имеет.
Ответ: число учащихся кратно 9; например, при 27 учащихся 15 девочек и 12 мальчиков.
180. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?
Пусть в корзине было x кг, тогда в ящике 2x кг. После добавления в корзине x + 2 кг, и это на 0,5 кг больше, чем в ящике: x + 2 = 2x + 0,5.
2 − 0,5 = 2x − x, x = 1,5.
Ответ: 1,5 кг.
2 − 0,5 = 2x − x, x = 1,5.
Ответ: 1,5 кг.
181. Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.
Пусть первый арбуз имеет массу x кг, тогда второй x + 2 кг, третий 5x кг. Первый и третий вместе x + 5x = 6x кг, что в 3 раза больше массы второго: 6x = 3(x + 2).
6x = 3x + 6, 3x = 6, x = 2. Второй арбуз 4 кг, третий 10 кг.
Ответ: 2 кг, 4 кг и 10 кг.
6x = 3x + 6, 3x = 6, x = 2. Второй арбуз 4 кг, третий 10 кг.
Ответ: 2 кг, 4 кг и 10 кг.
182. В двух мешках было по 50 кг сахара. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в нём осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько сахара осталось в каждом мешке?
Пусть из одного мешка взяли x кг, тогда из другого 3x кг. В первом осталось 50 − x кг, во втором 50 − 3x кг. Во втором осталось в 2 раза меньше: 2(50 − 3x) = 50 − x.
100 − 6x = 50 − x, 50 = 5x, x = 10. В первом мешке осталось 40 кг, во втором 50 − 30 = 20 кг.
Ответ: 40 кг и 20 кг.
100 − 6x = 50 − x, 50 = 5x, x = 10. В первом мешке осталось 40 кг, во втором 50 − 30 = 20 кг.
Ответ: 40 кг и 20 кг.
183. Постройте в координатной плоскости точку, у которой:
а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе;
б) абсцисса равна −2, а ордината на единицу больше;
в) абсцисса равна 1,5, а ордината на единицу меньше;
г) абсцисса равна 6, а ордината — противоположному числу.
а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе;
б) абсцисса равна −2, а ордината на единицу больше;
в) абсцисса равна 1,5, а ордината на единицу меньше;
г) абсцисса равна 6, а ордината — противоположному числу.
а) Ордината противоположна абсциссе 3, то есть равна −3. Точка (3; −3).
б) Ордината на единицу больше абсциссы: −2 + 1 = −1. Точка (−2; −1).
в) Ордината на единицу меньше абсциссы: 1,5 − 1 = 0,5. Точка (1,5; 0,5).
г) Ордината противоположна абсциссе 6, то есть равна −6. Точка (6; −6).
Точки отмечены на рисунке буквами пунктов.
Ответ: а) (3; −3); б) (−2; −1); в) (1,5; 0,5); г) (6; −6).
б) Ордината на единицу больше абсциссы: −2 + 1 = −1. Точка (−2; −1).
в) Ордината на единицу меньше абсциссы: 1,5 − 1 = 0,5. Точка (1,5; 0,5).
г) Ордината противоположна абсциссе 6, то есть равна −6. Точка (6; −6).
Точки отмечены на рисунке буквами пунктов.
Ответ: а) (3; −3); б) (−2; −1); в) (1,5; 0,5); г) (6; −6).
184. Постройте на координатной плоскости отрезок MN, зная координаты его концов: M(−1; 4) и N(2; −2). Найдите координаты точек пересечения этого отрезка с осью x и с осью y.
Отмечаем точки M(−1; 4) и N(2; −2) и соединяем их отрезком (см. рисунок). Отрезок пересекает ось x и ось y.
Для точного нахождения заметим: при переходе от M к N абсцисса увеличивается на 3, ордината уменьшается на 6, то есть при увеличении x на 1 значение y уменьшается на 2. От M(−1; 4) при шаге на 1 вправо получаем точку (0; 2) — это пересечение с осью y. Ещё шаг вправо даёт точку (1; 0) — пересечение с осью x. Точка (2; −2) совпадает с N, что подтверждает расчёт.
Ответ: с осью x в точке (1; 0), с осью y в точке (0; 2).
Для точного нахождения заметим: при переходе от M к N абсцисса увеличивается на 3, ордината уменьшается на 6, то есть при увеличении x на 1 значение y уменьшается на 2. От M(−1; 4) при шаге на 1 вправо получаем точку (0; 2) — это пересечение с осью y. Ещё шаг вправо даёт точку (1; 0) — пересечение с осью x. Точка (2; −2) совпадает с N, что подтверждает расчёт.
Ответ: с осью x в точке (1; 0), с осью y в точке (0; 2).
185. Найдите значение выражения −0,5(7b − 12a) − (8,4a − 14b) при a = −10, b = −6.
Упростим: −0,5(7b − 12a) − (8,4a − 14b) = −3,5b + 6a − 8,4a + 14b = 10,5b − 2,4a.
При a = −10, b = −6: 10,5 · (−6) − 2,4 · (−10) = −63 + 24 = −39.
Ответ: −39.
При a = −10, b = −6: 10,5 · (−6) − 2,4 · (−10) = −63 + 24 = −39.
Ответ: −39.
186. Сравните с нулём значение выражения:
а) −3,52 · 1,7; б) (−2,88) : (−0,9); в) 42 3/7 − 53 2/3; г) (6,4 − 6 2/5)/8; д) (17 1/3 − 17 5/6)/7; е) (1 − 2 1/3)/(1 + 2 1/3).
а) −3,52 · 1,7; б) (−2,88) : (−0,9); в) 42 3/7 − 53 2/3; г) (6,4 − 6 2/5)/8; д) (17 1/3 − 17 5/6)/7; е) (1 − 2 1/3)/(1 + 2 1/3).
а) Произведение чисел разных знаков отрицательно: значение < 0.
б) Частное двух отрицательных чисел положительно: значение > 0.
в) 42 3/7 < 53 2/3, поэтому разность отрицательна: значение < 0.
г) 6 2/5 = 6,4, числитель 6,4 − 6,4 = 0, значение равно 0.
д) 17 1/3 < 17 5/6, числитель отрицателен, знаменатель 7 положителен: значение < 0.
е) Числитель 1 − 2 1/3 = −1 1/3 < 0, знаменатель 1 + 2 1/3 > 0, частное отрицательно: значение < 0.
Ответ: а) < 0; б) > 0; в) < 0; г) = 0; д) < 0; е) < 0.
б) Частное двух отрицательных чисел положительно: значение > 0.
в) 42 3/7 < 53 2/3, поэтому разность отрицательна: значение < 0.
г) 6 2/5 = 6,4, числитель 6,4 − 6,4 = 0, значение равно 0.
д) 17 1/3 < 17 5/6, числитель отрицателен, знаменатель 7 положителен: значение < 0.
е) Числитель 1 − 2 1/3 = −1 1/3 < 0, знаменатель 1 + 2 1/3 > 0, частное отрицательно: значение < 0.
Ответ: а) < 0; б) > 0; в) < 0; г) = 0; д) < 0; е) < 0.