Глава I. §3. п.7 Уравнение и его корни — с. 34
137. Какое из уравнений не имеет корней: 3x + 11 = 3(x + 4) + 1 или 33x = 18x?
Первое: 3x + 11 = 3x + 12 + 1, то есть 3x + 11 = 3x + 13; 3x − 3x = 13 − 11, 0·x = 2 — неверно при любом x, корней нет.
Второе: 33x − 18x = 0, 15x = 0, x = 0 — корень есть.
Ответ: первое уравнение.
Второе: 33x − 18x = 0, 15x = 0, x = 0 — корень есть.
Ответ: первое уравнение.
138. Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого является число: а) 8; б) −12.
Достаточно взять уравнение, обращающееся в верное равенство при заданном значении.
а) Например, x − 8 = 0 (или 2x = 16, или x + 3 = 11). Проверка: при x = 8 получаем 0 = 0.
б) Например, x + 12 = 0 (или 3x = −36, или x − 5 = −17). Проверка: при x = −12 получаем 0 = 0.
Оговорка: ответ неоднозначен, подойдёт любое уравнение с таким корнем.
а) Например, x − 8 = 0 (или 2x = 16, или x + 3 = 11). Проверка: при x = 8 получаем 0 = 0.
б) Например, x + 12 = 0 (или 3x = −36, или x − 5 = −17). Проверка: при x = −12 получаем 0 = 0.
Оговорка: ответ неоднозначен, подойдёт любое уравнение с таким корнем.
139. Имеет ли уравнение корни и, если имеет, то сколько: а) |x| = 1; б) |x| = 0; в) |x| = −5; г) |x| = 1,3?
Модуль числа — неотрицательное число; |x| = a при a > 0 даёт два числа x = a и x = −a.
а) |x| = 1: два корня, 1 и −1.
б) |x| = 0: один корень, 0.
в) |x| = −5: корней нет, так как модуль не может быть отрицательным.
г) |x| = 1,3: два корня, 1,3 и −1,3.
а) |x| = 1: два корня, 1 и −1.
б) |x| = 0: один корень, 0.
в) |x| = −5: корней нет, так как модуль не может быть отрицательным.
г) |x| = 1,3: два корня, 1,3 и −1,3.
140. Замените: а) уравнение 0,3x = −4 равносильным уравнением с целыми коэффициентами; б) уравнение 5x − 4 = 21 равносильным уравнением вида ax = b, где a и b — некоторые числа.
а) Умножим обе части уравнения на 10: 3x = −40. Коэффициенты 3 и −40 — целые.
б) Перенесём −4 в правую часть, изменив знак: 5x = 21 + 4, 5x = 25 (a = 5, b = 25).
б) Перенесём −4 в правую часть, изменив знак: 5x = 21 + 4, 5x = 25 (a = 5, b = 25).
141. Упростите выражение: а) 0,4(7x − 2) − 1,6 + 1,7x; б) (1,2a − 4) + (40 − 4,8a); в) 2,5(4 − 3y) − y + 2,3; г) (14 − 3,6b) − (12 + 10,4b).
а) 2,8x − 0,8 − 1,6 + 1,7x = 4,5x − 2,4.
б) 1,2a − 4 + 40 − 4,8a = 36 − 3,6a.
в) 10 − 7,5y − y + 2,3 = 12,3 − 8,5y.
г) 14 − 3,6b − 12 − 10,4b = 2 − 14b.
б) 1,2a − 4 + 40 − 4,8a = 36 − 3,6a.
в) 10 − 7,5y − y + 2,3 = 12,3 − 8,5y.
г) 14 − 3,6b − 12 − 10,4b = 2 − 14b.
142. Найдите значение выражения 8(3 − 3,5m) − 20 + 23m при m = 2,5; 1,2; 40.
Упростим: 24 − 28m − 20 + 23m = 4 − 5m.
m = 2,5: 4 − 12,5 = −8,5.
m = 1,2: 4 − 6 = −2.
m = 40: 4 − 200 = −196.
Ответ: −8,5; −2; −196.
m = 2,5: 4 − 12,5 = −8,5.
m = 1,2: 4 − 6 = −2.
m = 40: 4 − 200 = −196.
Ответ: −8,5; −2; −196.
143. На координатной плоскости (рис. 6) отмечены точки A, B, C, D, E и F. Найдите их координаты. [рисунок 6: координатная плоскость с клетчатой сеткой; единичный отрезок — одна клетка; отмечены точки A, B, C, D, E, F]
Координаты читаем по клеткам: сначала абсцисса (сдвиг по оси x), затем ордината (сдвиг по оси y).
A — 2 клетки вправо, 4 вверх: A(2; 4).
B — 3 влево, 2 вверх: B(−3; 2).
C — 1 влево, 5 вниз: C(−1; −5).
D — 4 вправо, 4 вниз: D(4; −4).
E — на оси y, 2 вниз: E(0; −2).
F — на оси x, 3 вправо: F(3; 0).
A — 2 клетки вправо, 4 вверх: A(2; 4).
B — 3 влево, 2 вверх: B(−3; 2).
C — 1 влево, 5 вниз: C(−1; −5).
D — 4 вправо, 4 вниз: D(4; −4).
E — на оси y, 2 вниз: E(0; −2).
F — на оси x, 3 вправо: F(3; 0).
144. Отметьте на координатной плоскости точки A(−4; −2), B(0; −3), C(3; −3), D(−2; 0), E(−1; 5), F(0; 1).
Абсциссу откладываем по оси x, ординату — по оси y.
A(−4; −2): 4 влево от начала, затем 2 вниз.
B(0; −3): на оси y, 3 вниз от начала.
C(3; −3): 3 вправо, затем 3 вниз.
D(−2; 0): на оси x, 2 влево.
E(−1; 5): 1 влево, затем 5 вверх.
F(0; 1): на оси y, 1 вверх.
Точки отмечены на рисунке красным.
A(−4; −2): 4 влево от начала, затем 2 вниз.
B(0; −3): на оси y, 3 вниз от начала.
C(3; −3): 3 вправо, затем 3 вниз.
D(−2; 0): на оси x, 2 влево.
E(−1; 5): 1 влево, затем 5 вверх.
F(0; 1): на оси y, 1 вверх.
Точки отмечены на рисунке красным.