Глава I. §3. п.7 Уравнение и его корни — с. 33
130. Является ли число 3 корнем уравнения: а) 5(2x − 1) = 8x + 1; б) (x − 4)(x + 4) = 7?
Подставим x = 3.
а) Левая часть 5(2·3 − 1) = 5·5 = 25, правая 8·3 + 1 = 25; 25 = 25, равенство верное, число 3 — корень.
б) Левая часть (3 − 4)(3 + 4) = (−1)·7 = −7, правая 7; −7 ≠ 7, число 3 не является корнем.
Ответ: а) да; б) нет.
а) Левая часть 5(2·3 − 1) = 5·5 = 25, правая 8·3 + 1 = 25; 25 = 25, равенство верное, число 3 — корень.
б) Левая часть (3 − 4)(3 + 4) = (−1)·7 = −7, правая 7; −7 ≠ 7, число 3 не является корнем.
Ответ: а) да; б) нет.
131. Какие из чисел −2, −1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения: а) x² = 10 − 3x; б) x(x² − 7) = 6?
а) Проверим числа. x = −2: 4 и 10 + 6 = 16 — нет. x = −1: 1 и 13 — нет. x = 0: 0 и 10 — нет. x = 2: 4 и 10 − 6 = 4 — да. x = 3: 9 и 10 − 9 = 1 — нет. Корень: 2.
б) x = −2: −2(4 − 7) = 6 — да. x = −1: −1(1 − 7) = 6 — да. x = 0: 0 ≠ 6 — нет. x = 2: 2(4 − 7) = −6 — нет. x = 3: 3(9 − 7) = 6 — да. Корни: −2, −1, 3.
б) x = −2: −2(4 − 7) = 6 — да. x = −1: −1(1 − 7) = 6 — да. x = 0: 0 ≠ 6 — нет. x = 2: 2(4 − 7) = −6 — нет. x = 3: 3(9 − 7) = 6 — да. Корни: −2, −1, 3.
132. Является ли корнем уравнения x(x − 5) = 6 число: 1; −1; 6; −6?
x = 1: 1·(−4) = −4 ≠ 6 — нет.
x = −1: −1·(−6) = 6 — да.
x = 6: 6·1 = 6 — да.
x = −6: −6·(−11) = 66 ≠ 6 — нет.
Ответ: корнями являются числа −1 и 6.
x = −1: −1·(−6) = 6 — да.
x = 6: 6·1 = 6 — да.
x = −6: −6·(−11) = 66 ≠ 6 — нет.
Ответ: корнями являются числа −1 и 6.
133. Докажите, что каждое из чисел 7, −3 и 0 является корнем уравнения x(x + 3)(x − 7) = 0.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
x = 7: 7·10·0 = 0 (множитель x − 7 = 0).
x = −3: −3·0·(−10) = 0 (множитель x + 3 = 0).
x = 0: 0·3·(−7) = 0 (множитель x = 0).
Во всех случаях получаем верное равенство 0 = 0, значит, каждое из чисел — корень уравнения.
x = 7: 7·10·0 = 0 (множитель x − 7 = 0).
x = −3: −3·0·(−10) = 0 (множитель x + 3 = 0).
x = 0: 0·3·(−7) = 0 (множитель x = 0).
Во всех случаях получаем верное равенство 0 = 0, значит, каждое из чисел — корень уравнения.
134. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и −1,2 является корнем уравнения x² = 1,44.
При x = 1,2: 1,2² = 1,2·1,2 = 1,44, равенство верное.
При x = −1,2: (−1,2)² = (−1,2)(−1,2) = 1,44, равенство верное.
Значит, оба числа — корни уравнения.
При x = −1,2: (−1,2)² = (−1,2)(−1,2) = 1,44, равенство верное.
Значит, оба числа — корни уравнения.
135. Докажите, что: а) корнем уравнения 1,4(y + 5) = 7 + 1,4y является любое число; б) уравнение y − 3 = y не имеет корней.
а) Преобразуем левую часть: 1,4(y + 5) = 1,4y + 7 = 7 + 1,4y. Получили правую часть, то есть равенство верно при любом y, и любое число является корнем.
б) Перенесём y в левую часть: y − 3 − y = 0, откуда −3 = 0 — неверное равенство. (Или: при любом y левая часть на 3 меньше правой.) Значит, уравнение корней не имеет.
б) Перенесём y в левую часть: y − 3 − y = 0, откуда −3 = 0 — неверное равенство. (Или: при любом y левая часть на 3 меньше правой.) Значит, уравнение корней не имеет.
136. Имеет ли корни уравнение: а) 2x + 3 = 2x + 8; б) 2y = y?
а) Перенесём 2x влево: 2x − 2x = 8 − 3, 0·x = 5 — неверно ни при каком x. Корней нет.
б) 2y − y = 0, y = 0. Уравнение имеет один корень — число 0.
б) 2y − y = 0, y = 0. Уравнение имеет один корень — число 0.