Глава I. §2. п.6 Тождества. Тождественные преобразования выражений — с. 30
112. Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения: а) 1,2·(5 − a); б) (m − 4x)·(−6); в) 2,5·(4x − 6y − 2); г) −0,1·(100a + 10b − c).
а) 1,2(5 − a) = 6 − 1,2a.
б) (m − 4x)(−6) = −6m + 24x.
в) 2,5(4x − 6y − 2) = 10x − 15y − 5.
г) −0,1(100a + 10b − c) = −10a − b + 0,1c.
б) (m − 4x)(−6) = −6m + 24x.
в) 2,5(4x − 6y − 2) = 10x − 15y − 5.
г) −0,1(100a + 10b − c) = −10a − b + 0,1c.
113. Среди выражений 2(b − a), −2(a − b), −2a − 2b, −2a + 2b найдите те, которые тождественно равны выражению 2b − 2a.
Раскроем скобки.
2(b − a) = 2b − 2a — равно.
−2(a − b) = −2a + 2b = 2b − 2a — равно.
−2a − 2b — не равно (знак перед 2b другой; при a = 0, b = 1 получаем −2, а 2b − 2a = 2).
−2a + 2b = 2b − 2a — равно.
Ответ: 2(b − a); −2(a − b); −2a + 2b.
2(b − a) = 2b − 2a — равно.
−2(a − b) = −2a + 2b = 2b − 2a — равно.
−2a − 2b — не равно (знак перед 2b другой; при a = 0, b = 1 получаем −2, а 2b − 2a = 2).
−2a + 2b = 2b − 2a — равно.
Ответ: 2(b − a); −2(a − b); −2a + 2b.
114. Приведите подобные слагаемые: а) 5a + 27a − a; б) 12b − 17b − b; в) 6x − 14 − 13x + 26; г) −8 − y + 17 − 10y.
а) (5 + 27 − 1)a = 31a.
б) (12 − 17 − 1)b = −6b.
в) (6x − 13x) + (−14 + 26) = −7x + 12.
г) (−y − 10y) + (−8 + 17) = −11y + 9.
Ответ: а) 31a; б) −6b; в) −7x + 12; г) 9 − 11y.
б) (12 − 17 − 1)b = −6b.
в) (6x − 13x) + (−14 + 26) = −7x + 12.
г) (−y − 10y) + (−8 + 17) = −11y + 9.
Ответ: а) 31a; б) −6b; в) −7x + 12; г) 9 − 11y.
115. Приведите подобные слагаемые: а) 13a + 2b − 2a − b; б) 41x − 58x + 6y − y; в) −5,1a − 4b − 4,9a + b; г) 7,5x + y − 8,5x − 3,5y.
а) (13a − 2a) + (2b − b) = 11a + b.
б) (41x − 58x) + (6y − y) = −17x + 5y.
в) (−5,1a − 4,9a) + (−4b + b) = −10a − 3b.
г) (7,5x − 8,5x) + (y − 3,5y) = −x − 2,5y.
б) (41x − 58x) + (6y − y) = −17x + 5y.
в) (−5,1a − 4,9a) + (−4b + b) = −10a − 3b.
г) (7,5x − 8,5x) + (y − 3,5y) = −x − 2,5y.
116. Приведите подобные слагаемые: а) 8x − 6y + 7x − 2y; б) 27p + 14q − 16p − 3q; в) 3,5b − 2,4c − 0,6c − 0,7b; г) 1,6a + 4x − 2,8a − 7,5x.
а) (8x + 7x) + (−6y − 2y) = 15x − 8y.
б) (27p − 16p) + (14q − 3q) = 11p + 11q.
в) (3,5b − 0,7b) + (−2,4c − 0,6c) = 2,8b − 3c.
г) (1,6a − 2,8a) + (4x − 7,5x) = −1,2a − 3,5x.
б) (27p − 16p) + (14q − 3q) = 11p + 11q.
в) (3,5b − 0,7b) + (−2,4c − 0,6c) = 2,8b − 3c.
г) (1,6a − 2,8a) + (4x − 7,5x) = −1,2a − 3,5x.
117. Раскройте скобки: а) x + (b + c + d − m); б) a − (b − c − d); в) x + y − (b + c − m); г) x + (a − b) − (c + d).
Перед скобкой «плюс» — знаки слагаемых сохраняем; перед скобкой «минус» — меняем на противоположные.
а) x + b + c + d − m.
б) a − b + c + d.
в) x + y − b − c + m.
г) x + a − b − c − d.
а) x + b + c + d − m.
б) a − b + c + d.
в) x + y − b − c + m.
г) x + a − b − c − d.
118. Запишите без скобок выражение: а) m + (a − k − b); б) m − (a − k − b); в) x + a + (m − 2); г) a − (b − c) + (m + n).
а) m + a − k − b.
б) m − a + k + b.
в) x + a + m − 2.
г) a − b + c + m + n.
б) m − a + k + b.
в) x + a + m − 2.
г) a − b + c + m + n.
119. Упростите выражение: а) 5 − (a − 3); б) 7 + (12 − 2b); в) 64 − (14 + 7x); г) 38 + (12p − 8).
а) 5 − a + 3 = 8 − a.
б) 7 + 12 − 2b = 19 − 2b.
в) 64 − 14 − 7x = 50 − 7x.
г) 38 + 12p − 8 = 30 + 12p.
б) 7 + 12 − 2b = 19 − 2b.
в) 64 − 14 − 7x = 50 − 7x.
г) 38 + 12p − 8 = 30 + 12p.
120. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) x + (2x + 0,5); б) 3x − (x − 2); в) 4a − (a + 6); г) 6b + (10 − 4,5b).
а) x + 2x + 0,5 = 3x + 0,5.
б) 3x − x + 2 = 2x + 2.
в) 4a − a − 6 = 3a − 6.
г) 6b + 10 − 4,5b = 1,5b + 10.
б) 3x − x + 2 = 2x + 2.
в) 4a − a − 6 = 3a − 6.
г) 6b + 10 − 4,5b = 1,5b + 10.
121. Упростите выражение и найдите его значение: а) (5x − 1) − (2 − 8x) при x = 0,75; б) (6 − 2x) + (15 − 3x) при x = −0,2; в) 12 + 7x − (1 − 3x) при x = −1,7; г) 37 − (x − 16) + (11x − 53) при x = −0,03.
а) 5x − 1 − 2 + 8x = 13x − 3; при x = 0,75: 13·0,75 − 3 = 9,75 − 3 = 6,75.
б) 6 − 2x + 15 − 3x = 21 − 5x; при x = −0,2: 21 + 1 = 22.
в) 12 + 7x − 1 + 3x = 11 + 10x; при x = −1,7: 11 − 17 = −6.
г) 37 − x + 16 + 11x − 53 = 10x; при x = −0,03: −0,3.
Ответ: а) 6,75; б) 22; в) −6; г) −0,3.
б) 6 − 2x + 15 − 3x = 21 − 5x; при x = −0,2: 21 + 1 = 22.
в) 12 + 7x − 1 + 3x = 11 + 10x; при x = −1,7: 11 − 17 = −6.
г) 37 − x + 16 + 11x − 53 = 10x; при x = −0,03: −0,3.
Ответ: а) 6,75; б) 22; в) −6; г) −0,3.
122. Упростите выражение: а) (x − 1) + (12 − 7,5x); б) (2p + 1,9) − (7 − p); в) (3 − 0,4a) − (10 − 0,8a); г) b − (4 − 2b) + (3b − 1); д) y − (y + 4) + (y − 4); е) 4x − (1 − 2x) + (2x − 7).
а) x − 1 + 12 − 7,5x = 11 − 6,5x.
б) 2p + 1,9 − 7 + p = 3p − 5,1.
в) 3 − 0,4a − 10 + 0,8a = 0,4a − 7.
г) b − 4 + 2b + 3b − 1 = 6b − 5.
д) y − y − 4 + y − 4 = y − 8.
е) 4x − 1 + 2x + 2x − 7 = 8x − 8.
б) 2p + 1,9 − 7 + p = 3p − 5,1.
в) 3 − 0,4a − 10 + 0,8a = 0,4a − 7.
г) b − 4 + 2b + 3b − 1 = 6b − 5.
д) y − y − 4 + y − 4 = y − 8.
е) 4x − 1 + 2x + 2x − 7 = 8x − 8.
123. Докажите, что при любом a значение выражения 3(a + 2) − 3a равно 6.
Упростим выражение: 3(a + 2) − 3a = 3a + 6 − 3a = 6. Результат не зависит от a, поэтому при любом a значение выражения равно 6.