Глава I. §2. п.6 Тождества. Тождественные преобразования выражений (упр. 124–129); Контрольные вопросы и задания к §2 — с. 31
124. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) 3(6 − 5x) + 17x − 10; б) 8(3y + 4) − 29y + 14; в) 7(2z − 3) + 6z − 12; г) 2(7,3 − 1,6a) + 3,2a − 9,6; д) −5(0,3b + 1,7) + 12,5 − 8,5b; е) −4(3,3 − 8c) + 4,8c + 5,2.
а) 18 − 15x + 17x − 10 = 8 + 2x.
б) 24y + 32 − 29y + 14 = 46 − 5y.
в) 14z − 21 + 6z − 12 = 20z − 33.
г) 14,6 − 3,2a + 3,2a − 9,6 = 5.
д) −1,5b − 8,5 + 12,5 − 8,5b = 4 − 10b.
е) −13,2 + 32c + 4,8c + 5,2 = 36,8c − 8.
б) 24y + 32 − 29y + 14 = 46 − 5y.
в) 14z − 21 + 6z − 12 = 20z − 33.
г) 14,6 − 3,2a + 3,2a − 9,6 = 5.
д) −1,5b − 8,5 + 12,5 − 8,5b = 4 − 10b.
е) −13,2 + 32c + 4,8c + 5,2 = 36,8c − 8.
125. Упростите выражение и найдите его значение: а) 0,6(p − 3) + p + 2 при p = 0,5; б) 4(0,5q − 6) − 14q + 21 при q = 1/3.
а) 0,6p − 1,8 + p + 2 = 1,6p + 0,2; при p = 0,5: 0,8 + 0,2 = 1.
б) 2q − 24 − 14q + 21 = −12q − 3; при q = 1/3: −12·(1/3) − 3 = −4 − 3 = −7.
Ответ: а) 1; б) −7.
б) 2q − 24 − 14q + 21 = −12q − 3; при q = 1/3: −12·(1/3) − 3 = −4 − 3 = −7.
Ответ: а) 1; б) −7.
126. Составьте выражение по условию задачи и упростите его: а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме a марок, во втором — на 15 марок больше, чем в первом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах? б) Пётр приобрёл 8 билетов лотереи «Надежда» и 6 билетов лотереи «Удача». Билет лотереи «Удача» стоил a р., а лотереи «Надежда» был на 10% дороже. Найдите стоимость покупки.
а) В первом альбоме a марок, во втором a + 15, в третьем 3(a + 15). Всего a + (a + 15) + 3(a + 15) = a + a + 15 + 3a + 45 = 5a + 60.
Ответ: (5a + 60) марок.
б) Билет «Надежды» стоит a + 0,1a = 1,1a р. Стоимость покупки 8·1,1a + 6a = 8,8a + 6a = 14,8a.
Ответ: 14,8a р.
Ответ: (5a + 60) марок.
б) Билет «Надежды» стоит a + 0,1a = 1,1a р. Стоимость покупки 8·1,1a + 6a = 8,8a + 6a = 14,8a.
Ответ: 14,8a р.
127. Сравните значения выражений, не вычисляя их: а) 1/5 − 1/6 и 1/6 − 1/5; б) 3,7·1/3 и 3,7 : 1/3; в) 5,6 : 2,5 и 5,6·2,5. Ответ запишите в виде неравенства.
а) Так как 1/5 > 1/6, разность 1/5 − 1/6 положительна, а противоположная ей 1/6 − 1/5 отрицательна. Значит, 1/5 − 1/6 > 1/6 − 1/5.
б) 3,7·1/3 = 3,7 : 3 — это число меньше 3,7, а 3,7 : 1/3 = 3,7·3 — больше 3,7. Значит, 3,7·1/3 < 3,7 : 1/3.
в) Деление положительного числа на число, большее 1, уменьшает его, а умножение на число, большее 1, увеличивает: 5,6 : 2,5 < 5,6 < 5,6·2,5. Значит, 5,6 : 2,5 < 5,6·2,5.
б) 3,7·1/3 = 3,7 : 3 — это число меньше 3,7, а 3,7 : 1/3 = 3,7·3 — больше 3,7. Значит, 3,7·1/3 < 3,7 : 1/3.
в) Деление положительного числа на число, большее 1, уменьшает его, а умножение на число, большее 1, увеличивает: 5,6 : 2,5 < 5,6 < 5,6·2,5. Значит, 5,6 : 2,5 < 5,6·2,5.
128. Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?
Выпуск увеличился на 180 − 160 = 20 станков. Находим, какую часть от прежнего выпуска это составляет: 20/160 = 0,125 = 12,5%.
Ответ: на 12,5%.
Ответ: на 12,5%.
129. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам: −3,9; 2,6; −0,7; 3,2; −1,5; 1,25.
На прямой выбираем единичный отрезок; каждое деление шкалы на рисунке равно 0,5.
−3,9 — между −4 и −3, на 0,1 правее −4.
2,6 — между 2 и 3, чуть правее середины.
−0,7 — между −1 и 0, ближе к −1.
3,2 — правее 3 на 0,2.
−1,5 — посередине между −2 и −1.
1,25 — между 1 и 2, на четверть единицы правее 1.
Точки отмечены на рисунке красным.
−3,9 — между −4 и −3, на 0,1 правее −4.
2,6 — между 2 и 3, чуть правее середины.
−0,7 — между −1 и 0, ближе к −1.
3,2 — правее 3 на 0,2.
−1,5 — посередине между −2 и −1.
1,25 — между 1 и 2, на четверть единицы правее 1.
Точки отмечены на рисунке красным.
1. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.
Переместительное свойство: для любых чисел a и b верны равенства a + b = b + a, ab = ba (от перестановки слагаемых сумма, от перестановки множителей произведение не меняются).
Сочетательное свойство: для любых чисел a, b и c верны равенства (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
Распределительное свойство умножения: для любых чисел a, b и c верно равенство a(b + c) = ab + ac.
Сочетательное свойство: для любых чисел a, b и c верны равенства (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
Распределительное свойство умножения: для любых чисел a, b и c верно равенство a(b + c) = ab + ac.
2. Какие выражения называются тождественно равными?
Приведите пример тождественно равных выражений.
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными. Пример: выражения 3(x + y) и 3x + 3y тождественно равны (распределительное свойство).
3. Какое равенство называется тождеством?
Приведите пример тождества.
Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Верные числовые равенства тоже считают тождествами. Пример: a + b = b + a; a·1 = a; 3(x + y) = 3x + 3y.
4. Какие слагаемые называют подобными?
Что означает выражение «привести подобные слагаемые»?
Приведите подобные слагаемые в сумме −5x + 4y − y − 3x.
Подобными называют слагаемые алгебраической суммы, имеющие одинаковую буквенную часть. Привести подобные слагаемые — значит заменить алгебраическую сумму подобных слагаемых одним выражением: для этого складывают коэффициенты и результат умножают на общую буквенную часть.
В сумме −5x + 4y − y − 3x подобными являются −5x и −3x, а также 4y и −y. Приводим: (−5 − 3)x + (4 − 1)y = −8x + 3y.
В сумме −5x + 4y − y − 3x подобными являются −5x и −3x, а также 4y и −y. Приводим: (−5 − 3)x + (4 − 1)y = −8x + 3y.