Глава I. §2. п.6 Тождества. Тождественные преобразования выражений — с. 29
104. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения: а) ab + 16c и 16c + ab; б) (a + 2) + x и a + (2 + x); в) xy + 3 и 3 + xy; г) 5(b + c) и 5b + 5c?
а) Переместительное свойство сложения: слагаемые ab и 16c поменяли местами.
б) Сочетательное свойство сложения: (a + 2) + x = a + (2 + x).
в) Переместительное свойство сложения: xy + 3 = 3 + xy.
г) Распределительное свойство умножения: 5(b + c) = 5b + 5c.
б) Сочетательное свойство сложения: (a + 2) + x = a + (2 + x).
в) Переместительное свойство сложения: xy + 3 = 3 + xy.
г) Распределительное свойство умножения: 5(b + c) = 5b + 5c.
105. Являются ли тождественно равными выражения: а) (2a)(7b) и 14ab; б) −2a + 2a и 0; в) x − y и y − x; г) (x − y)² и (y − x)²?
а) (2a)(7b) = (2·7)·ab = 14ab по переместительному и сочетательному свойствам умножения; да, равны.
б) −2a + 2a = 0 при любом a (сумма противоположных чисел); да.
в) Нет: при x = 3, y = 1 имеем x − y = 2, а y − x = −2, значения различны.
г) y − x = −(x − y), а квадраты противоположных чисел равны: (y − x)² = (x − y)²; да.
Ответ: а), б), г) — да; в) — нет.
б) −2a + 2a = 0 при любом a (сумма противоположных чисел); да.
в) Нет: при x = 3, y = 1 имеем x − y = 2, а y − x = −2, значения различны.
г) y − x = −(x − y), а квадраты противоположных чисел равны: (y − x)² = (x − y)²; да.
Ответ: а), б), г) — да; в) — нет.
106. Являются ли тождественно равными выражения: а) 2 + 8ba и 8ab + 2; б) 2x + 7 и 2(x + 7); в) (a + b)·0 и a + b; г) (a + b)·2 и 2a + 2b?
а) 8ba = 8ab и слагаемые можно переставить: 2 + 8ba = 8ab + 2; да.
б) 2(x + 7) = 2x + 14, что при x = 0 даёт 14, а 2x + 7 при x = 0 равно 7; не равны, нет.
в) (a + b)·0 = 0, а a + b при a = 1, b = 1 равно 2; нет.
г) По распределительному свойству (a + b)·2 = 2a + 2b; да.
Ответ: а), г) — да; б), в) — нет.
б) 2(x + 7) = 2x + 14, что при x = 0 даёт 14, а 2x + 7 при x = 0 равно 7; не равны, нет.
в) (a + b)·0 = 0, а a + b при a = 1, b = 1 равно 2; нет.
г) По распределительному свойству (a + b)·2 = 2a + 2b; да.
Ответ: а), г) — да; б), в) — нет.
107. Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равенство является тождеством: а) 12(a − 4) = 12a − 48; б) (x − x)a = 0?
а) Распределительное свойство умножения относительно вычитания: 12(a − 4) = 12a − 12·4 = 12a − 48.
б) x − x = 0 при любом x (сумма противоположных чисел), а произведение нуля на любое число равно нулю: 0·a = 0.
б) x − x = 0 при любом x (сумма противоположных чисел), а произведение нуля на любое число равно нулю: 0·a = 0.
108. Верно ли утверждение: а) равенство 6(x − y) = 6x − 6y является тождеством; б) равенство 3a − 4 = a + (2a − 4) является тождеством; в) равенство 25(a − a) = 25 является тождеством?
а) Верно: это распределительное свойство умножения.
б) Верно: a + (2a − 4) = a + 2a − 4 = 3a − 4 (раскрыли скобки со знаком «плюс»), получили левую часть.
в) Неверно: 25(a − a) = 25·0 = 0 ≠ 25 при любом a, равенство не выполняется ни при каком значении a.
б) Верно: a + (2a − 4) = a + 2a − 4 = 3a − 4 (раскрыли скобки со знаком «плюс»), получили левую часть.
в) Неверно: 25(a − a) = 25·0 = 0 ≠ 25 при любом a, равенство не выполняется ни при каком значении a.
109. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения: а) −6,2a·5; б) 4c·(−1,25); в) 0,3x·(−12y); г) −0,1b·(−2,3c).
а) −6,2a·5 = (−6,2·5)a = −31a.
б) 4c·(−1,25) = (4·(−1,25))c = −5c.
в) 0,3x·(−12y) = (0,3·(−12))xy = −3,6xy.
г) −0,1b·(−2,3c) = (−0,1)(−2,3)bc = 0,23bc.
Ответ: а) −31a; б) −5c; в) −3,6xy; г) 0,23bc.
б) 4c·(−1,25) = (4·(−1,25))c = −5c.
в) 0,3x·(−12y) = (0,3·(−12))xy = −3,6xy.
г) −0,1b·(−2,3c) = (−0,1)(−2,3)bc = 0,23bc.
Ответ: а) −31a; б) −5c; в) −3,6xy; г) 0,23bc.
110. Упростите выражение: а) 1,6·(−0,2n); б) −6,4a·(−5c).
а) 1,6·(−0,2n) = (1,6·(−0,2))n = −0,32n.
б) −6,4a·(−5c) = (−6,4)(−5)ac = 32ac.
Ответ: а) −0,32n; б) 32ac.
б) −6,4a·(−5c) = (−6,4)(−5)ac = 32ac.
Ответ: а) −0,32n; б) 32ac.
111. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения: а) 7(x − y); б) (a − 4b)·3; в) −23·(2a − 3b + 1); г) 1,5·(−3x + 4y − 5z).
Умножаем число на каждое слагаемое суммы в скобках.
а) 7(x − y) = 7x − 7y.
б) (a − 4b)·3 = 3a − 12b.
в) −23(2a − 3b + 1) = −46a + 69b − 23.
г) 1,5(−3x + 4y − 5z) = −4,5x + 6y − 7,5z.
а) 7(x − y) = 7x − 7y.
б) (a − 4b)·3 = 3a − 12b.
в) −23(2a − 3b + 1) = −46a + 69b − 23.
г) 1,5(−3x + 4y − 5z) = −4,5x + 6y − 7,5z.