Глава I. §2. п.5 Свойства действий над числами — с. 25
90. Вычислите наиболее рациональным способом: а) 3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8; б) 4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4; в) 15,21 − 3,9 − 4,7 + 6,79; г) −4,27 + 3,8 − 5,73 − 3,3.
Используем переместительное и сочетательное свойства сложения: группируем слагаемые так, чтобы получались круглые числа.
а) (3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8) = 4 + 20 = 24.
б) (4,11 + 0,89) + (15,5 + 4,4) = 5 + 19,9 = 24,9.
в) (15,21 + 6,79) − (3,9 + 4,7) = 22 − 8,6 = 13,4.
г) −(4,27 + 5,73) + (3,8 − 3,3) = −10 + 0,5 = −9,5.
Ответ: а) 24; б) 24,9; в) 13,4; г) −9,5.
а) (3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8) = 4 + 20 = 24.
б) (4,11 + 0,89) + (15,5 + 4,4) = 5 + 19,9 = 24,9.
в) (15,21 + 6,79) − (3,9 + 4,7) = 22 − 8,6 = 13,4.
г) −(4,27 + 5,73) + (3,8 − 3,3) = −10 + 0,5 = −9,5.
Ответ: а) 24; б) 24,9; в) 13,4; г) −9,5.
91. Найдите значение выражения: а) 8,91 + 25,7 + 1,09; б) 6,64 + 7,12 + 2,88; в) 7,15 − 9,42 + 12,85 − 0,58; г) 18,9 − 6,8 − 5,2 − 4,1.
а) (8,91 + 1,09) + 25,7 = 10 + 25,7 = 35,7.
б) 6,64 + (7,12 + 2,88) = 6,64 + 10 = 16,64.
в) (7,15 + 12,85) − (9,42 + 0,58) = 20 − 10 = 10.
г) 18,9 − (6,8 + 5,2 + 4,1) = 18,9 − 16,1 = 2,8.
Ответ: а) 35,7; б) 16,64; в) 10; г) 2,8.
б) 6,64 + (7,12 + 2,88) = 6,64 + 10 = 16,64.
в) (7,15 + 12,85) − (9,42 + 0,58) = 20 − 10 = 10.
г) 18,9 − (6,8 + 5,2 + 4,1) = 18,9 − 16,1 = 2,8.
Ответ: а) 35,7; б) 16,64; в) 10; г) 2,8.
92. Выполните действие и объясните, какие свойства сложения были при этом использованы: а) 5 1/8 + 13 3/4; б) 19 5/6 + 10 1/3.
а) 5 1/8 + 13 3/4 = (5 + 13) + (1/8 + 3/4) = 18 + (1/8 + 6/8) = 18 + 7/8 = 18 7/8.
б) 19 5/6 + 10 1/3 = (19 + 10) + (5/6 + 2/6) = 29 + 7/6 = 29 + 1 1/6 = 30 1/6.
Использованы переместительное и сочетательное свойства сложения: целые части и дробные части складываются отдельно (слагаемые переставили и объединили в группы).
Ответ: а) 18 7/8; б) 30 1/6.
б) 19 5/6 + 10 1/3 = (19 + 10) + (5/6 + 2/6) = 29 + 7/6 = 29 + 1 1/6 = 30 1/6.
Использованы переместительное и сочетательное свойства сложения: целые части и дробные части складываются отдельно (слагаемые переставили и объединили в группы).
Ответ: а) 18 7/8; б) 30 1/6.
93. Найдите значение выражения: а) 5 3/4 − 2 1/7 + 1 1/4 − 4 6/7; б) 8 2/3 − 6 3/5 − 2 2/5 + 1 7/9.
а) Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями: (5 3/4 + 1 1/4) − (2 1/7 + 4 6/7) = 7 − 7 = 0.
б) (8 2/3 + 1 7/9) − (6 3/5 + 2 2/5) = (9 + 6/9 + 7/9) − 9 = 9 + 13/9 − 9 = 13/9 = 1 4/9.
Ответ: а) 0; б) 1 4/9.
б) (8 2/3 + 1 7/9) − (6 3/5 + 2 2/5) = (9 + 6/9 + 7/9) − 9 = 9 + 13/9 − 9 = 13/9 = 1 4/9.
Ответ: а) 0; б) 1 4/9.
94. Вычислите наиболее рациональным способом: а) 50·1,34·0,2; б) −75,7·0,5·20; в) 25·(−15,8)·4; г) 0,47·0,4·25.
Применяем переместительное и сочетательное свойства умножения.
а) (50·0,2)·1,34 = 10·1,34 = 13,4.
б) −75,7·(0,5·20) = −75,7·10 = −757.
в) (25·4)·(−15,8) = 100·(−15,8) = −1580.
г) 0,47·(0,4·25) = 0,47·10 = 4,7.
Ответ: а) 13,4; б) −757; в) −1580; г) 4,7.
а) (50·0,2)·1,34 = 10·1,34 = 13,4.
б) −75,7·(0,5·20) = −75,7·10 = −757.
в) (25·4)·(−15,8) = 100·(−15,8) = −1580.
г) 0,47·(0,4·25) = 0,47·10 = 4,7.
Ответ: а) 13,4; б) −757; в) −1580; г) 4,7.
95. Используя распределительное свойство умножения, выполните действие: а) 3 1/8·5; б) 7·2 3/7; в) 2 2/5·10; г) 6·4 5/12.
Представим смешанное число в виде суммы целой и дробной части и умножим каждое слагаемое.
а) (3 + 1/8)·5 = 15 + 5/8 = 15 5/8.
б) 7·(2 + 3/7) = 14 + 3 = 17.
в) (2 + 2/5)·10 = 20 + 4 = 24.
г) 6·(4 + 5/12) = 24 + 30/12 = 24 + 2 1/2 = 26 1/2.
Ответ: а) 15 5/8; б) 17; в) 24; г) 26 1/2.
а) (3 + 1/8)·5 = 15 + 5/8 = 15 5/8.
б) 7·(2 + 3/7) = 14 + 3 = 17.
в) (2 + 2/5)·10 = 20 + 4 = 24.
г) 6·(4 + 5/12) = 24 + 30/12 = 24 + 2 1/2 = 26 1/2.
Ответ: а) 15 5/8; б) 17; в) 24; г) 26 1/2.
96. Найдите значение выражения: а) 3,5·6,8 + 3,5·3,2; б) 12,4·14,3 − 12,4·4,3.
Выносим общий множитель за скобки (распределительное свойство).
а) 3,5·(6,8 + 3,2) = 3,5·10 = 35.
б) 12,4·(14,3 − 4,3) = 12,4·10 = 124.
Ответ: а) 35; б) 124.
а) 3,5·(6,8 + 3,2) = 3,5·10 = 35.
б) 12,4·(14,3 − 4,3) = 12,4·10 = 124.
Ответ: а) 35; б) 124.
97. Вычислите: а) 15,7·3,09 + 15,7·2,91; б) 4,03·27,9 − 17,9·4,03.
а) 15,7·(3,09 + 2,91) = 15,7·6 = 94,2.
б) 4,03·27,9 − 4,03·17,9 = 4,03·(27,9 − 17,9) = 4,03·10 = 40,3.
Ответ: а) 94,2; б) 40,3.
б) 4,03·27,9 − 4,03·17,9 = 4,03·(27,9 − 17,9) = 4,03·10 = 40,3.
Ответ: а) 94,2; б) 40,3.
98. Докажите, что: а) сумма 24·17 + 17·6 делится на 5; б) сумма 34·85 + 34·36 делится на 11.
а) 24·17 + 17·6 = 17·(24 + 6) = 17·30 = 510. Число 17·30 содержит множитель 30, который делится на 5, поэтому и вся сумма делится на 5.
б) 34·85 + 34·36 = 34·(85 + 36) = 34·121 = 34·11·11. Произведение содержит множитель 11, значит, сумма делится на 11.
б) 34·85 + 34·36 = 34·(85 + 36) = 34·121 = 34·11·11. Произведение содержит множитель 11, значит, сумма делится на 11.
99. Для детского сада купили 5 наборов карандашей и 10 альбомов для рисования. Набор карандашей стоит a рублей, а альбом стоит b рублей. Какова стоимость покупки?
Наборы карандашей стоят 5a рублей, альбомы — 10b рублей. Вся покупка стоит 5a + 10b рублей (можно записать 5(a + 2b)).
Ответ: (5a + 10b) р.
Ответ: (5a + 10b) р.
100. Автомобиль двигался t ч со скоростью 60 км/ч и p ч со скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?
Путь на первом участке 60t км, на втором 50p км; весь путь 60t + 50p км. Всё время в пути t + p ч. Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время.
Ответ: (60t + 50p)/(t + p) км/ч.
Ответ: (60t + 50p)/(t + p) км/ч.
101. Найдите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 5). [рисунок 5: координатная прямая с делениями −2, −1, 0, 1, 2; между соседними целыми числами 4 промежуточных штриха; отмечены точки B, C, D, A]
Между соседними целыми числами проведено 4 штриха, то есть отрезок единичной длины разделён на 5 равных частей; одно деление равно 1/5 = 0,2.
Точка B находится посередине между −2 и −1: B = −1,5.
Точка C на одно деление левее нуля: C = −0,2.
Точка D на три деления правее нуля: D = 0,6.
Точка A посередине между 1 и 2: A = 1,5.
Ответ: B(−1,5); C(−0,2); D(0,6); A(1,5).
Точка B находится посередине между −2 и −1: B = −1,5.
Точка C на одно деление левее нуля: C = −0,2.
Точка D на три деления правее нуля: D = 0,6.
Точка A посередине между 1 и 2: A = 1,5.
Ответ: B(−1,5); C(−0,2); D(0,6); A(1,5).