Задачи повышенной трудности — с. 235
1206. Докажите, что сумма 1³ + 2³ + … + 99³ делится на 100.
Разобьём слагаемые на пары k³ и (100 − k)³ для k = 1, 2, …, 49: это пары 1³ и 99³, 2³ и 98³, …, 49³ и 51³. Остаётся неспаренным слагаемое 50³.
Сумма кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) делится на a + b. Для каждой пары a + b = 100, значит, k³ + (100 − k)³ делится на 100.
Оставшееся слагаемое 50³ = 125 000 тоже делится на 100.
Вся сумма — сумма чисел, кратных 100, поэтому делится на 100.
Сумма кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) делится на a + b. Для каждой пары a + b = 100, значит, k³ + (100 − k)³ делится на 100.
Оставшееся слагаемое 50³ = 125 000 тоже делится на 100.
Вся сумма — сумма чисел, кратных 100, поэтому делится на 100.
1207. Число a составляет 80% числа b, а число c составляет 140% числа b. Найдите числа a, b и c, если число c больше a на 72.
По условию a = 0,8b, c = 1,4b, c − a = 72. Тогда 1,4b − 0,8b = 72, 0,6b = 72, b = 120. a = 0,8 · 120 = 96, c = 1,4 · 120 = 168. Проверка: 168 − 96 = 72.
Ответ: a = 96, b = 120, c = 168.
Ответ: a = 96, b = 120, c = 168.
1208. Число a составляет 75% числа b и 40% числа c. Число c на 42 больше числа b. Найдите числа a и b.
По условию a = 0,75b, a = 0,4c, c = b + 42. Из 0,75b = 0,4c получаем 0,75b = 0,4(b + 42); 0,75b = 0,4b + 16,8; 0,35b = 16,8; b = 48. Тогда a = 0,75 · 48 = 36. Проверка: c = 90, 0,4 · 90 = 36.
Ответ: a = 36, b = 48.
Ответ: a = 36, b = 48.
1209. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?
Пусть число 10a + b, где a — цифра десятков (1 ≤ a ≤ 9), b — цифра единиц (0 ≤ b ≤ 9). По условию 10a + b = 4(a + b); 10a + b = 4a + 4b; 6a = 3b; b = 2a. Так как b ≤ 9, то a ≤ 4: a = 1, b = 2; a = 2, b = 4; a = 3, b = 6; a = 4, b = 8.
Проверка: 12 = 4 · 3, 24 = 4 · 6, 36 = 4 · 9, 48 = 4 · 12.
Ответ: 12, 24, 36, 48.
Проверка: 12 = 4 · 3, 24 = 4 · 6, 36 = 4 · 9, 48 = 4 · 12.
Ответ: 12, 24, 36, 48.
1210. Делится ли число 111…1 [81 единица, подпись под скобкой: 81 раз] на 81?
Обозначим R(n) число, записанное n единицами. Тогда число 111…1 из 81 единицы можно записать так: R(81) = R(9) · (1 + 10^9 + 10^18 + 10^27 + 10^36 + 10^45 + 10^54 + 10^63 + 10^72). Действительно, умножение R(9) = 111 111 111 на второй множитель даёт девять групп по девять единиц подряд.
Первый множитель R(9) имеет сумму цифр 9, значит, делится на 9. Второй множитель записывается единицами и нулями, единиц в нём ровно 9, сумма цифр равна 9, значит, он тоже делится на 9. Поэтому произведение делится на 9 · 9 = 81.
Ответ: да, делится.
Первый множитель R(9) имеет сумму цифр 9, значит, делится на 9. Второй множитель записывается единицами и нулями, единиц в нём ровно 9, сумма цифр равна 9, значит, он тоже делится на 9. Поэтому произведение делится на 9 · 9 = 81.
Ответ: да, делится.
1211. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.
Пусть простое число p = 30q + r, где 0 ≤ r < 30. Предположим, что r не является простым числом и r ≠ 1.
Случай r = 0 невозможен: тогда p делится на 30 и не может быть простым.
Пусть r составное (1 < r < 30). Наименьший простой делитель d составного числа r не превосходит √29, то есть d ≤ 5, поэтому d равно 2, 3 или 5. Каждое из них делит 30, значит, d делит 30q и r, а потому делит p. Так как p простое, p = d ≤ 5. Но тогда p < 30, q = 0 и r = p = d — простое число. Противоречие.
Следовательно, r — простое число или единица.
Случай r = 0 невозможен: тогда p делится на 30 и не может быть простым.
Пусть r составное (1 < r < 30). Наименьший простой делитель d составного числа r не превосходит √29, то есть d ≤ 5, поэтому d равно 2, 3 или 5. Каждое из них делит 30, значит, d делит 30q и r, а потому делит p. Так как p простое, p = d ≤ 5. Но тогда p < 30, q = 0 и r = p = d — простое число. Противоречие.
Следовательно, r — простое число или единица.
1212. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.
Пусть двузначное число равно x. После приписывания единицы слева получится 100 + x (так как x двузначное), а справа — число умножается на 10 и прибавляется 1. Итоговое число: 1000 + 10x + 1 = 10x + 1001. По условию 10x + 1001 = 23x; 13x = 1001; x = 77. Проверка: 1771 : 77 = 23.
Ответ: 77.
Ответ: 77.
1213. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
Пусть число 10a + b (a — цифра десятков, 1 ≤ a ≤ 9, b — цифра единиц).
Если зачеркнули цифру единиц, то осталось a, и 10a + b = 31a, откуда b = 21a > 9. Невозможно.
Если зачеркнули цифру десятков, то осталось b (b ≠ 0, иначе число было бы нулём), и 10a + b = 31b; 10a = 30b; a = 3b. Так как a ≤ 9, то b = 1, 2, 3 и соответственно a = 3, 6, 9.
Получаем числа 31, 62, 93: 31 : 1 = 31, 62 : 2 = 31, 93 : 3 = 31.
Ответ: зачёркнута первая цифра (десятков) в числе 31, 62 или 93 соответственно (3, 6 или 9).
Если зачеркнули цифру единиц, то осталось a, и 10a + b = 31a, откуда b = 21a > 9. Невозможно.
Если зачеркнули цифру десятков, то осталось b (b ≠ 0, иначе число было бы нулём), и 10a + b = 31b; 10a = 30b; a = 3b. Так как a ≤ 9, то b = 1, 2, 3 и соответственно a = 3, 6, 9.
Получаем числа 31, 62, 93: 31 : 1 = 31, 62 : 2 = 31, 93 : 3 = 31.
Ответ: зачёркнута первая цифра (десятков) в числе 31, 62 или 93 соответственно (3, 6 или 9).
1214. Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.
Пусть искомое число 8bc, то есть 800 + 10b + c, где b и c — цифры. После перестановки восьмёрки на последнее место получится число bc8, то есть 100b + 10c + 8. По условию (100b + 10c + 8) − (800 + 10b + c) = 18; 90b + 9c − 792 = 18; 90b + 9c = 810; 10b + c = 90. Значит, двузначное число bc равно 90: b = 9, c = 0. Искомое число 890. Проверка: 908 − 890 = 18.
Ответ: 890.
Ответ: 890.
1215. Постройте график уравнения: а) (x − 2)(y + 3) = 0; б) x² + xy = 0.
а) Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x − 2 = 0 или y + 3 = 0. Графиком служит объединение двух прямых: вертикальной x = 2 и горизонтальной y = −3.
б) Разложим на множители: x² + xy = x(x + y) = 0. Значит, x = 0 или x + y = 0. График — объединение двух прямых: оси ординат (x = 0) и прямой y = −x, проходящей через точки (−2; 2) и (2; −2).
б) Разложим на множители: x² + xy = x(x + y) = 0. Значит, x = 0 или x + y = 0. График — объединение двух прямых: оси ординат (x = 0) и прямой y = −x, проходящей через точки (−2; 2) и (2; −2).
1216. Постройте график уравнения: а) y + |y| = x; б) y = x|y|.
а) Если y ≥ 0, то |y| = y и уравнение принимает вид 2y = x, то есть y = x/2; при y ≥ 0 это даёт x ≥ 0 — луч, выходящий из начала координат через точку (2; 1).
Если y < 0, то |y| = −y и уравнение принимает вид 0 = x, то есть x = 0 при y < 0 — отрицательная полуось Oy.
График — луч y = x/2 (x ≥ 0) вместе с лучом оси ординат вниз от начала координат.
б) Рассмотрим два случая. Если y ≥ 0, то |y| = y и уравнение принимает вид y = xy, то есть y(1 − x) = 0, откуда y = 0 или x = 1. Получаем ось абсцисс (точки с y = 0) и луч x = 1, y ≥ 0, идущий вверх от точки (1; 0).
Если y < 0, то |y| = −y и уравнение принимает вид y = −xy, то есть y(1 + x) = 0; так как y ≠ 0, остаётся x = −1. Получаем луч x = −1, y < 0, идущий вниз от точки (−1; 0).
График: вся ось Ox вместе с лучом x = 1 (вверх) и лучом x = −1 (вниз).
Если y < 0, то |y| = −y и уравнение принимает вид 0 = x, то есть x = 0 при y < 0 — отрицательная полуось Oy.
График — луч y = x/2 (x ≥ 0) вместе с лучом оси ординат вниз от начала координат.
б) Рассмотрим два случая. Если y ≥ 0, то |y| = y и уравнение принимает вид y = xy, то есть y(1 − x) = 0, откуда y = 0 или x = 1. Получаем ось абсцисс (точки с y = 0) и луч x = 1, y ≥ 0, идущий вверх от точки (1; 0).
Если y < 0, то |y| = −y и уравнение принимает вид y = −xy, то есть y(1 + x) = 0; так как y ≠ 0, остаётся x = −1. Получаем луч x = −1, y < 0, идущий вниз от точки (−1; 0).
График: вся ось Ox вместе с лучом x = 1 (вверх) и лучом x = −1 (вниз).
1217. Постройте график функции: а) y = |x| − 3; б) y = 4 − |x|.
а) График y = |x| − 3 получается из графика y = |x| (угол с вершиной в начале координат, ветви вверх) сдвигом на 3 единицы вниз. Вершина (0; −3). Нули: |x| = 3, x = ±3, точки (−3; 0) и (3; 0). При x ≥ 0 это прямая y = x − 3, при x < 0 прямая y = −x − 3.
б) y = 4 − |x| — график y = −|x| (ветви вниз), сдвинутый на 4 единицы вверх. Вершина (0; 4). Нули: |x| = 4, x = ±4, точки (−4; 0) и (4; 0). При x ≥ 0 это y = 4 − x, при x < 0 это y = 4 + x.
б) y = 4 − |x| — график y = −|x| (ветви вниз), сдвинутый на 4 единицы вверх. Вершина (0; 4). Нули: |x| = 4, x = ±4, точки (−4; 0) и (4; 0). При x ≥ 0 это y = 4 − x, при x < 0 это y = 4 + x.
1218. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
Пусть n = 2^a · 3^b · m, где m не делится ни на 2, ни на 3.
Число 2n = 2^(a+1) · 3^b · m — квадрат: все показатели чётны, значит, a + 1 чётно, b чётно. Число 3n = 2^a · 3^(b+1) · m — куб: все показатели кратны 3, значит, a кратно 3, b + 1 кратно 3.
Наименьшее a, которое нечётно и кратно 3, это a = 3. Наименьшее b, которое чётно и при этом b + 1 кратно 3 (b ≡ 2 по модулю 3), это b = 2. Для остальных простых множителей m показатели должны быть и чётными, и кратными 3; наименьший вариант — их отсутствие, m = 1.
n = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72. Проверка: 2 · 72 = 144 = 12², 3 · 72 = 216 = 6³.
Ответ: 72.
Число 2n = 2^(a+1) · 3^b · m — квадрат: все показатели чётны, значит, a + 1 чётно, b чётно. Число 3n = 2^a · 3^(b+1) · m — куб: все показатели кратны 3, значит, a кратно 3, b + 1 кратно 3.
Наименьшее a, которое нечётно и кратно 3, это a = 3. Наименьшее b, которое чётно и при этом b + 1 кратно 3 (b ≡ 2 по модулю 3), это b = 2. Для остальных простых множителей m показатели должны быть и чётными, и кратными 3; наименьший вариант — их отсутствие, m = 1.
n = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72. Проверка: 2 · 72 = 144 = 12², 3 · 72 = 216 = 6³.
Ответ: 72.
1219. Докажите, что значение выражения 96^7 − 22^5 − 48^6 кратно 10.
Найдём последнюю цифру каждого слагаемого. 96^7 оканчивается на 6, так как любая степень числа, оканчивающегося на 6, оканчивается на 6. 22^5 оканчивается на ту же цифру, что и 2^5 = 32, то есть на 2. 48^6 оканчивается на ту же цифру, что 8^6: 8² = 64 оканчивается на 4, 8^4 — на 6, 8^6 = 8^4 · 8² оканчивается на 6 · 4 = 24, то есть на 4.
Остаток от деления на 10 у числа 96^7 равен 6, у 22^5 равен 2, у 48^6 равен 4. Значит, остаток от деления данного выражения на 10 такой же, как у числа 6 − 2 − 4 = 0. Следовательно, выражение делится на 10.
Остаток от деления на 10 у числа 96^7 равен 6, у 22^5 равен 2, у 48^6 равен 4. Значит, остаток от деления данного выражения на 10 такой же, как у числа 6 − 2 − 4 = 0. Следовательно, выражение делится на 10.
1220. В координатной плоскости (рис. 100) отмечена точка M(x; y). Отметьте в этой координатной плоскости точки A(2x; 2y), B(−3x; y/2), C(x/2; −2y), D(−x/2; −y/3). [рисунок 100: координатная сетка, точка M(x; y) отмечена в первой четверти]
По рисунку точка M расположена на 2 клетки правее оси ординат и на 3 клетки выше оси абсцисс: M(2; 3), то есть x = 2, y = 3.
A(2x; 2y) = A(4; 6).
B(−3x; y/2) = B(−6; 1,5).
C(x/2; −2y) = C(1; −6).
D(−x/2; −y/3) = D(−1; −1).
Точки отмечены на рисунке (M — чёрная, остальные — красные).
Оговорка: координаты точки M считаны по рисунку; точки B и C лежат за пределами сетки учебника, поэтому плоскость на рисунке продлена.
A(2x; 2y) = A(4; 6).
B(−3x; y/2) = B(−6; 1,5).
C(x/2; −2y) = C(1; −6).
D(−x/2; −y/3) = D(−1; −1).
Точки отмечены на рисунке (M — чёрная, остальные — красные).
Оговорка: координаты точки M считаны по рисунку; точки B и C лежат за пределами сетки учебника, поэтому плоскость на рисунке продлена.
1221. Что больше: (10^10 + 1)/(10^11 + 1) или (10^11 + 1)/(10^12 + 1)?
Обе дроби положительны, поэтому сравнение равносильно сравнению перекрёстных произведений: сравним (10^10 + 1)(10^12 + 1) и (10^11 + 1)².
(10^10 + 1)(10^12 + 1) = 10^22 + 10^10 + 10^12 + 1.
(10^11 + 1)² = 10^22 + 2 · 10^11 + 1.
Вычтем из первого второе: 10^12 + 10^10 − 2 · 10^11 = 10^10 · (100 + 1 − 20) = 81 · 10^10 > 0. Значит, (10^10 + 1)(10^12 + 1) > (10^11 + 1)², откуда первая дробь больше второй.
Ответ: больше первая дробь (10^10 + 1)/(10^11 + 1).
(10^10 + 1)(10^12 + 1) = 10^22 + 10^10 + 10^12 + 1.
(10^11 + 1)² = 10^22 + 2 · 10^11 + 1.
Вычтем из первого второе: 10^12 + 10^10 − 2 · 10^11 = 10^10 · (100 + 1 − 20) = 81 · 10^10 > 0. Значит, (10^10 + 1)(10^12 + 1) > (10^11 + 1)², откуда первая дробь больше второй.
Ответ: больше первая дробь (10^10 + 1)/(10^11 + 1).
1222. Представьте выражение 2x² + 2y² в виде суммы двух квадратов.
Заметим, что (x + y)² + (x − y)² = x² + 2xy + y² + x² − 2xy + y² = 2x² + 2y².
Ответ: 2x² + 2y² = (x + y)² + (x − y)².
Ответ: 2x² + 2y² = (x + y)² + (x − y)².
1223. Если x ≠ 0 или y ≠ 0, то значение выражения 15x² − 18xy + 15y² положительно. Докажите это.
Представим выражение в виде 15x² − 18xy + 15y² = (9x² − 18xy + 9y²) + 6x² + 6y² = 9(x − y)² + 6x² + 6y².
Слагаемые 9(x − y)², 6x², 6y² неотрицательны. Если x ≠ 0 или y ≠ 0, то хотя бы одно из чисел 6x², 6y² строго положительно, поэтому вся сумма положительна. Что и требовалось доказать.
Слагаемые 9(x − y)², 6x², 6y² неотрицательны. Если x ≠ 0 или y ≠ 0, то хотя бы одно из чисел 6x², 6y² строго положительно, поэтому вся сумма положительна. Что и требовалось доказать.