Задачи повышенной трудности — с. 237
1241. Путь от A до B идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.
Пусть скорость в гору u км/ч, под гору v км/ч. На ровном месте 12 км занимают 12/18 = 2/3 ч = 40 мин.
Путь от A до B: 3 км в гору, 6 км под гору: 3/u + 6/v + 2/3 = 1 ч 7 мин = 67/60 ч, откуда 3/u + 6/v = 27/60 = 9/20.
Обратный путь: 6 км в гору, 3 км под гору: 6/u + 3/v + 2/3 = 1 ч 16 мин = 76/60 ч, откуда 6/u + 3/v = 36/60 = 3/5.
Обозначим 1/u = p, 1/v = q: 3p + 6q = 9/20 и 6p + 3q = 3/5. Удвоим первое: 6p + 12q = 9/10. Вычтем второе: 9q = 9/10 − 3/5 = 3/10, q = 1/30, v = 30. Тогда 3p = 9/20 − 6/30 = 9/20 − 1/5 = 1/4, p = 1/12, u = 12.
Проверка: 3/12 + 6/30 + 2/3 = 0,25 + 0,2 + 0,6667 ≈ 1,1167 ч = 1 ч 7 мин.
Ответ: 12 км/ч в гору, 30 км/ч под гору.
Путь от A до B: 3 км в гору, 6 км под гору: 3/u + 6/v + 2/3 = 1 ч 7 мин = 67/60 ч, откуда 3/u + 6/v = 27/60 = 9/20.
Обратный путь: 6 км в гору, 3 км под гору: 6/u + 3/v + 2/3 = 1 ч 16 мин = 76/60 ч, откуда 6/u + 3/v = 36/60 = 3/5.
Обозначим 1/u = p, 1/v = q: 3p + 6q = 9/20 и 6p + 3q = 3/5. Удвоим первое: 6p + 12q = 9/10. Вычтем второе: 9q = 9/10 − 3/5 = 3/10, q = 1/30, v = 30. Тогда 3p = 9/20 − 6/30 = 9/20 − 1/5 = 1/4, p = 1/12, u = 12.
Проверка: 3/12 + 6/30 + 2/3 = 0,25 + 0,2 + 0,6667 ≈ 1,1167 ч = 1 ч 7 мин.
Ответ: 12 км/ч в гору, 30 км/ч под гору.
1242. Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?
Пусть косцов n. Работу одного косца за полдня примем за 1 условную единицу.
Первая половина дня: n косцов скосили n единиц большого луга. Вторая половина: n/2 косцов докосили большой луг, то есть ещё n/2. Значит, большой луг равен n + n/2 = 3n/2. Малый луг вдвое меньше: 3n/4.
На малом лугу вторая половина дня косили n/2 косцов и скосили n/2 единиц; осталось 3n/4 − n/2 = n/4. Это один косец скосил за целый день, то есть за 2 половины дня: n/4 = 2, n = 8.
Проверка: большой луг 12 единиц, малый 6; малый: 4 скошено, 2 осталось — работа одного косца за день.
Ответ: 8 косцов.
Первая половина дня: n косцов скосили n единиц большого луга. Вторая половина: n/2 косцов докосили большой луг, то есть ещё n/2. Значит, большой луг равен n + n/2 = 3n/2. Малый луг вдвое меньше: 3n/4.
На малом лугу вторая половина дня косили n/2 косцов и скосили n/2 единиц; осталось 3n/4 − n/2 = n/4. Это один косец скосил за целый день, то есть за 2 половины дня: n/4 = 2, n = 8.
Проверка: большой луг 12 единиц, малый 6; малый: 4 скошено, 2 осталось — работа одного косца за день.
Ответ: 8 косцов.
1243. Из двух городов A и B, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин выехали навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?
Пусть скорость автобуса x км/ч, легкового автомобиля y км/ч.
В первом случае оба были в пути с 6 ч 20 мин до 7 ч 50 мин, то есть 1,5 ч: 1,5(x + y) = 180, x + y = 120.
Во втором случае автобус выехал в 6 ч 20 мин − 1 ч 15 мин = 5 ч 05 мин, был в пути до 7 ч 35 мин, то есть 2,5 ч. Автомобиль выехал в 6 ч 35 мин и был в пути до 7 ч 35 мин, то есть 1 ч. Тогда 2,5x + y = 180.
Вычтем первое уравнение из второго: 1,5x = 60, x = 40, y = 120 − 40 = 80.
Ответ: автобус 40 км/ч, автомобиль 80 км/ч.
В первом случае оба были в пути с 6 ч 20 мин до 7 ч 50 мин, то есть 1,5 ч: 1,5(x + y) = 180, x + y = 120.
Во втором случае автобус выехал в 6 ч 20 мин − 1 ч 15 мин = 5 ч 05 мин, был в пути до 7 ч 35 мин, то есть 2,5 ч. Автомобиль выехал в 6 ч 35 мин и был в пути до 7 ч 35 мин, то есть 1 ч. Тогда 2,5x + y = 180.
Вычтем первое уравнение из второго: 1,5x = 60, x = 40, y = 120 − 40 = 80.
Ответ: автобус 40 км/ч, автомобиль 80 км/ч.
1244. Из города A в город B в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города B в город A выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в 1 5/7 раза больше скорости другого.
Пусть скорость меньшего по скорости автобуса v км/ч, тогда другого 1 5/7 · v = 12v/7 км/ч; скорость велосипедиста w км/ч. Велосипедист встретил автобусы через 10 ч 10 мин − 8 ч 50 мин = 1 ч 20 мин = 4/3 ч и через 10 ч 50 мин − 8 ч 50 мин = 2 ч. Быстрый автобус встречается раньше (иначе получилось бы отрицательное v), поэтому:
с быстрым автобусом: (12v/7 + w) · 4/3 = 100, откуда 12v/7 + w = 75;
с медленным: (v + w) · 2 = 100, откуда v + w = 50.
Вычтем второе из первого: 5v/7 = 25, v = 35; тогда w = 50 − 35 = 15. Скорость быстрого автобуса 60 км/ч. Проверка: (60 + 15) · 4/3 = 100; (35 + 15) · 2 = 100.
Ответ: 15 км/ч.
с быстрым автобусом: (12v/7 + w) · 4/3 = 100, откуда 12v/7 + w = 75;
с медленным: (v + w) · 2 = 100, откуда v + w = 50.
Вычтем второе из первого: 5v/7 = 25, v = 35; тогда w = 50 − 35 = 15. Скорость быстрого автобуса 60 км/ч. Проверка: (60 + 15) · 4/3 = 100; (35 + 15) · 2 = 100.
Ответ: 15 км/ч.
1245. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта A в пункт B. Всадник, прибыв в пункт B на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт A. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта B. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от A до B и скорость всадника и пешехода.
Пусть расстояние AB равно s км, скорость всадника v км/ч, пешехода u км/ч. Весь путь всадника (туда и обратно) 2s км занял 1 ч 40 мин = 5/3 ч, поэтому 2s/v = 5/3, v = 6s/5. До пункта B всадник доехал за s/v = 5/6 ч = 50 мин. Пешеход пришёл в B на 50 мин позже, то есть через 5/6 + 5/6 = 5/3 ч: s/u = 5/3, u = 3s/5.
Встреча произошла в 2 км от B: всадник к этому моменту проехал s + 2 км, пешеход прошёл s − 2 км, и время у них одинаково: (s + 2)/v = (s − 2)/u. Подставим: (s + 2) · 5/(6s) = (s − 2) · 5/(3s); (s + 2)/6 = (s − 2)/3; s + 2 = 2s − 4; s = 6.
Тогда v = 6 · 6/5 = 7,2; u = 3 · 6/5 = 3,6. Проверка: всадник 8 км за 8 : 7,2 = 10/9 ч, пешеход 4 км за 4 : 3,6 = 10/9 ч.
Ответ: 6 км; 7,2 км/ч; 3,6 км/ч.
Встреча произошла в 2 км от B: всадник к этому моменту проехал s + 2 км, пешеход прошёл s − 2 км, и время у них одинаково: (s + 2)/v = (s − 2)/u. Подставим: (s + 2) · 5/(6s) = (s − 2) · 5/(3s); (s + 2)/6 = (s − 2)/3; s + 2 = 2s − 4; s = 6.
Тогда v = 6 · 6/5 = 7,2; u = 3 · 6/5 = 3,6. Проверка: всадник 8 км за 8 : 7,2 = 10/9 ч, пешеход 4 км за 4 : 3,6 = 10/9 ч.
Ответ: 6 км; 7,2 км/ч; 3,6 км/ч.
1246. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?
В тонне (1000 кг) свежего угля сухого вещества 100% − 2% = 98%, то есть 980 кг. Эта масса не меняется. После двух недель сухое вещество составляет 100% − 12% = 88% массы угля. Масса угля x кг: 0,88x = 980, x = 980 : 0,88 ≈ 1113,6 кг. Масса увеличилась на 1113,6 − 1000 ≈ 113,6 ≈ 114 кг.
Ответ: примерно на 114 кг.
Ответ: примерно на 114 кг.
1247. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?
Пусть обычная скорость ходьбы v, скорость бега первого kv (k > 1), время измеряем в минутах. К моменту, когда первый побежал назад, братья были на расстоянии 15v от школы.
Первый добежал до школы за t1 = 15v/(kv) = 15/k мин. За это время второй прошёл (v/2) · 15/k = 7,5v/k и оказался на расстоянии 15v + 7,5v/k от школы.
Затем первый догоняет второго; скорость сближения kv − v/2. Время погони t2 = (15v + 7,5v/k)/(kv − v/2) = (15 + 7,5/k)/(k − 1/2) = 15(2k + 1)/(k(2k − 1)). За это время второй прошёл ещё (v/2)t2.
Сравним с обычным движением. Второй к моменту встречи прошёл от точки, где был через 15 мин, расстояние 7,5v/k + (v/2)t2, то есть при обычной скорости v потратил бы на это время 7,5/k + t2/2. Реально же прошло t1 + t2 = 15/k + t2. Потеря времени: (15/k + t2) − (7,5/k + t2/2) = 7,5/k + t2/2. По условию она равна 6 мин:
7,5/k + 7,5(2k + 1)/(k(2k − 1)) = 6.
Умножим на k(2k − 1): 7,5(2k − 1) + 7,5(2k + 1) = 6k(2k − 1); 30k = 12k² − 6k; 12k² = 36k; k = 3 (k = 0 не подходит).
Проверка: t1 = 5 мин, t2 = 15 · 7/(3 · 5) = 7 мин; потеря 7,5/3 + 3,5 = 2,5 + 3,5 = 6 мин.
Ответ: в 3 раза.
Первый добежал до школы за t1 = 15v/(kv) = 15/k мин. За это время второй прошёл (v/2) · 15/k = 7,5v/k и оказался на расстоянии 15v + 7,5v/k от школы.
Затем первый догоняет второго; скорость сближения kv − v/2. Время погони t2 = (15v + 7,5v/k)/(kv − v/2) = (15 + 7,5/k)/(k − 1/2) = 15(2k + 1)/(k(2k − 1)). За это время второй прошёл ещё (v/2)t2.
Сравним с обычным движением. Второй к моменту встречи прошёл от точки, где был через 15 мин, расстояние 7,5v/k + (v/2)t2, то есть при обычной скорости v потратил бы на это время 7,5/k + t2/2. Реально же прошло t1 + t2 = 15/k + t2. Потеря времени: (15/k + t2) − (7,5/k + t2/2) = 7,5/k + t2/2. По условию она равна 6 мин:
7,5/k + 7,5(2k + 1)/(k(2k − 1)) = 6.
Умножим на k(2k − 1): 7,5(2k − 1) + 7,5(2k + 1) = 6k(2k − 1); 30k = 12k² − 6k; 12k² = 36k; k = 3 (k = 0 не подходит).
Проверка: t1 = 5 мин, t2 = 15 · 7/(3 · 5) = 7 мин; потеря 7,5/3 + 3,5 = 2,5 + 3,5 = 6 мин.
Ответ: в 3 раза.