Задачи повышенной трудности — с. 236
1224. Разложите на множители многочлен: а) x^8 + x^4 − 2; б) a^5 − a² − a − 1; в) n^4 + 4; г) n^4 + n² + 1.
а) x^8 + x^4 − 2 = (x^8 − 1) + (x^4 − 1) = (x^4 − 1)(x^4 + 1) + (x^4 − 1) = (x^4 − 1)(x^4 + 2) = (x² − 1)(x² + 1)(x^4 + 2) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1)(x^4 + 2).
б) a^5 − a² − a − 1 = (a^5 + a³) − (a³ + a) − (a² + 1) = a³(a² + 1) − a(a² + 1) − (a² + 1) = (a² + 1)(a³ − a − 1).
в) n^4 + 4 = n^4 + 4n² + 4 − 4n² = (n² + 2)² − (2n)² = (n² − 2n + 2)(n² + 2n + 2).
г) n^4 + n² + 1 = n^4 + 2n² + 1 − n² = (n² + 1)² − n² = (n² − n + 1)(n² + n + 1).
б) a^5 − a² − a − 1 = (a^5 + a³) − (a³ + a) − (a² + 1) = a³(a² + 1) − a(a² + 1) − (a² + 1) = (a² + 1)(a³ − a − 1).
в) n^4 + 4 = n^4 + 4n² + 4 − 4n² = (n² + 2)² − (2n)² = (n² − 2n + 2)(n² + 2n + 2).
г) n^4 + n² + 1 = n^4 + 2n² + 1 − n² = (n² + 1)² − n² = (n² − n + 1)(n² + n + 1).
1225. Докажите, что p² − 1 кратно 24, если p — простое число, большее 3.
p² − 1 = (p − 1)(p + 1). Так как p простое и больше 3, оно не делится ни на 2, ни на 3.
Делимость на 8: p нечётно, поэтому p − 1 и p + 1 — два последовательных чётных числа. Одно из них делится на 4, другое на 2, значит, их произведение делится на 8.
Делимость на 3: из трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3; это не p, поэтому на 3 делится p − 1 или p + 1, и произведение (p − 1)(p + 1) делится на 3.
Числа 8 и 3 взаимно просты, поэтому p² − 1 делится на 8 · 3 = 24. Что и требовалось доказать.
Делимость на 8: p нечётно, поэтому p − 1 и p + 1 — два последовательных чётных числа. Одно из них делится на 4, другое на 2, значит, их произведение делится на 8.
Делимость на 3: из трёх последовательных чисел p − 1, p, p + 1 одно делится на 3; это не p, поэтому на 3 делится p − 1 или p + 1, и произведение (p − 1)(p + 1) делится на 3.
Числа 8 и 3 взаимно просты, поэтому p² − 1 делится на 8 · 3 = 24. Что и требовалось доказать.
1226. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.
Пусть числа n и n + 1. Тогда (n + 1)³ − n³ = n³ + 3n² + 3n + 1 − n³ = 3n² + 3n + 1 = 3n(n + 1) + 1.
Произведение n(n + 1) двух последовательных натуральных чисел чётно: n(n + 1) = 2k. Тогда 3n(n + 1) = 6k делится на 6, и разность равна 6k + 1. Остаток от деления на 6 равен 1. Что и требовалось доказать.
Произведение n(n + 1) двух последовательных натуральных чисел чётно: n(n + 1) = 2k. Тогда 3n(n + 1) = 6k делится на 6, и разность равна 6k + 1. Остаток от деления на 6 равен 1. Что и требовалось доказать.
1227. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Пусть числа n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2. Сумма квадратов: (n − 2)² + (n − 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 5n² + 2 · (4 + 1) = 5n² + 10 = 5(n² + 2).
Предположим, что она равна m². Тогда m² делится на 5, а так как 5 простое, m делится на 5 и m² делится на 25. Значит, n² + 2 = m²/5 делится на 5.
Но квадрат целого числа при делении на 5 даёт остатки только 0, 1, 4 (n = 5k, 5k ± 1, 5k ± 2: квадраты дают 0, 1, 4). Тогда n² + 2 даёт остатки 2, 3, 1 и не делится на 5. Противоречие. Значит, сумма не может быть квадратом.
Предположим, что она равна m². Тогда m² делится на 5, а так как 5 простое, m делится на 5 и m² делится на 25. Значит, n² + 2 = m²/5 делится на 5.
Но квадрат целого числа при делении на 5 даёт остатки только 0, 1, 4 (n = 5k, 5k ± 1, 5k ± 2: квадраты дают 0, 1, 4). Тогда n² + 2 даёт остатки 2, 3, 1 и не делится на 5. Противоречие. Значит, сумма не может быть квадратом.
1228. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
Натуральное число n, не кратное 3, имеет вид 3k + 1 или 3k − 1. Тогда n² − 1 = (3k ± 1)² − 1 = 9k² ± 6k + 1 − 1 = 9k² ± 6k = 3(3k² ± 2k). Это число делится на 3. Что и требовалось доказать.
(Другой путь: n² − 1 = (n − 1)(n + 1); из трёх последовательных чисел n − 1, n, n + 1 одно кратно 3, но не n, значит, на 3 делится один из множителей.)
(Другой путь: n² − 1 = (n − 1)(n + 1); из трёх последовательных чисел n − 1, n, n + 1 одно кратно 3, но не n, значит, на 3 делится один из множителей.)
1229. Упростите выражение (2 + 1)(2² + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1)(2^32 + 1).
Умножим и разделим выражение на 2 − 1 = 1 и последовательно применим формулу разности квадратов (a − b)(a + b) = a² − b²:
(2 − 1)(2 + 1) = 2² − 1;
(2² − 1)(2² + 1) = 2^4 − 1;
(2^4 − 1)(2^4 + 1) = 2^8 − 1;
(2^8 − 1)(2^8 + 1) = 2^16 − 1;
(2^16 − 1)(2^16 + 1) = 2^32 − 1;
(2^32 − 1)(2^32 + 1) = 2^64 − 1.
Ответ: 2^64 − 1.
(2 − 1)(2 + 1) = 2² − 1;
(2² − 1)(2² + 1) = 2^4 − 1;
(2^4 − 1)(2^4 + 1) = 2^8 − 1;
(2^8 − 1)(2^8 + 1) = 2^16 − 1;
(2^16 − 1)(2^16 + 1) = 2^32 − 1;
(2^32 − 1)(2^32 + 1) = 2^64 − 1.
Ответ: 2^64 − 1.
1230. Докажите, что уравнение x² − y² = 30 не имеет целых решений.
Пусть x и y целые и x² − y² = (x − y)(x + y) = 30. Числа x − y и x + y имеют одинаковую чётность, так как их сумма 2x чётна.
Если оба чётны, то произведение делится на 4, но 30 на 4 не делится.
Если оба нечётны, то произведение нечётно, но 30 чётно.
Оба случая невозможны, значит, целых решений нет. Что и требовалось доказать.
Если оба чётны, то произведение делится на 4, но 30 на 4 не делится.
Если оба нечётны, то произведение нечётно, но 30 чётно.
Оба случая невозможны, значит, целых решений нет. Что и требовалось доказать.
1231. Докажите, что не существует целых коэффициентов a, b, c и d таких, что значение многочлена ax³ + bx² + cx + d равно 1 при x = 19 и равно 2 при x = 62.
Пусть такие целые a, b, c, d существуют. Тогда a · 19³ + b · 19² + c · 19 + d = 1 и a · 62³ + b · 62² + c · 62 + d = 2. Вычтем первое из второго: a(62³ − 19³) + b(62² − 19²) + c(62 − 19) = 1.
Каждая из разностей 62³ − 19³, 62² − 19², 62 − 19 делится на 62 − 19 = 43 (так как m^k − n^k делится на m − n). Тогда левая часть делится на 43, а правая часть равна 1. Противоречие. Значит, таких коэффициентов не существует.
Каждая из разностей 62³ − 19³, 62² − 19², 62 − 19 делится на 62 − 19 = 43 (так как m^k − n^k делится на m − n). Тогда левая часть делится на 43, а правая часть равна 1. Противоречие. Значит, таких коэффициентов не существует.
1232. Докажите, что если y есть среднее арифметическое x и z, то x^4 + 2x³z − 2xz³ − z^4 − 4x²y² + 4y²z² = 0.
Сгруппируем слагаемые: x^4 − z^4 = (x² − z²)(x² + z²); 2x³z − 2xz³ = 2xz(x² − z²); −4x²y² + 4y²z² = −4y²(x² − z²). Вынесем общий множитель x² − z²:
выражение = (x² − z²)(x² + z² + 2xz − 4y²) = (x² − z²)((x + z)² − 4y²).
По условию y = (x + z)/2, то есть 2y = x + z, и (x + z)² − 4y² = (x + z)² − (2y)² = 0. Значит, всё выражение равно нулю. Что и требовалось доказать.
выражение = (x² − z²)(x² + z² + 2xz − 4y²) = (x² − z²)((x + z)² − 4y²).
По условию y = (x + z)/2, то есть 2y = x + z, и (x + z)² − 4y² = (x + z)² − (2y)² = 0. Значит, всё выражение равно нулю. Что и требовалось доказать.
1233. Найдите все простые числа p и q, для которых p² − 2q² = 1.
Из p² = 2q² + 1 следует, что p² нечётно, значит, p нечётно. Перепишем: p² − 1 = 2q², то есть (p − 1)(p + 1) = 2q². Числа p − 1 и p + 1 — два последовательных чётных числа, одно из них делится на 4, поэтому их произведение делится на 8. Тогда 2q² делится на 8, q² делится на 4, q чётно. Единственное чётное простое число — 2, поэтому q = 2. Тогда p² = 2 · 4 + 1 = 9, p = 3 — простое.
Ответ: p = 3, q = 2.
Ответ: p = 3, q = 2.
1234. При каких значениях a, b, c и d является тождеством равенство 5x³ − 32x² + 75x − 71 = a(x − 2)³ + b(x − 2)² + c(x − 2) + d?
Раскроем скобки справа: a(x − 2)³ = ax³ − 6ax² + 12ax − 8a; b(x − 2)² = bx² − 4bx + 4b; c(x − 2) = cx − 2c. Получаем многочлен ax³ + (−6a + b)x² + (12a − 4b + c)x + (−8a + 4b − 2c + d).
Равенство тождество, если коэффициенты при одинаковых степенях x равны:
x³: a = 5;
x²: −6a + b = −32, −30 + b = −32, b = −2;
x: 12a − 4b + c = 75, 60 + 8 + c = 75, c = 7;
свободный член: −8a + 4b − 2c + d = −71, −40 − 8 − 14 + d = −71, d = −9.
Ответ: a = 5, b = −2, c = 7, d = −9.
Равенство тождество, если коэффициенты при одинаковых степенях x равны:
x³: a = 5;
x²: −6a + b = −32, −30 + b = −32, b = −2;
x: 12a − 4b + c = 75, 60 + 8 + c = 75, c = 7;
свободный член: −8a + 4b − 2c + d = −71, −40 − 8 − 14 + d = −71, d = −9.
Ответ: a = 5, b = −2, c = 7, d = −9.
1235. Представьте многочлен 3x³ + 7x² + 9x + 6 в виде многочлена ay³ + by² + cy + d, где y = x + 1.
Так как y = x + 1, то x = y − 1. Подставим:
3(y − 1)³ + 7(y − 1)² + 9(y − 1) + 6 = 3(y³ − 3y² + 3y − 1) + 7(y² − 2y + 1) + 9y − 9 + 6 = 3y³ − 9y² + 9y − 3 + 7y² − 14y + 7 + 9y − 3.
Приведём подобные: y³: 3; y²: −9 + 7 = −2; y: 9 − 14 + 9 = 4; свободный член: −3 + 7 − 3 = 1.
Проверка при x = 0 (y = 1): 6 = 3 − 2 + 4 + 1.
Ответ: 3x³ + 7x² + 9x + 6 = 3y³ − 2y² + 4y + 1, то есть a = 3, b = −2, c = 4, d = 1.
3(y − 1)³ + 7(y − 1)² + 9(y − 1) + 6 = 3(y³ − 3y² + 3y − 1) + 7(y² − 2y + 1) + 9y − 9 + 6 = 3y³ − 9y² + 9y − 3 + 7y² − 14y + 7 + 9y − 3.
Приведём подобные: y³: 3; y²: −9 + 7 = −2; y: 9 − 14 + 9 = 4; свободный член: −3 + 7 − 3 = 1.
Проверка при x = 0 (y = 1): 6 = 3 − 2 + 4 + 1.
Ответ: 3x³ + 7x² + 9x + 6 = 3y³ − 2y² + 4y + 1, то есть a = 3, b = −2, c = 4, d = 1.
1236. При каких натуральных значениях x и y верно равенство 3x + 7y = 23?
Так как x ≥ 1, то 7y ≤ 23 − 3 = 20, откуда y ≤ 2. Переберём: y = 1: 3x = 23 − 7 = 16, x не целое; y = 2: 3x = 23 − 14 = 9, x = 3. Проверка: 3 · 3 + 7 · 2 = 9 + 14 = 23.
Ответ: x = 3, y = 2.
Ответ: x = 3, y = 2.
1237. Решите систему уравнений: а) { x − y = −1, y − z = −1, z + x = 8; б) { x + y = −3, y + z = 6, z + x = 1; в) { x − y + 2z = 1, x − y − z = −2, 2x − y + z = 1.
а) Сложим первые два уравнения: x − z = −2. Вместе с z + x = 8 сложением получаем 2x = 6, x = 3; тогда z = 5, y = x + 1 = 4. Проверка: 4 − 5 = −1.
б) Сложим все три уравнения: 2(x + y + z) = −3 + 6 + 1 = 4, x + y + z = 2. Тогда z = 2 − (x + y) = 5, x = 2 − (y + z) = −4, y = 2 − (z + x) = 1.
в) Вычтем из первого уравнения второе: 3z = 3, z = 1. Из второго: x − y = −2 + z = −1. Третье уравнение при z = 1: 2x − y = 0. Вычтем из него x − y = −1: x = 1. Тогда y = x + 1 = 2. Проверка: 1 − 2 + 2 = 1; 1 − 2 − 1 = −2; 2 − 2 + 1 = 1.
Ответ: а) (3; 4; 5); б) (−4; 1; 5); в) (1; 2; 1).
Оговорка: в ответах учебника для пункта в) указано x = −1, y = 0, z = 1; эти числа не удовлетворяют третьему уравнению (2 · (−1) − 0 + 1 = −1 ≠ 1), решение проверено подстановкой дважды.
б) Сложим все три уравнения: 2(x + y + z) = −3 + 6 + 1 = 4, x + y + z = 2. Тогда z = 2 − (x + y) = 5, x = 2 − (y + z) = −4, y = 2 − (z + x) = 1.
в) Вычтем из первого уравнения второе: 3z = 3, z = 1. Из второго: x − y = −2 + z = −1. Третье уравнение при z = 1: 2x − y = 0. Вычтем из него x − y = −1: x = 1. Тогда y = x + 1 = 2. Проверка: 1 − 2 + 2 = 1; 1 − 2 − 1 = −2; 2 − 2 + 1 = 1.
Ответ: а) (3; 4; 5); б) (−4; 1; 5); в) (1; 2; 1).
Оговорка: в ответах учебника для пункта в) указано x = −1, y = 0, z = 1; эти числа не удовлетворяют третьему уравнению (2 · (−1) − 0 + 1 = −1 ≠ 1), решение проверено подстановкой дважды.
1238. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.
Трёхзначные кубы однозначных чисел: 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729 (4³ = 64 — двузначное). Проверим, какие из них являются квадратами: 125 лежит между 11² = 121 и 12² = 144; 216 — между 14² = 196 и 15² = 225; 343 — между 18² = 324 и 19² = 361; 512 — между 22² = 484 и 23² = 529; 729 = 27². Значит, подходит только 729 = 27² = 9³.
Ответ: 729.
Ответ: 729.
1239. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.
Пусть числа a = 24m, b = 24n, где m и n — взаимно простые натуральные числа (иначе НОД был бы больше 24). Тогда 24(m + n) = 168, m + n = 7. Пары взаимно простых слагаемых (с m < n): (1; 6), (2; 5), (3; 4); все они взаимно просты.
Получаем пары: 24 и 144, 48 и 120, 72 и 96. Проверка: НОД(24; 144) = 24, НОД(48; 120) = 24, НОД(72; 96) = 24.
Ответ: 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96.
Получаем пары: 24 и 144, 48 и 120, 72 и 96. Проверка: НОД(24; 144) = 24, НОД(48; 120) = 24, НОД(72; 96) = 24.
Ответ: 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96.
1240. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения x + y = 26.
Простые числа, меньшие 26: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Для каждого x найдём y = 26 − x: x = 2 → y = 24 (не простое); x = 3 → 23 (простое); x = 5 → 21 (нет); x = 7 → 19 (простое); x = 11 → 15 (нет); x = 13 → 13 (простое); x = 17 → 9 (нет); x = 19 → 7 (простое); x = 23 → 3 (простое).
Ответ: (3; 23), (7; 19), (13; 13), (19; 7), (23; 3).
Ответ: (3; 23), (7; 19), (13; 13), (19; 7), (23; 3).