Задачи повышенной трудности — с. 234
1200. Найдите все натуральные значения a, при которых корень уравнения (a − 1)x = 12 является натуральным числом.
При a = 1 уравнение имеет вид 0 · x = 12 и корней не имеет. При a ≠ 1 корень x = 12/(a − 1). Так как a натуральное и корень x натуральный, то a − 1 должно быть натуральным делителем числа 12. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Тогда a − 1 = 1, 2, 3, 4, 6, 12, откуда a = 2, 3, 4, 5, 7, 13.
Ответ: 2, 3, 4, 5, 7 и 13.
Ответ: 2, 3, 4, 5, 7 и 13.
1201. Решите уравнение: а) |x − 3| = 7; б) |x + 2| = 9; в) |4 − x| = 1,5; г) |6 − x| = 7,3.
Уравнение |t| = c (c > 0) равносильно двум: t = c или t = −c.
а) x − 3 = 7 или x − 3 = −7; x = 10 или x = −4.
б) x + 2 = 9 или x + 2 = −9; x = 7 или x = −11.
в) 4 − x = 1,5 или 4 − x = −1,5; x = 2,5 или x = 5,5.
г) 6 − x = 7,3 или 6 − x = −7,3; x = −1,3 или x = 13,3.
Ответ: а) −4; 10; б) −11; 7; в) 2,5; 5,5; г) −1,3; 13,3.
а) x − 3 = 7 или x − 3 = −7; x = 10 или x = −4.
б) x + 2 = 9 или x + 2 = −9; x = 7 или x = −11.
в) 4 − x = 1,5 или 4 − x = −1,5; x = 2,5 или x = 5,5.
г) 6 − x = 7,3 или 6 − x = −7,3; x = −1,3 или x = 13,3.
Ответ: а) −4; 10; б) −11; 7; в) 2,5; 5,5; г) −1,3; 13,3.
1202. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
Пусть первые три цифры образуют трёхзначное число N = abc (a, b, c — цифры). Тогда всё число имеет вид abcabc = N · 1000 + N = 1001 · N. Так как 1001 = 7 · 11 · 13, число 1001 · N делится на 7, на 11 и на 13, то есть кратно каждому из них. Что и требовалось доказать.
1203. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, затем увеличилось на 10%, а во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?
Пусть в каждой бочке было a л воды.
В первой: после уменьшения на 10% стало 0,9a, после увеличения на 10% (уже от 0,9a) стало 0,9a · 1,1 = 0,99a.
Во второй: после увеличения стало 1,1a, после уменьшения на 10% стало 1,1a · 0,9 = 0,99a.
Ответ: в обеих бочках воды стало поровну (по 0,99a).
В первой: после уменьшения на 10% стало 0,9a, после увеличения на 10% (уже от 0,9a) стало 0,9a · 1,1 = 0,99a.
Во второй: после увеличения стало 1,1a, после уменьшения на 10% стало 1,1a · 0,9 = 0,99a.
Ответ: в обеих бочках воды стало поровну (по 0,99a).
1204. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы — 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?
В свежих грибах сухого вещества 100% − 90% = 10%, то есть 11 · 0,1 = 1,1 кг. В сухих грибах сухого вещества 100% − 12% = 88%. Масса сухих грибов x кг, причём 0,88x = 1,1, откуда x = 1,1 : 0,88 = 1,25.
Ответ: 1,25 кг.
Ответ: 1,25 кг.
1205. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике орехов на 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
Пусть во втором ящике x орехов. Тогда x = 1,1 · (число в первом), x = 1,3 · (число в третьем). Значит, в первом x/1,1, в третьем x/1,3.
По условию x/1,1 − x/1,3 = 80. Приведём к общему знаменателю: x · (1,3 − 1,1)/(1,1 · 1,3) = 80; 0,2x/1,43 = 80; x = 80 · 1,43 : 0,2 = 572.
В первом: 572 : 1,1 = 520, в третьем: 572 : 1,3 = 440. Проверка: 520 − 440 = 80.
Ответ: 520, 572 и 440 орехов.
По условию x/1,1 − x/1,3 = 80. Приведём к общему знаменателю: x · (1,3 − 1,1)/(1,1 · 1,3) = 80; 0,2x/1,43 = 80; x = 80 · 1,43 : 0,2 = 572.
В первом: 572 : 1,1 = 520, в третьем: 572 : 1,3 = 440. Проверка: 520 − 440 = 80.
Ответ: 520, 572 и 440 орехов.