Глава VI. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 15 (продолжение) — с. 233
1194. Велосипедист ехал от пункта A до пункта B со скоростью 10 км/ч, а от пункта B до пункта C со скоростью 15 км/ч. На весь путь он затратил 5 ч. Тот же путь за то же время он мог бы проехать со скоростью 12 км/ч. Сколько часов затратил велосипедист на путь от A до B и сколько на путь от B до C?
Пусть на путь от A до B затрачено x ч, от B до C — y ч. Тогда x + y = 5.
Весь путь 10x + 15y, а при скорости 12 км/ч за 5 ч получилось бы 12·5 = 60 км. Значит, 10x + 15y = 60, то есть 2x + 3y = 12.
Из первого x = 5 − y: 10 − 2y + 3y = 12, y = 2, x = 3.
Проверка: 10·3 + 15·2 = 60.
Ответ: от A до B — 3 ч, от B до C — 2 ч.
Весь путь 10x + 15y, а при скорости 12 км/ч за 5 ч получилось бы 12·5 = 60 км. Значит, 10x + 15y = 60, то есть 2x + 3y = 12.
Из первого x = 5 − y: 10 − 2y + 3y = 12, y = 2, x = 3.
Проверка: 10·3 + 15·2 = 60.
Ответ: от A до B — 3 ч, от B до C — 2 ч.
1195. В первый день засеяли 1/4 первого поля и 1/3 второго, что составило 340 га. Во второй день засеяли 1/3 оставшейся части первого поля, что на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля. Найдите площадь каждого поля.
Пусть площадь первого поля x га, второго y га. В первый день засеяли x/4 + y/3 = 340.
Осталось от первого поля 3x/4, от второго 2y/3. Во второй день засеяли (1/3)·(3x/4) = x/4 га первого поля. Это на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля: x/4 = (1/2)·(2y/3) − 60 = y/3 − 60.
Система: x/4 + y/3 = 340 и y/3 − x/4 = 60. Сложим: 2y/3 = 400, y = 600. Тогда x/4 = 340 − 200 = 140, x = 560.
Проверка: 560/4 + 600/3 = 140 + 200 = 340; 600/3 − 560/4 = 200 − 140 = 60.
Ответ: первое поле 560 га, второе 600 га.
Осталось от первого поля 3x/4, от второго 2y/3. Во второй день засеяли (1/3)·(3x/4) = x/4 га первого поля. Это на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля: x/4 = (1/2)·(2y/3) − 60 = y/3 − 60.
Система: x/4 + y/3 = 340 и y/3 − x/4 = 60. Сложим: 2y/3 = 400, y = 600. Тогда x/4 = 340 − 200 = 140, x = 560.
Проверка: 560/4 + 600/3 = 140 + 200 = 340; 600/3 − 560/4 = 200 − 140 = 60.
Ответ: первое поле 560 га, второе 600 га.
1196. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 90 см². Если же длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 20 см². Найдите стороны прямоугольника.
Пусть длина a см, ширина b см, площадь ab.
Первое условие: (a + 3)(b + 3) = ab + 90, то есть 3a + 3b + 9 = 90, a + b = 27.
Второе условие: (a + 5)(b − 2) = ab + 20, то есть −2a + 5b − 10 = 20, откуда 5b − 2a = 30.
Из первого a = 27 − b: 5b − 54 + 2b = 30, 7b = 84, b = 12, a = 15.
Проверка: 18·15 = 270 = 180 + 90; 20·10 = 200 = 180 + 20.
Ответ: длина 15 см, ширина 12 см.
Первое условие: (a + 3)(b + 3) = ab + 90, то есть 3a + 3b + 9 = 90, a + b = 27.
Второе условие: (a + 5)(b − 2) = ab + 20, то есть −2a + 5b − 10 = 20, откуда 5b − 2a = 30.
Из первого a = 27 − b: 5b − 54 + 2b = 30, 7b = 84, b = 12, a = 15.
Проверка: 18·15 = 270 = 180 + 90; 20·10 = 200 = 180 + 20.
Ответ: длина 15 см, ширина 12 см.
1197. Написали два числа. Если первое число увеличить на 30%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на 10%, а второе — на 20%, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?
Пусть первое число x, второе y.
Первое условие: 1,3x + 0,9y = x + y + 6, то есть 0,3x − 0,1y = 6, или 3x − y = 60.
Второе условие: 0,9x + 0,8y = x + y − 16, то есть −0,1x − 0,2y = −16, или x + 2y = 160.
Умножим первое уравнение на 2: 6x − 2y = 120 и сложим со вторым: 7x = 280, x = 40. Тогда y = 3x − 60 = 60.
Проверка: 1,3·40 + 0,9·60 = 52 + 54 = 106 = 100 + 6; 0,9·40 + 0,8·60 = 36 + 48 = 84 = 100 − 16.
Ответ: 40 и 60.
Первое условие: 1,3x + 0,9y = x + y + 6, то есть 0,3x − 0,1y = 6, или 3x − y = 60.
Второе условие: 0,9x + 0,8y = x + y − 16, то есть −0,1x − 0,2y = −16, или x + 2y = 160.
Умножим первое уравнение на 2: 6x − 2y = 120 и сложим со вторым: 7x = 280, x = 40. Тогда y = 3x − 60 = 60.
Проверка: 1,3·40 + 0,9·60 = 52 + 54 = 106 = 100 + 6; 0,9·40 + 0,8·60 = 36 + 48 = 84 = 100 − 16.
Ответ: 40 и 60.
1198. В магазине находилось два мешка с рисом одинаковой массы и один мешок с пшеном. Масса всех трёх мешков составляла 160 кг. После того как из каждого мешка с рисом продали 20% риса, а из мешка с пшеном — 25% пшена, масса крупы в мешках составила 125 кг. Сколько килограммов риса и пшена было в каждом мешке первоначально?
Пусть в каждом мешке с рисом было x кг, в мешке с пшеном y кг. Тогда 2x + y = 160.
После продажи в каждом мешке с рисом осталось 0,8x, в мешке с пшеном 0,75y: 2·0,8x + 0,75y = 125, то есть 1,6x + 0,75y = 125, или 6,4x + 3y = 500.
Умножим первое уравнение на 3: 6x + 3y = 480. Вычтем из второго: 0,4x = 20, x = 50. Тогда y = 160 − 100 = 60.
Проверка: 0,8·50·2 + 0,75·60 = 80 + 45 = 125.
Ответ: в каждом мешке с рисом было 50 кг риса, в мешке с пшеном 60 кг пшена.
После продажи в каждом мешке с рисом осталось 0,8x, в мешке с пшеном 0,75y: 2·0,8x + 0,75y = 125, то есть 1,6x + 0,75y = 125, или 6,4x + 3y = 500.
Умножим первое уравнение на 3: 6x + 3y = 480. Вычтем из второго: 0,4x = 20, x = 50. Тогда y = 160 − 100 = 60.
Проверка: 0,8·50·2 + 0,75·60 = 80 + 45 = 125.
Ответ: в каждом мешке с рисом было 50 кг риса, в мешке с пшеном 60 кг пшена.
1199. За 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей. В результате усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, а второго — на 20%. Теперь за 2 дня работы на первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Сколько деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?
Пусть раньше первый станок изготовлял x деталей в день, второй y деталей в день.
8x + 5y = 235. После усовершенствования: 1,15x и 1,2y деталей в день, поэтому 2·1,15x + 3·1,2y = 100, то есть 2,3x + 3,6y = 100, или 23x + 36y = 1000.
Умножим первое уравнение на 36, а второе на −5: 288x + 180y = 8460 и −115x − 180y = −5000. Сложим: 173x = 3460, x = 20. Тогда 5y = 235 − 160 = 75, y = 15.
Проверка: 8·20 + 5·15 = 235; 2,3·20 + 3,6·15 = 46 + 54 = 100.
Ответ: 20 деталей в день на первом станке и 15 деталей в день на втором.
8x + 5y = 235. После усовершенствования: 1,15x и 1,2y деталей в день, поэтому 2·1,15x + 3·1,2y = 100, то есть 2,3x + 3,6y = 100, или 23x + 36y = 1000.
Умножим первое уравнение на 36, а второе на −5: 288x + 180y = 8460 и −115x − 180y = −5000. Сложим: 173x = 3460, x = 20. Тогда 5y = 235 − 160 = 75, y = 15.
Проверка: 8·20 + 5·15 = 235; 2,3·20 + 3,6·15 = 46 + 54 = 100.
Ответ: 20 деталей в день на первом станке и 15 деталей в день на втором.