Глава VI. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 14 (вверху страницы) и к параграфу 15 — с. 231
1181. Укажите какое-либо значение k, при котором система {2x + y = 7, y − kx = 3} имеет единственное решение.
Запишем уравнения в виде y = −2x + 7 и y = kx + 3. Система имеет единственное решение, когда прямые пересекаются, то есть угловые коэффициенты различны: k ≠ −2.
Например, k = 0: система {2x + y = 7, y = 3}. Тогда y = 3, 2x = 4, x = 2 — единственное решение (2; 3).
Ответ: например, k = 0 (подойдёт любое k, кроме −2).
Например, k = 0: система {2x + y = 7, y = 3}. Тогда y = 3, 2x = 4, x = 2 — единственное решение (2; 3).
Ответ: например, k = 0 (подойдёт любое k, кроме −2).
1182. При каком значении c система уравнений {3x − y = 10, 9x − 3y = c} имеет бесконечно много решений?
Умножим первое уравнение на 3: 9x − 3y = 30. Система имеет бесконечно много решений, когда второе уравнение равносильно первому, то есть при c = 30.
Ответ: при c = 30.
Ответ: при c = 30.
1183. При каких значениях c система уравнений {(1/2)x + (1/5)y = 2, 5x + 2y = c} не имеет решений?
Умножим первое уравнение на 10: 5x + 2y = 20. Левые части уравнений совпадают: 5x + 2y. Система не имеет решений, если правые части различны: c ≠ 20. (При c = 20 уравнения совпадают и решений бесконечно много.)
Ответ: при всех c, кроме c = 20.
Ответ: при всех c, кроме c = 20.
1184. Решите систему уравнений: а) {25x − 18y = 75, 5x − 4y = 5}; б) {35x = 3y + 5, 49x = 4y + 9}; в) {8y − 5z = 23, 3y − 2z = 6}; г) {13x − 15y = −48, 2x + y = 29}; д) {7x + 4y = 74, 3x + 2y = 32}; е) {11u + 15v = 1,9, −3u + 5v = 1,3}.
а) Умножим второе уравнение на −5: −25x + 20y = −25. Сложим с первым: 2y = 50, y = 25. Тогда 5x = 5 + 4·25 = 105, x = 21. Ответ: x = 21, y = 25.
б) Запишем: 35x − 3y = 5 и 49x − 4y = 9. Умножим первое на 4, второе на −3: 140x − 12y = 20 и −147x + 12y = −27. Сложим: −7x = −7, x = 1. Тогда 3y = 35 − 5 = 30, y = 10. Ответ: x = 1, y = 10.
в) Умножим первое уравнение на 2, а второе на −5: 16y − 10z = 46 и −15y + 10z = −30. Сложим: y = 16. Тогда 2z = 3·16 − 6 = 42, z = 21. Ответ: y = 16, z = 21.
г) Умножим второе уравнение на 15: 30x + 15y = 435. Сложим с первым: 43x = 387, x = 9. Тогда y = 29 − 18 = 11. Ответ: x = 9, y = 11.
д) Умножим второе уравнение на −2: −6x − 4y = −64. Сложим с первым: x = 10. Тогда 2y = 32 − 30 = 2, y = 1. Ответ: x = 10, y = 1.
е) Умножим второе уравнение на 3: −9u + 15v = 3,9. Вычтем из первого уравнения полученное: 20u = 1,9 − 3,9 = −2, u = −0,1. Тогда 5v = 1,3 + 3u = 1,3 − 0,3 = 1, v = 0,2. Ответ: u = −0,1, v = 0,2.
б) Запишем: 35x − 3y = 5 и 49x − 4y = 9. Умножим первое на 4, второе на −3: 140x − 12y = 20 и −147x + 12y = −27. Сложим: −7x = −7, x = 1. Тогда 3y = 35 − 5 = 30, y = 10. Ответ: x = 1, y = 10.
в) Умножим первое уравнение на 2, а второе на −5: 16y − 10z = 46 и −15y + 10z = −30. Сложим: y = 16. Тогда 2z = 3·16 − 6 = 42, z = 21. Ответ: y = 16, z = 21.
г) Умножим второе уравнение на 15: 30x + 15y = 435. Сложим с первым: 43x = 387, x = 9. Тогда y = 29 − 18 = 11. Ответ: x = 9, y = 11.
д) Умножим второе уравнение на −2: −6x − 4y = −64. Сложим с первым: x = 10. Тогда 2y = 32 − 30 = 2, y = 1. Ответ: x = 10, y = 1.
е) Умножим второе уравнение на 3: −9u + 15v = 3,9. Вычтем из первого уравнения полученное: 20u = 1,9 − 3,9 = −2, u = −0,1. Тогда 5v = 1,3 + 3u = 1,3 − 0,3 = 1, v = 0,2. Ответ: u = −0,1, v = 0,2.
1185. Найдите решение системы уравнений: а) {6(x + y) = 8 + 2x − 3y, 5(y − x) = 5 + 3x + 2y}; б) {−2(2x + 1) + 1,5 = 3(y − 2) − 6x, 11,5 − 4(3 − x) = 2y − (5 − x)}; в) {4(2x − y + 3) − 3(x − 2y + 3) = 48, 3(3x − 4y + 3) + 4(4x − 2y − 9) = 48}; г) {84 + 3(x − 3y) = 36x − 4(y + 17), 10(x − y) = 3y + 4(1 − x)}.
а) Раскроем скобки: 6x + 6y = 8 + 2x − 3y, откуда 4x + 9y = 8; 5y − 5x = 5 + 3x + 2y, откуда −8x + 3y = 5. Умножим первое на 2: 8x + 18y = 16 и сложим со вторым: 21y = 21, y = 1. Тогда 4x = 8 − 9 = −1, x = −0,25. Ответ: (−0,25; 1).
б) Первое: −4x − 2 + 1,5 = 3y − 6 − 6x, откуда 2x − 3y = −5,5. Второе: 11,5 − 12 + 4x = 2y − 5 + x, откуда 3x − 2y = −4,5. Умножим первое на 3, второе на −2: 6x − 9y = −16,5 и −6x + 4y = 9. Сложим: −5y = −7,5, y = 1,5. Тогда 2x = −5,5 + 4,5 = −1, x = −0,5. Ответ: (−0,5; 1,5).
в) Первое: 8x − 4y + 12 − 3x + 6y − 9 = 48, откуда 5x + 2y = 45. Второе: 9x − 12y + 9 + 16x − 8y − 36 = 48, откуда 25x − 20y = 75, то есть 5x − 4y = 15. Умножим первое на 2: 10x + 4y = 90 и сложим со вторым: 15x = 105, x = 7. Тогда 2y = 45 − 35 = 10, y = 5. Ответ: (7; 5).
г) Первое: 84 + 3x − 9y = 36x − 4y − 68, откуда 33x + 5y = 152. Второе: 10x − 10y = 3y + 4 − 4x, откуда 14x − 13y = 4. Умножим первое на 13, второе на 5: 429x + 65y = 1976 и 70x − 65y = 20. Сложим: 499x = 1996, x = 4. Тогда 5y = 152 − 132 = 20, y = 4. Ответ: (4; 4).
б) Первое: −4x − 2 + 1,5 = 3y − 6 − 6x, откуда 2x − 3y = −5,5. Второе: 11,5 − 12 + 4x = 2y − 5 + x, откуда 3x − 2y = −4,5. Умножим первое на 3, второе на −2: 6x − 9y = −16,5 и −6x + 4y = 9. Сложим: −5y = −7,5, y = 1,5. Тогда 2x = −5,5 + 4,5 = −1, x = −0,5. Ответ: (−0,5; 1,5).
в) Первое: 8x − 4y + 12 − 3x + 6y − 9 = 48, откуда 5x + 2y = 45. Второе: 9x − 12y + 9 + 16x − 8y − 36 = 48, откуда 25x − 20y = 75, то есть 5x − 4y = 15. Умножим первое на 2: 10x + 4y = 90 и сложим со вторым: 15x = 105, x = 7. Тогда 2y = 45 − 35 = 10, y = 5. Ответ: (7; 5).
г) Первое: 84 + 3x − 9y = 36x − 4y − 68, откуда 33x + 5y = 152. Второе: 10x − 10y = 3y + 4 − 4x, откуда 14x − 13y = 4. Умножим первое на 13, второе на 5: 429x + 65y = 1976 и 70x − 65y = 20. Сложим: 499x = 1996, x = 4. Тогда 5y = 152 − 132 = 20, y = 4. Ответ: (4; 4).