Глава VI. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 14 (продолжение) — с. 229
1157. Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решением уравнения: а) x + y = 11; б) xy = 18.
а) x + y = 11. Перебираем натуральные x от 1 до 10, тогда y = 11 − x: (1; 10), (2; 9), (3; 8), (4; 7), (5; 6), (6; 5), (7; 4), (8; 3), (9; 2), (10; 1). Всего 10 пар.
б) xy = 18. Числа x и y — натуральные делители числа 18, дающие в произведении 18: 18 = 1·18 = 2·9 = 3·6. Пары: (1; 18), (2; 9), (3; 6), (6; 3), (9; 2), (18; 1). Всего 6 пар.
б) xy = 18. Числа x и y — натуральные делители числа 18, дающие в произведении 18: 18 = 1·18 = 2·9 = 3·6. Пары: (1; 18), (2; 9), (3; 6), (6; 3), (9; 2), (18; 1). Всего 6 пар.
1158. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения a + b = 42.
Сумма 42 чётна. Если одно из чисел равно 2, то другое равно 40, а 40 не простое. Значит, оба числа нечётные простые. Перебираем простые a < 42 и проверяем b = 42 − a:
a = 3: b = 39 = 3·13 — не простое; a = 5: b = 37 — простое; a = 7: b = 35 — не простое; a = 11: b = 31 — простое; a = 13: b = 29 — простое; a = 17: b = 25 — не простое; a = 19: b = 23 — простое; a = 23: b = 19; a = 29: b = 13; a = 31: b = 11; a = 37: b = 5; a = 41: b = 1 — не простое.
Ответ: (5; 37), (11; 31), (13; 29), (19; 23), (23; 19), (29; 13), (31; 11), (37; 5).
a = 3: b = 39 = 3·13 — не простое; a = 5: b = 37 — простое; a = 7: b = 35 — не простое; a = 11: b = 31 — простое; a = 13: b = 29 — простое; a = 17: b = 25 — не простое; a = 19: b = 23 — простое; a = 23: b = 19; a = 29: b = 13; a = 31: b = 11; a = 37: b = 5; a = 41: b = 1 — не простое.
Ответ: (5; 37), (11; 31), (13; 29), (19; 23), (23; 19), (29; 13), (31; 11), (37; 5).
1159. Трёхзначное число начинается с цифры 9. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится трёхзначное число, которое меньше данного на 576. Найдите данное трёхзначное число.
Пусть двузначное число, образованное двумя последними цифрами данного числа, равно n (то есть n = 10x + y, где x и y — вторая и третья цифры). Данное число 900 + n. После перестановки цифры 9 на последнее место получится число 10n + 9.
По условию 900 + n − (10n + 9) = 576, то есть 891 − 9n = 576, 9n = 315, n = 35. То есть x = 3, y = 5.
Данное число 935. Проверка: после перестановки получим 359, 935 − 359 = 576.
Ответ: 935.
По условию 900 + n − (10n + 9) = 576, то есть 891 − 9n = 576, 9n = 315, n = 35. То есть x = 3, y = 5.
Данное число 935. Проверка: после перестановки получим 359, 935 − 359 = 576.
Ответ: 935.
1160. Трёхзначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру поставить на первое место, то новое число будет на 7 меньше удвоенного данного числа. Найдите данное число.
Пусть двузначное число, образованное первыми двумя цифрами данного числа, равно n. Данное число 10n + 4. Если цифру 4 поставить на первое место, получится число 400 + n.
По условию 400 + n = 2(10n + 4) − 7, то есть 400 + n = 20n + 1, 19n = 399, n = 21.
Данное число 214. Проверка: новое число 421, а 2·214 − 7 = 421.
Ответ: 214.
По условию 400 + n = 2(10n + 4) − 7, то есть 400 + n = 20n + 1, 19n = 399, n = 21.
Данное число 214. Проверка: новое число 421, а 2·214 − 7 = 421.
Ответ: 214.
1161. К двузначному числу приписали слева и справа по 1. Получившееся четырёхзначное число оказалось в 21 раз больше первоначального. Найдите двузначное число.
Пусть двузначное число равно n. После приписывания 1 слева и справа получится число 1000 + 10n + 1 = 10n + 1001.
По условию 10n + 1001 = 21n, 11n = 1001, n = 91.
Проверка: 1911 : 91 = 21.
Ответ: 91.
По условию 10n + 1001 = 21n, 11n = 1001, n = 91.
Проверка: 1911 : 91 = 21.
Ответ: 91.
1162. Пересекает ли график уравнения y − x² = 9: а) ось x; б) ось y?
При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.
Запишем уравнение в виде y = x² + 9.
а) Точки оси x имеют y = 0. Тогда x² + 9 = 0, x² = −9 — невозможно, так как x² ≥ 0. График ось x не пересекает.
б) Точки оси y имеют x = 0. Тогда y = 0 + 9 = 9. График пересекает ось y в точке (0; 9).
Ответ: а) нет; б) да, в точке (0; 9).
а) Точки оси x имеют y = 0. Тогда x² + 9 = 0, x² = −9 — невозможно, так как x² ≥ 0. График ось x не пересекает.
б) Точки оси y имеют x = 0. Тогда y = 0 + 9 = 9. График пересекает ось y в точке (0; 9).
Ответ: а) нет; б) да, в точке (0; 9).
1163. Графику уравнения x − xy = 46 принадлежит точка с ординатой −1,3. Найдите абсциссу этой точки.
Подставим y = −1,3: x − x·(−1,3) = 46, x + 1,3x = 46, 2,3x = 46, x = 20.
Проверка: 20 − 20·(−1,3) = 20 + 26 = 46.
Ответ: 20.
Проверка: 20 − 20·(−1,3) = 20 + 26 = 46.
Ответ: 20.
1164. График уравнения 8x − 5y = 14 проходит через точку с абсциссой 1,2. Найдите ординату этой точки.
Подставим x = 1,2: 9,6 − 5y = 14, −5y = 4,4, y = −0,88.
Проверка: 8·1,2 − 5·(−0,88) = 9,6 + 4,4 = 14.
Ответ: −0,88.
Проверка: 8·1,2 − 5·(−0,88) = 9,6 + 4,4 = 14.
Ответ: −0,88.
1165. Докажите, что графику уравнения 3x + 2y = −4 не принадлежит ни одна точка, у которой обе координаты положительны.
Если x > 0 и y > 0, то 3x > 0 и 2y > 0, поэтому 3x + 2y > 0. А по уравнению 3x + 2y = −4 < 0. Противоречие.
Значит, ни одна точка графика не имеет обе положительные координаты.
Значит, ни одна точка графика не имеет обе положительные координаты.
1166. Докажите, что графику уравнения 6x − 12y = 5 не принадлежит ни одна точка с целочисленными координатами.
Пусть x и y — целые числа. Тогда левая часть 6x − 12y = 6(x − 2y) делится на 6 (так как x − 2y целое), а число 5 на 6 не делится.
Значит, равенство 6x − 12y = 5 невозможно при целых x и y, и точек с целыми координатами на графике нет.
Значит, равенство 6x − 12y = 5 невозможно при целых x и y, и точек с целыми координатами на графике нет.
1167. Постройте график уравнения: а) 3(x − 2y) − 2(x − 4y) = 4; б) 2(0,5x − 1,2y) − (0,6y + x) = 6; в) 3(0,4y − 0,2x) − 4(0,3y − 0,6x) = 0,6.
Упростим каждое уравнение.
а) 3x − 6y − 2x + 8y = 4, то есть x + 2y = 4. Это уравнение прямой; точки: (4; 0) и (0; 2). Через них проводим прямую.
б) x − 2,4y − 0,6y − x = 6, то есть −3y = 6, y = −2. Графиком служит прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; −2).
в) 1,2y − 0,6x − 1,2y + 2,4x = 0,6, то есть 1,8x = 0,6, x = 1/3. Графиком служит прямая, параллельная оси y и проходящая через точку (1/3; 0).
Графики построены на рисунке.
а) 3x − 6y − 2x + 8y = 4, то есть x + 2y = 4. Это уравнение прямой; точки: (4; 0) и (0; 2). Через них проводим прямую.
б) x − 2,4y − 0,6y − x = 6, то есть −3y = 6, y = −2. Графиком служит прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; −2).
в) 1,2y − 0,6x − 1,2y + 2,4x = 0,6, то есть 1,8x = 0,6, x = 1/3. Графиком служит прямая, параллельная оси y и проходящая через точку (1/3; 0).
Графики построены на рисунке.
1168. В линейном уравнении ax − y = 4 подберите коэффициент a так, чтобы график этого уравнения проходил через точку M(3; 5). Постройте график этого уравнения.
Подставим координаты точки M(3; 5): a·3 − 5 = 4, 3a = 9, a = 3.
Уравнение имеет вид 3x − y = 4, или y = 3x − 4. Для построения возьмём две точки: при x = 0 получаем y = −4 (точка (0; −4)); при x = 2 получаем y = 2 (точка (2; 2)). Проверка: точка M(3; 5) лежит на прямой, так как 3·3 − 4 = 5.
Ответ: a = 3; график — прямая y = 3x − 4 (построена на рисунке).
Уравнение имеет вид 3x − y = 4, или y = 3x − 4. Для построения возьмём две точки: при x = 0 получаем y = −4 (точка (0; −4)); при x = 2 получаем y = 2 (точка (2; 2)). Проверка: точка M(3; 5) лежит на прямой, так как 3·3 − 4 = 5.
Ответ: a = 3; график — прямая y = 3x − 4 (построена на рисунке).
1169. Постройте прямую, которая является графиком уравнения y − 2,5x = c, если известно, что она проходит через точку K(2; −3).
Подставим координаты точки K(2; −3): −3 − 2,5·2 = c, c = −3 − 5 = −8.
Уравнение: y − 2,5x = −8, или y = 2,5x − 8. Для построения найдём ещё точки: при x = 0 получаем y = −8, при x = 4 получаем y = 2 (точка (4; 2)); прямая пересекает ось x в точке (3,2; 0), так как 2,5x = 8.
Ответ: c = −8; прямая y = 2,5x − 8 построена на рисунке.
Уравнение: y − 2,5x = −8, или y = 2,5x − 8. Для построения найдём ещё точки: при x = 0 получаем y = −8, при x = 4 получаем y = 2 (точка (4; 2)); прямая пересекает ось x в точке (3,2; 0), так как 2,5x = 8.
Ответ: c = −8; прямая y = 2,5x − 8 построена на рисунке.
1170. Постройте график уравнения: а) (x − 2)(y − 3) = 0; б) (x + 8)(y − 1) = 0; в) (x + 4)(y + 5) = 0; г) x(y − 2) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому график каждого уравнения — объединение двух прямых.
а) x − 2 = 0 или y − 3 = 0: прямые x = 2 (вертикальная) и y = 3 (горизонтальная).
б) x + 8 = 0 или y − 1 = 0: прямые x = −8 и y = 1.
в) x + 4 = 0 или y + 5 = 0: прямые x = −4 и y = −5.
г) x = 0 или y − 2 = 0: прямые x = 0 (ось y) и y = 2.
Графики построены на рисунке.
а) x − 2 = 0 или y − 3 = 0: прямые x = 2 (вертикальная) и y = 3 (горизонтальная).
б) x + 8 = 0 или y − 1 = 0: прямые x = −8 и y = 1.
в) x + 4 = 0 или y + 5 = 0: прямые x = −4 и y = −5.
г) x = 0 или y − 2 = 0: прямые x = 0 (ось y) и y = 2.
Графики построены на рисунке.