Глава VI. п.46 Упражнения (1149–1152); Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 14 — с. 228
1149. Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаёт система неравенств: а) {y ≤ −x, y ≥ −5}; б) {y ≥ x − 2, y ≤ x + 3}; в) {y ≥ −2x + 4, y ≤ x + 1}.
Каждое неравенство задаёт полуплоскость вместе с граничной прямой (неравенства нестрогие), а система — общую часть двух полуплоскостей.
а) y ≤ −x — точки на прямой y = −x и ниже неё; y ≥ −5 — точки на прямой y = −5 и выше. Прямые пересекаются в точке (5; −5). Общая часть — угол с вершиной (5; −5), расположенный выше прямой y = −5 и ниже прямой y = −x (он уходит влево).
б) y ≥ x − 2 — точки на прямой y = x − 2 и выше; y ≤ x + 3 — точки на прямой y = x + 3 и ниже. Угловые коэффициенты прямых равны, прямые параллельны. Общая часть — полоса между этими прямыми, включая сами прямые.
в) y ≥ −2x + 4 — точки на прямой и выше; y ≤ x + 1 — точки на прямой и ниже. Прямые пересекаются: −2x + 4 = x + 1, x = 1, y = 2. Общая часть — угол с вершиной (1; 2), раскрытый вправо.
Решения показаны на рисунке.
а) y ≤ −x — точки на прямой y = −x и ниже неё; y ≥ −5 — точки на прямой y = −5 и выше. Прямые пересекаются в точке (5; −5). Общая часть — угол с вершиной (5; −5), расположенный выше прямой y = −5 и ниже прямой y = −x (он уходит влево).
б) y ≥ x − 2 — точки на прямой y = x − 2 и выше; y ≤ x + 3 — точки на прямой y = x + 3 и ниже. Угловые коэффициенты прямых равны, прямые параллельны. Общая часть — полоса между этими прямыми, включая сами прямые.
в) y ≥ −2x + 4 — точки на прямой и выше; y ≤ x + 1 — точки на прямой и ниже. Прямые пересекаются: −2x + 4 = x + 1, x = 1, y = 2. Общая часть — угол с вершиной (1; 2), раскрытый вправо.
Решения показаны на рисунке.
1150. Какую фигуру на координатной плоскости задаёт система неравенств: а) {y ≤ x, y ≥ 7}; б) {y ≤ −x + 7, y ≥ −x + 1}?
а) y ≤ x — точки на прямой y = x и ниже неё, y ≥ 7 — точки на прямой y = 7 и выше. Прямые пересекаются в точке (7; 7). Система задаёт угол с вершиной (7; 7), стороны которого — луч прямой y = 7 (вправо от вершины) и луч прямой y = x (вверх и вправо от вершины); угол равен 45°.
б) y ≤ −x + 7 — точки на прямой y = −x + 7 и ниже, y ≥ −x + 1 — точки на прямой y = −x + 1 и выше. Угловые коэффициенты у прямых одинаковы (−1), поэтому прямые параллельны. Система задаёт полосу между этими прямыми, включая сами прямые.
Ответ: а) угол; б) полоса.
б) y ≤ −x + 7 — точки на прямой y = −x + 7 и ниже, y ≥ −x + 1 — точки на прямой y = −x + 1 и выше. Угловые коэффициенты у прямых одинаковы (−1), поэтому прямые параллельны. Система задаёт полосу между этими прямыми, включая сами прямые.
Ответ: а) угол; б) полоса.
1151. Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств {y ≤ −0,5x + 2, x ≥ 0, y ≥ 0}, и найдите её площадь.
Неравенства x ≥ 0 и y ≥ 0 задают первую координатную четверть (с границами — осями). Прямая y = −0,5x + 2 проходит через точки (0; 2) и (4; 0); условие y ≤ −0,5x + 2 выполняется на прямой и ниже неё.
Общая часть — треугольник с вершинами (0; 0), (4; 0), (0; 2). Это прямоугольный треугольник с катетами 4 и 2.
Площадь: S = (1/2)·4·2 = 4 (кв. ед.).
Ответ: 4 кв. ед.
Общая часть — треугольник с вершинами (0; 0), (4; 0), (0; 2). Это прямоугольный треугольник с катетами 4 и 2.
Площадь: S = (1/2)·4·2 = 4 (кв. ед.).
Ответ: 4 кв. ед.
1152. Укажите какие-либо значения k и b, при которых система неравенств {y ≤ 3x + 2, y ≥ kx + b} задаёт на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.
Первое неравенство задаёт полуплоскость ниже прямой y = 3x + 2 (вместе с прямой).
а) Полоса получается, когда граничные прямые параллельны, то есть k = 3, а вторая прямая расположена ниже первой: b < 2. Например, k = 3, b = 0: система {y ≤ 3x + 2, y ≥ 3x} задаёт полосу между прямыми y = 3x и y = 3x + 2.
б) Угол получается, когда прямые пересекаются, то есть k ≠ 3. Например, k = 0, b = 0: система {y ≤ 3x + 2, y ≥ 0} задаёт угол с вершиной в точке (−2/3; 0) — общей точке прямых y = 3x + 2 и y = 0, раскрытый вправо.
Ответ (один из вариантов): а) k = 3, b = 0; б) k = 0, b = 0.
а) Полоса получается, когда граничные прямые параллельны, то есть k = 3, а вторая прямая расположена ниже первой: b < 2. Например, k = 3, b = 0: система {y ≤ 3x + 2, y ≥ 3x} задаёт полосу между прямыми y = 3x и y = 3x + 2.
б) Угол получается, когда прямые пересекаются, то есть k ≠ 3. Например, k = 0, b = 0: система {y ≤ 3x + 2, y ≥ 0} задаёт угол с вершиной в точке (−2/3; 0) — общей точке прямых y = 3x + 2 и y = 0, раскрытый вправо.
Ответ (один из вариантов): а) k = 3, b = 0; б) k = 0, b = 0.
1153. Является ли решением уравнения x² − 2y = 7 пара значений переменных x и y: а) (5; 8); б) (−4; −11,5); в) (−1; −3); г) (1,2; −2,78)?
Подставим x и y в левую часть x² − 2y и сравним с 7.
а) 5² − 2·8 = 25 − 16 = 9 ≠ 7 — не является.
б) (−4)² − 2·(−11,5) = 16 + 23 = 39 ≠ 7 — не является.
в) (−1)² − 2·(−3) = 1 + 6 = 7 — является.
г) 1,2² − 2·(−2,78) = 1,44 + 5,56 = 7 — является.
Ответ: решениями являются пары в) и г).
а) 5² − 2·8 = 25 − 16 = 9 ≠ 7 — не является.
б) (−4)² − 2·(−11,5) = 16 + 23 = 39 ≠ 7 — не является.
в) (−1)² − 2·(−3) = 1 + 6 = 7 — является.
г) 1,2² − 2·(−2,78) = 1,44 + 5,56 = 7 — является.
Ответ: решениями являются пары в) и г).
1154. Составьте уравнение с переменными u и v, решением которого служит пара чисел вида (u; v): а) (10; 3); б) (0; −7); в) (0,6; −0,8); г) (−1,4; −3,6).
Достаточно подобрать линейное уравнение, обращающееся в верное равенство при подстановке пары (подходит любое такое уравнение).
а) u + v = 13: 10 + 3 = 13.
б) u − v = 7: 0 − (−7) = 7.
в) u + v = −0,2: 0,6 + (−0,8) = −0,2.
г) u − v = 2,2: −1,4 − (−3,6) = 2,2.
Ответ (один из вариантов): а) u + v = 13; б) u − v = 7; в) u + v = −0,2; г) u − v = 2,2.
а) u + v = 13: 10 + 3 = 13.
б) u − v = 7: 0 − (−7) = 7.
в) u + v = −0,2: 0,6 + (−0,8) = −0,2.
г) u − v = 2,2: −1,4 − (−3,6) = 2,2.
Ответ (один из вариантов): а) u + v = 13; б) u − v = 7; в) u + v = −0,2; г) u − v = 2,2.
1155. Докажите, что если в уравнении ax + by = 81 коэффициенты a и b — целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.
Допустим, что пара (15; 40) — решение. Тогда 15a + 40b = 81.
Левая часть 15a + 40b = 5(3a + 8b) при целых a и b делится на 5, а число 81 на 5 не делится. Получили противоречие.
Значит, при целых a и b пара (15; 40) не может быть решением уравнения ax + by = 81.
Левая часть 15a + 40b = 5(3a + 8b) при целых a и b делится на 5, а число 81 на 5 не делится. Получили противоречие.
Значит, при целых a и b пара (15; 40) не может быть решением уравнения ax + by = 81.
1156. Известно, что: а) пара значений переменных x = 5, y = 7 является решением уравнения ax − 2y = 1. Найдите коэффициент a; б) пара значений переменных x = −3, y = 8 является решением уравнения 5x + by = 17. Найдите коэффициент b.
а) Подставим x = 5, y = 7: 5a − 14 = 1, 5a = 15, a = 3.
б) Подставим x = −3, y = 8: −15 + 8b = 17, 8b = 32, b = 4.
Ответ: а) a = 3; б) b = 4.
б) Подставим x = −3, y = 8: −15 + 8b = 17, 8b = 32, b = 4.
Ответ: а) a = 3; б) b = 4.