Глава VI. §15. п.45 Упражнения; Контрольные вопросы и задания; п.46 Линейные неравенства с двумя переменными и их системы — с. 225
1139. (Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1. Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2. Составьте систему уравнений и решите её.
3. Проверьте правильность полученного ответа.
1) Введём обозначения: пусть число 100 уменьшили на d; разность 100 − d при делении на 5 даёт неполное частное p и остаток 1, а при делении на 7 даёт неполное частное q и остаток 1.
2) Запишем условия: 100 − d = 5p + 1, 100 − d = 7q + 1, p = q + 2. Из первых двух равенств 5p = 7q. Подставим p = q + 2: 5q + 10 = 7q, q = 5, p = 7. Тогда 100 − d = 5·7 + 1 = 36, d = 64.
3) Проверка: 100 − 64 = 36; 36 = 5·7 + 1 и 36 = 7·5 + 1, остатки равны 1, частное 7 больше частного 5 на 2.
Ответ: число 100 надо уменьшить на 64.
2) Запишем условия: 100 − d = 5p + 1, 100 − d = 7q + 1, p = q + 2. Из первых двух равенств 5p = 7q. Подставим p = q + 2: 5q + 10 = 7q, q = 5, p = 7. Тогда 100 − d = 5·7 + 1 = 36, d = 64.
3) Проверка: 100 − 64 = 36; 36 = 5·7 + 1 и 36 = 7·5 + 1, остатки равны 1, частное 7 больше частного 5 на 2.
Ответ: число 100 надо уменьшить на 64.
1140. Разложите на множители: а) 0,064m³ + 1; б) 0,027x³ − y³; в) p⁶ + 8; г) 27 − m⁶.
а) 0,064m³ + 1 = (0,4m)³ + 1³ = (0,4m + 1)(0,16m² − 0,4m + 1).
б) 0,027x³ − y³ = (0,3x)³ − y³ = (0,3x − y)(0,09x² + 0,3xy + y²).
в) p⁶ + 8 = (p²)³ + 2³ = (p² + 2)(p⁴ − 2p² + 4).
г) 27 − m⁶ = 3³ − (m²)³ = (3 − m²)(9 + 3m² + m⁴).
б) 0,027x³ − y³ = (0,3x)³ − y³ = (0,3x − y)(0,09x² + 0,3xy + y²).
в) p⁶ + 8 = (p²)³ + 2³ = (p² + 2)(p⁴ − 2p² + 4).
г) 27 − m⁶ = 3³ − (m²)³ = (3 − m²)(9 + 3m² + m⁴).
1141. Докажите тождество (x³ − y³)² + 2x³y³ = (x² + y²)(x⁴ + y⁴ − x²y²).
Преобразуем левую часть: (x³ − y³)² + 2x³y³ = x⁶ − 2x³y³ + y⁶ + 2x³y³ = x⁶ + y⁶.
Преобразуем правую часть по формуле суммы кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) при a = x², b = y²: (x² + y²)(x⁴ − x²y² + y⁴) = (x²)³ + (y²)³ = x⁶ + y⁶.
Обе части равны x⁶ + y⁶, тождество доказано.
Преобразуем правую часть по формуле суммы кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) при a = x², b = y²: (x² + y²)(x⁴ − x²y² + y⁴) = (x²)³ + (y²)³ = x⁶ + y⁶.
Обе части равны x⁶ + y⁶, тождество доказано.
1142. В каких координатных четвертях расположен график уравнения: а) 2x + 5y = 12; б) 3x − 4y = 10?
а) Из уравнения y = (12 − 2x)/5 — это убывающая прямая, пересекающая оси в точках (0; 2,4) и (6; 0). При x < 0 получаем y > 2,4 (точки II четверти), при 0 < x < 6 имеем y > 0 (I четверть), при x > 6 имеем y < 0 (IV четверть). В III четверти точек нет: при x < 0, y < 0 левая часть 2x + 5y отрицательна и не может равняться 12. Ответ: в I, II и IV четвертях.
б) Из уравнения y = (3x − 10)/4 — это возрастающая прямая, пересекающая оси в точках (0; −2,5) и (10/3; 0). При x < 0 получаем y < 0 (III четверть), при 0 < x < 10/3 имеем y < 0 (IV четверть), при x > 10/3 имеем y > 0 (I четверть). Во II четверти точек нет: при x < 0, y > 0 левая часть 3x − 4y отрицательна и не равна 10. Ответ: в I, III и IV четвертях.
б) Из уравнения y = (3x − 10)/4 — это возрастающая прямая, пересекающая оси в точках (0; −2,5) и (10/3; 0). При x < 0 получаем y < 0 (III четверть), при 0 < x < 10/3 имеем y < 0 (IV четверть), при x > 10/3 имеем y > 0 (I четверть). Во II четверти точек нет: при x < 0, y > 0 левая часть 3x − 4y отрицательна и не равна 10. Ответ: в I, III и IV четвертях.
1143. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой y = −x² − 6x − 11, расположены в нижней полуплоскости.
Выделим полный квадрат: y = −(x² + 6x + 9) − 2 = −(x + 3)² − 2.
Так как (x + 3)² ≥ 0, то y ≤ −2 < 0 при любом x. Ордината каждой точки графика отрицательна, поэтому все точки лежат ниже оси x, то есть в нижней полуплоскости.
Так как (x + 3)² ≥ 0, то y ≤ −2 < 0 при любом x. Ордината каждой точки графика отрицательна, поэтому все точки лежат ниже оси x, то есть в нижней полуплоскости.
Контрольные вопросы и задания.
1. Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.
Способ подстановки: 1) из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую; 2) подставляют полученное выражение в другое уравнение системы; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему {x + 2y = 5, 3x − y = 1}. Из второго уравнения y = 3x − 1. Подставим в первое: x + 2(3x − 1) = 5, 7x = 7, x = 1. Тогда y = 3·1 − 1 = 2.
Ответ: (1; 2).
Пример. Решим систему {x + 2y = 5, 3x − y = 1}. Из второго уравнения y = 3x − 1. Подставим в первое: x + 2(3x − 1) = 5, 7x = 7, x = 1. Тогда y = 3·1 − 1 = 2.
Ответ: (1; 2).
Контрольные вопросы и задания.
2. Объясните на примере, как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.
Способ сложения: 1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) складывают почленно левые и правые части уравнений; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему {5x + 11y = 8, 10x − 7y = 74}. Умножим первое уравнение на −2: −10x − 22y = −16. Сложим со вторым: −29y = 58, y = −2. Из второго уравнения 10x + 14 = 74, 10x = 60, x = 6.
Ответ: (6; −2).
Пример. Решим систему {5x + 11y = 8, 10x − 7y = 74}. Умножим первое уравнение на −2: −10x − 22y = −16. Сложим со вторым: −29y = 58, y = −2. Из второго уравнения 10x + 14 = 74, 10x = 60, x = 6.
Ответ: (6; −2).