Глава VI. §15. п.45 Решение задач с помощью систем уравнений. Упражнения (продолжение) — с. 224
1130. На двух полках 55 книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?
Пусть на первой полке x книг, на второй y книг. Тогда x + y = 55.
После перестановки на первой x + y/2, на второй y/2, и x + y/2 = 4·(y/2) = 2y, откуда x = 1,5y.
Подставим: 1,5y + y = 55, 2,5y = 55, y = 22, x = 33.
Проверка: 33 + 11 = 44 = 4·11.
Ответ: на первой полке 33 книги, на второй 22 книги.
После перестановки на первой x + y/2, на второй y/2, и x + y/2 = 4·(y/2) = 2y, откуда x = 1,5y.
Подставим: 1,5y + y = 55, 2,5y = 55, y = 22, x = 33.
Проверка: 33 + 11 = 44 = 4·11.
Ответ: на первой полке 33 книги, на второй 22 книги.
1131. Старинная задача. На левой чаше весов, находящихся в равновесии, лежат 9 одинаковых слитков золота, а на правой — 11 одинаковых слитков серебра. Если поменять местами один слиток золота со слитком серебра, то левая чаша окажется на 13 г легче правой. Сколько весит один слиток золота и один слиток серебра?
Пусть слиток золота весит x г, слиток серебра y г. Равновесие: 9x = 11y.
После обмена на левой чаше 8 слитков золота и 1 серебра: 8x + y; на правой 10 слитков серебра и 1 золота: 10y + x. Правая тяжелее на 13 г: 10y + x − (8x + y) = 13, то есть 9y − 7x = 13.
Из первого x = 11y/9. Подставим: 9y − 77y/9 = 13, умножим на 9: 81y − 77y = 117, 4y = 117, y = 29,25, x = 11·29,25/9 = 35,75.
Проверка: 9·35,75 = 321,75 = 11·29,25.
Ответ: слиток золота весит 35,75 г, слиток серебра 29,25 г.
После обмена на левой чаше 8 слитков золота и 1 серебра: 8x + y; на правой 10 слитков серебра и 1 золота: 10y + x. Правая тяжелее на 13 г: 10y + x − (8x + y) = 13, то есть 9y − 7x = 13.
Из первого x = 11y/9. Подставим: 9y − 77y/9 = 13, умножим на 9: 81y − 77y = 117, 4y = 117, y = 29,25, x = 11·29,25/9 = 35,75.
Проверка: 9·35,75 = 321,75 = 11·29,25.
Ответ: слиток золота весит 35,75 г, слиток серебра 29,25 г.
1132. Масса 4,5 см³ железа и 8 см³ меди равна 101,5 г. Масса 3 см³ железа больше массы 2 см³ меди на 6,8 г. Найдите плотность железа и плотность меди.
Пусть плотность железа x г/см³, меди y г/см³.
4,5x + 8y = 101,5 и 3x − 2y = 6,8.
Умножим второе уравнение на 4: 12x − 8y = 27,2. Сложим с первым: 16,5x = 128,7, x = 7,8. Тогда 2y = 3·7,8 − 6,8 = 16,6, y = 8,3.
Ответ: плотность железа 7,8 г/см³, меди 8,3 г/см³.
4,5x + 8y = 101,5 и 3x − 2y = 6,8.
Умножим второе уравнение на 4: 12x − 8y = 27,2. Сложим с первым: 16,5x = 128,7, x = 7,8. Тогда 2y = 3·7,8 − 6,8 = 16,6, y = 8,3.
Ответ: плотность железа 7,8 г/см³, меди 8,3 г/см³.
1133. Под озимыми культурами было занято на 480 га больше, чем под яровыми. После того как убрали 80% озимых и 25% яровых культур, площадь, оставшаяся под озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яровыми. Какая площадь была отведена под яровые и какая под озимые культуры?
Пусть под озимые было отведено x га, под яровые y га. Тогда x − y = 480.
Осталось озимых 20% от x, то есть 0,2x, и яровых 75% от y, то есть 0,75y. По условию 0,75y − 0,2x = 300.
Подставим x = y + 480: 0,75y − 0,2y − 96 = 300, 0,55y = 396, y = 720, x = 1200.
Проверка: 0,75·720 = 540, 0,2·1200 = 240, 540 − 240 = 300.
Ответ: под яровые 720 га, под озимые 1200 га.
Осталось озимых 20% от x, то есть 0,2x, и яровых 75% от y, то есть 0,75y. По условию 0,75y − 0,2x = 300.
Подставим x = y + 480: 0,75y − 0,2y − 96 = 300, 0,55y = 396, y = 720, x = 1200.
Проверка: 0,75·720 = 540, 0,2·1200 = 240, 540 − 240 = 300.
Ответ: под яровые 720 га, под озимые 1200 га.
1134. Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая — на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить по плану каждая бригада за месяц?
Пусть первая бригада по плану должна была изготовить x деталей, вторая y деталей. Тогда x + y = 680.
Сверх плана первая сделала 0,2x, вторая 0,15y: 0,2x + 0,15y = 118, или 4x + 3y = 2360.
Умножим первое уравнение на 3: 3x + 3y = 2040. Вычтем из второго: x = 320. Тогда y = 360.
Ответ: первая бригада 320 деталей, вторая 360 деталей.
Сверх плана первая сделала 0,2x, вторая 0,15y: 0,2x + 0,15y = 118, или 4x + 3y = 2360.
Умножим первое уравнение на 3: 3x + 3y = 2040. Вычтем из второго: x = 320. Тогда y = 360.
Ответ: первая бригада 320 деталей, вторая 360 деталей.
1135. Имеется молоко 5% жирности и 1% жирности. Сколько молока каждого вида надо взять, чтобы получить 3 л молока, жирность которого составляет 3,2%?
Пусть надо взять x л молока 5% жирности и y л молока 1% жирности. Тогда x + y = 3.
Масса жира: 0,05x + 0,01y = 0,032·3 = 0,096, то есть 5x + y = 9,6.
Вычтем из второго уравнения первое: 4x = 6,6, x = 1,65. Тогда y = 3 − 1,65 = 1,35.
Ответ: 1,65 л молока 5% жирности и 1,35 л молока 1% жирности.
Масса жира: 0,05x + 0,01y = 0,032·3 = 0,096, то есть 5x + y = 9,6.
Вычтем из второго уравнения первое: 4x = 6,6, x = 1,65. Тогда y = 3 − 1,65 = 1,35.
Ответ: 1,65 л молока 5% жирности и 1,35 л молока 1% жирности.
1136. Имеющиеся 45 000 р. клиент банка разделил на две части. Одну из них он положил на вклад «Депозитный», доход по которому составлял 9% в год, но нельзя было снимать деньги в течение года. Другую часть он положил на вклад «До востребования», доход по которому составлял 1% в год, однако в любое время можно было взять деньги полностью или частично. В результате общий доход, полученный клиентом через год, составил 3410 р. Сколько денег положил клиент на вклад «Депозитный» и сколько на вклад «До востребования»?
Пусть на «Депозитный» положено x р., на «До востребования» y р. Тогда x + y = 45 000.
Доход: 0,09x + 0,01y = 3410, или 9x + y = 341 000.
Вычтем из второго уравнения первое: 8x = 296 000, x = 37 000. Тогда y = 8000.
Проверка: 0,09·37 000 = 3330, 0,01·8000 = 80, 3330 + 80 = 3410.
Ответ: на вклад «Депозитный» 37 000 р., на вклад «До востребования» 8000 р.
Доход: 0,09x + 0,01y = 3410, или 9x + y = 341 000.
Вычтем из второго уравнения первое: 8x = 296 000, x = 37 000. Тогда y = 8000.
Проверка: 0,09·37 000 = 3330, 0,01·8000 = 80, 3330 + 80 = 3410.
Ответ: на вклад «Депозитный» 37 000 р., на вклад «До востребования» 8000 р.
1137. Из 10%-го и 15%-го растворов соляной кислоты требуется составить 80 г раствора, концентрация которого равна 12%. Сколько граммов каждого раствора надо взять? [фотография: колбы и микроскоп]
Пусть надо взять x г 10%-го раствора и y г 15%-го раствора. Тогда x + y = 80.
Масса кислоты: 0,1x + 0,15y = 0,12·80 = 9,6, или 10x + 15y = 960.
Из первого x = 80 − y: 800 − 10y + 15y = 960, 5y = 160, y = 32, x = 48.
Ответ: 48 г 10%-го раствора и 32 г 15%-го раствора.
Масса кислоты: 0,1x + 0,15y = 0,12·80 = 9,6, или 10x + 15y = 960.
Из первого x = 80 − y: 800 − 10y + 15y = 960, 5y = 160, y = 32, x = 48.
Ответ: 48 г 10%-го раствора и 32 г 15%-го раствора.
1138. Смешав кислоту 70%-й и 48%-й концентрации, получили 660 г кислоты 60%-й концентрации. Сколько было взято кислоты каждого вида?
Пусть взято x г 70%-й кислоты и y г 48%-й кислоты. Тогда x + y = 660.
Масса чистой кислоты: 0,7x + 0,48y = 0,6·660 = 396, или 70x + 48y = 39 600.
Умножим первое уравнение на 48: 48x + 48y = 31 680. Вычтем из второго: 22x = 7920, x = 360. Тогда y = 300.
Ответ: 360 г 70%-й кислоты и 300 г 48%-й кислоты.
Масса чистой кислоты: 0,7x + 0,48y = 0,6·660 = 396, или 70x + 48y = 39 600.
Умножим первое уравнение на 48: 48x + 48y = 31 680. Вычтем из второго: 22x = 7920, x = 360. Тогда y = 300.
Ответ: 360 г 70%-й кислоты и 300 г 48%-й кислоты.