Глава VI. п.46 Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Упражнения — с. 227
1144. Постройте прямую y = (1/3)x. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) y > (1/3)x; б) y < (1/3)x.
Прямая y = x/3 проходит через начало координат и точку (3; 1). Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Строим её пунктиром, так как неравенства строгие и точки самой прямой в множество не входят.
а) Неравенство y > x/3 выполняется в точках выше прямой. Проверка: точка (0; 1) даёт 1 > 0 — верно.
б) Неравенство y < x/3 выполняется в точках ниже прямой. Проверка: точка (0; −1) даёт −1 < 0 — верно.
Заштрихованные (закрашенные красным) области показаны на рисунке.
а) Неравенство y > x/3 выполняется в точках выше прямой. Проверка: точка (0; 1) даёт 1 > 0 — верно.
б) Неравенство y < x/3 выполняется в точках ниже прямой. Проверка: точка (0; −1) даёт −1 < 0 — верно.
Заштрихованные (закрашенные красным) области показаны на рисунке.
1145. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт неравенство: а) y ≥ x; б) y ≤ −x; в) x ≥ 1; г) y ≤ 5.
В каждом случае сначала строим граничную прямую (она проведена сплошной линией, так как неравенства нестрогие и точки прямой входят в множество), затем выбираем нужную полуплоскость по пробной точке.
а) Прямая y = x (биссектриса I и III четвертей). Неравенство y ≥ x задаёт точки на прямой и выше неё. Проверка: (0; 1): 1 ≥ 0 — верно.
б) Прямая y = −x (биссектриса II и IV четвертей). Неравенство y ≤ −x задаёт точки на прямой и ниже неё. Проверка: (0; −1): −1 ≤ 0 — верно.
в) Вертикальная прямая x = 1. Неравенство x ≥ 1 задаёт прямую и полуплоскость правее неё (абсцисса не меньше 1).
г) Горизонтальная прямая y = 5. Неравенство y ≤ 5 задаёт прямую и полуплоскость ниже неё (ордината не больше 5).
Искомые множества закрашены на рисунке.
а) Прямая y = x (биссектриса I и III четвертей). Неравенство y ≥ x задаёт точки на прямой и выше неё. Проверка: (0; 1): 1 ≥ 0 — верно.
б) Прямая y = −x (биссектриса II и IV четвертей). Неравенство y ≤ −x задаёт точки на прямой и ниже неё. Проверка: (0; −1): −1 ≤ 0 — верно.
в) Вертикальная прямая x = 1. Неравенство x ≥ 1 задаёт прямую и полуплоскость правее неё (абсцисса не меньше 1).
г) Горизонтальная прямая y = 5. Неравенство y ≤ 5 задаёт прямую и полуплоскость ниже неё (ордината не больше 5).
Искомые множества закрашены на рисунке.
1146. Изобразите множество точек, которое задаёт на координатной плоскости неравенство: а) y ≥ x + 1; б) y < −0,2x + 3.
а) Строим прямую y = x + 1 по точкам (0; 1) и (−1; 0). Неравенство нестрогое, поэтому прямая входит в множество (сплошная линия). Условие y ≥ x + 1 выполняется выше прямой; проверка: (0; 3): 3 ≥ 1 — верно, а (0; 0): 0 ≥ 1 — неверно. Закрашена полуплоскость выше прямой вместе с самой прямой.
б) Строим прямую y = −0,2x + 3 по точкам (0; 3) и (5; 2). Неравенство строгое, поэтому прямая в множество не входит (пунктир). Условие y < −0,2x + 3 выполняется ниже прямой; проверка: (0; 0): 0 < 3 — верно. Закрашена полуплоскость ниже прямой без самой прямой.
б) Строим прямую y = −0,2x + 3 по точкам (0; 3) и (5; 2). Неравенство строгое, поэтому прямая в множество не входит (пунктир). Условие y < −0,2x + 3 выполняется ниже прямой; проверка: (0; 0): 0 < 3 — верно. Закрашена полуплоскость ниже прямой без самой прямой.
1147. Задайте неравенством полуплоскость, расположенную выше прямой: а) y = x − 1,3; б) x + y = 5.
Точки выше прямой имеют ординату, большую ординаты точки прямой с той же абсциссой.
а) Выше прямой y = x − 1,3 лежат точки, для которых y > x − 1,3.
б) Запишем уравнение прямой в виде y = 5 − x. Выше неё лежат точки, для которых y > 5 − x, то есть x + y > 5.
Ответ: а) y > x − 1,3; б) y > 5 − x (равносильно x + y > 5).
а) Выше прямой y = x − 1,3 лежат точки, для которых y > x − 1,3.
б) Запишем уравнение прямой в виде y = 5 − x. Выше неё лежат точки, для которых y > 5 − x, то есть x + y > 5.
Ответ: а) y > x − 1,3; б) y > 5 − x (равносильно x + y > 5).
1148. Является ли пара чисел x = −3, y = 4 решением системы неравенств: а) {3x − y < 0, x + y > 1}; б) {x + y < 5, x − 2y > −15}?
Подставим x = −3, y = 4 в каждое неравенство.
а) 3x − y = −9 − 4 = −13 < 0 — верно; x + y = −3 + 4 = 1 > 1 — неверно. Пара не является решением системы.
б) x + y = 1 < 5 — верно; x − 2y = −3 − 8 = −11 > −15 — верно. Пара является решением системы.
Ответ: а) нет; б) да.
а) 3x − y = −9 − 4 = −13 < 0 — верно; x + y = −3 + 4 = 1 > 1 — неверно. Пара не является решением системы.
б) x + y = 1 < 5 — верно; x − 2y = −3 − 8 = −11 > −15 — верно. Пара является решением системы.
Ответ: а) нет; б) да.