Глава VI. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 14 (продолжение) — с. 230
1171. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика уравнения (x + 2)(y + 3) = 0 с осью x; с осью y.
С осью x: точки оси имеют y = 0. Подставим: (x + 2)·3 = 0, откуда x = −2. Точка пересечения (−2; 0).
С осью y: точки оси имеют x = 0. Подставим: 2(y + 3) = 0, откуда y = −3. Точка пересечения (0; −3).
Ответ: с осью x — (−2; 0), с осью y — (0; −3).
С осью y: точки оси имеют x = 0. Подставим: 2(y + 3) = 0, откуда y = −3. Точка пересечения (0; −3).
Ответ: с осью x — (−2; 0), с осью y — (0; −3).
1172. Постройте график уравнения: а) y = |x|; б) y = −|x|.
а) По определению модуля |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Поэтому при x ≥ 0 график совпадает с прямой y = x, а при x < 0 — с прямой y = −x. Составим таблицу: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; y = 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3. График — «галочка» (угол) с вершиной в начале координат, ветви которого лежат в верхней полуплоскости (биссектрисы I и II четвертей).
б) y = −|x|: ординаты противоположны ординатам графика а), поэтому график симметричен ему относительно оси x: при x ≥ 0 это прямая y = −x, при x < 0 — прямая y = x. Ветви угла лежат в нижней полуплоскости (биссектрисы III и IV четвертей).
Графики построены на рисунке.
б) y = −|x|: ординаты противоположны ординатам графика а), поэтому график симметричен ему относительно оси x: при x ≥ 0 это прямая y = −x, при x < 0 — прямая y = x. Ветви угла лежат в нижней полуплоскости (биссектрисы III и IV четвертей).
Графики построены на рисунке.
1173. Является ли решением системы уравнений {a² + b² = 16, a² + 8a + b² − 8b + 16 = 0} пара чисел: а) a = 0, b = 4; б) a = 0, b = −4; в) a = −4, b = 0?
Подставим каждую пару в оба уравнения.
а) a = 0, b = 4: 0 + 16 = 16 — верно; 0 + 0 + 16 − 32 + 16 = 0 — верно. Является.
б) a = 0, b = −4: 0 + 16 = 16 — верно; 0 + 0 + 16 + 32 + 16 = 64 ≠ 0 — неверно. Не является.
в) a = −4, b = 0: 16 + 0 = 16 — верно; 16 − 32 + 0 − 0 + 16 = 0 — верно. Является.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
а) a = 0, b = 4: 0 + 16 = 16 — верно; 0 + 0 + 16 − 32 + 16 = 0 — верно. Является.
б) a = 0, b = −4: 0 + 16 = 16 — верно; 0 + 0 + 16 + 32 + 16 = 64 ≠ 0 — неверно. Не является.
в) a = −4, b = 0: 16 + 0 = 16 — верно; 16 − 32 + 0 − 0 + 16 = 0 — верно. Является.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
1174. Докажите, что прямые x + y = 5, 2x − y = 16 и x + 2y = 3 пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?
Найдём точку пересечения первых двух прямых: сложим уравнения x + y = 5 и 2x − y = 16: 3x = 21, x = 7, y = 5 − 7 = −2. Точка (7; −2).
Проверим, лежит ли она на третьей прямой: 7 + 2·(−2) = 3 — верно.
Значит, все три прямые проходят через точку (7; −2), то есть пересекаются в одной точке.
Ответ: (7; −2).
Проверим, лежит ли она на третьей прямой: 7 + 2·(−2) = 3 — верно.
Значит, все три прямые проходят через точку (7; −2), то есть пересекаются в одной точке.
Ответ: (7; −2).
1175. При каком значении a прямые 5x − 2y = 3 и x + y = a пересекаются в точке, принадлежащей оси y?
Точка на оси y имеет абсциссу 0. Из первого уравнения при x = 0: −2y = 3, y = −1,5. Точка (0; −1,5).
Эта точка должна лежать и на второй прямой: 0 + (−1,5) = a, a = −1,5.
Ответ: a = −1,5.
Эта точка должна лежать и на второй прямой: 0 + (−1,5) = a, a = −1,5.
Ответ: a = −1,5.
1176. При каком значении b прямые bx + 3y = 10 и x − 2y = 4 пересекаются в точке, принадлежащей оси x?
Точка на оси x имеет ординату 0. Из второго уравнения при y = 0: x = 4. Точка (4; 0).
Эта точка должна лежать и на первой прямой: 4b + 0 = 10, b = 2,5.
Ответ: b = 2,5.
Эта точка должна лежать и на первой прямой: 4b + 0 = 10, b = 2,5.
Ответ: b = 2,5.
1177. При каком значении k прямая y = kx − 4 проходит через точку пересечения прямых y = 2x − 5 и y = −x + 1?
Найдём точку пересечения: 2x − 5 = −x + 1, 3x = 6, x = 2, y = 2·2 − 5 = −1. Точка (2; −1).
Подставим её в y = kx − 4: −1 = 2k − 4, 2k = 3, k = 1,5.
Ответ: k = 1,5.
Подставим её в y = kx − 4: −1 = 2k − 4, 2k = 3, k = 1,5.
Ответ: k = 1,5.
1178. Решите графически систему уравнений: а) {y + 3x = 0, x − y = 4, x + y = −2}; б) {x + y = 1, y − x = 3, 2x + y = 0}.
Чтобы решить систему графически, строим в одной системе координат графики всех уравнений и находим общую точку всех прямых.
а) Запишем уравнения в виде y = −3x, y = x − 4, y = −x − 2. Прямая y = −3x проходит через (0; 0) и (1; −3); прямая y = x − 4 — через (0; −4) и (4; 0); прямая y = −x − 2 — через (0; −2) и (−2; 0). Все три прямые пересекаются в точке (1; −3). Проверка: −3·1 = −3; 1 − 4 = −3; −1 − 2 = −3.
б) y = 1 − x (через (0; 1) и (1; 0)), y = x + 3 (через (0; 3) и (−3; 0)), y = −2x (через (0; 0) и (−1; 2)). Все прямые проходят через точку (−1; 2). Проверка: −1 + 2 = 1; 2 − (−1) = 3; 2·(−1) + 2 = 0.
Ответ: а) (1; −3); б) (−1; 2).
а) Запишем уравнения в виде y = −3x, y = x − 4, y = −x − 2. Прямая y = −3x проходит через (0; 0) и (1; −3); прямая y = x − 4 — через (0; −4) и (4; 0); прямая y = −x − 2 — через (0; −2) и (−2; 0). Все три прямые пересекаются в точке (1; −3). Проверка: −3·1 = −3; 1 − 4 = −3; −1 − 2 = −3.
б) y = 1 − x (через (0; 1) и (1; 0)), y = x + 3 (через (0; 3) и (−3; 0)), y = −2x (через (0; 0) и (−1; 2)). Все прямые проходят через точку (−1; 2). Проверка: −1 + 2 = 1; 2 − (−1) = 3; 2·(−1) + 2 = 0.
Ответ: а) (1; −3); б) (−1; 2).
1179. Имеет ли система решения и если имеет, то сколько: а) {2x + 5y = 17, 4x − 10y = 45}; б) {x/5 − y/15 = 1, 6x − 2y = 35}; в) {0,2x − 5y = 11, −x + 25y = −55}; г) {3x + (1/3)y = 10, 9x − 2y = 1}?
Сравним коэффициенты: если коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены нет — решений нет; если пропорциональны все три числа — бесконечно много решений; если коэффициенты при x и y не пропорциональны — одно решение.
а) Отношения коэффициентов 2 : 4 = 1 : 2 и 5 : (−10) = −1 : 2 различны — прямые пересекаются. Одно решение. (Проверка: умножим первое на 2: 4x + 10y = 34, сложим со вторым: 8x = 79, x = 9,875; y = −0,55.)
б) Умножим первое уравнение на 15: 3x − y = 15, затем на 2: 6x − 2y = 30. Второе уравнение: 6x − 2y = 35. Левые части одинаковы, правые различны — решений нет.
в) Умножим первое уравнение на 5: x − 25y = 55. Второе уравнение −x + 25y = −55 получается умножением на −1. Уравнения равносильны — бесконечно много решений.
г) Умножим первое уравнение на 3: 9x + y = 30. Второе: 9x − 2y = 1. Коэффициенты при y (1 и −2) при равных коэффициентах при x различны, значит, одно решение. (Вычтем: 3y = 29, y = 29/3, x = 61/27.)
Ответ: а) одно решение; б) решений нет; в) бесконечно много решений; г) одно решение.
а) Отношения коэффициентов 2 : 4 = 1 : 2 и 5 : (−10) = −1 : 2 различны — прямые пересекаются. Одно решение. (Проверка: умножим первое на 2: 4x + 10y = 34, сложим со вторым: 8x = 79, x = 9,875; y = −0,55.)
б) Умножим первое уравнение на 15: 3x − y = 15, затем на 2: 6x − 2y = 30. Второе уравнение: 6x − 2y = 35. Левые части одинаковы, правые различны — решений нет.
в) Умножим первое уравнение на 5: x − 25y = 55. Второе уравнение −x + 25y = −55 получается умножением на −1. Уравнения равносильны — бесконечно много решений.
г) Умножим первое уравнение на 3: 9x + y = 30. Второе: 9x − 2y = 1. Коэффициенты при y (1 и −2) при равных коэффициентах при x различны, значит, одно решение. (Вычтем: 3y = 29, y = 29/3, x = 61/27.)
Ответ: а) одно решение; б) решений нет; в) бесконечно много решений; г) одно решение.
1180. (Для работы в парах.) Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением 10x + 5y = 1 составило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.
1. Выполните совместно задание а) и решите составленную систему.
2. Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
Уравнение 10x + 5y = 1 равносильно 2x + y = 0,2.
а) Одно решение: коэффициенты при x и y не должны быть пропорциональны коэффициентам 10 и 5. Возьмём x − y = 1. Система {10x + 5y = 1, x − y = 1}. Умножим второе уравнение на 5: 5x − 5y = 5 и сложим с первым: 15x = 6, x = 0,4. Тогда y = x − 1 = −0,6. Проверка: 10·0,4 + 5·(−0,6) = 4 − 3 = 1. Решение (0,4; −0,6).
б) Бесконечно много решений: второе уравнение должно быть равносильно первому, например 2x + y = 0,2 (первое, делённое на 5) или 20x + 10y = 2.
в) Решений нет: коэффициенты пропорциональны, а свободный член нет, например 2x + y = 5 (или 10x + 5y = 2). Тогда 5·(2x + y) = 10x + 5y не может равняться одновременно 1 и 25.
3) Правильность проверяют подстановкой: в а) найденная пара должна удовлетворять обоим уравнениям, в б) второе уравнение получается из первого умножением на число, в в) левые части пропорциональны, а правые — нет.
Ответ (один из вариантов): а) x − y = 1; б) 2x + y = 0,2; в) 2x + y = 5.
а) Одно решение: коэффициенты при x и y не должны быть пропорциональны коэффициентам 10 и 5. Возьмём x − y = 1. Система {10x + 5y = 1, x − y = 1}. Умножим второе уравнение на 5: 5x − 5y = 5 и сложим с первым: 15x = 6, x = 0,4. Тогда y = x − 1 = −0,6. Проверка: 10·0,4 + 5·(−0,6) = 4 − 3 = 1. Решение (0,4; −0,6).
б) Бесконечно много решений: второе уравнение должно быть равносильно первому, например 2x + y = 0,2 (первое, делённое на 5) или 20x + 10y = 2.
в) Решений нет: коэффициенты пропорциональны, а свободный член нет, например 2x + y = 5 (или 10x + 5y = 2). Тогда 5·(2x + y) = 10x + 5y не может равняться одновременно 1 и 25.
3) Правильность проверяют подстановкой: в а) найденная пара должна удовлетворять обоим уравнениям, в б) второе уравнение получается из первого умножением на число, в в) левые части пропорциональны, а правые — нет.
Ответ (один из вариантов): а) x − y = 1; б) 2x + y = 0,2; в) 2x + y = 5.