Глава VI. Дополнительные упражнения к главе VI. К параграфу 15 (продолжение) — с. 232
1186. Решите систему уравнений: а) {x/5 = 1 − y/15, 2x − 5y = 0}; б) {3m + 5n = 1, m/4 + 3n/5 = 1}; в) {4x − 3y = 1, (2x + 1)/6 = (9 − 5y)/8}; г) {3q = 4p − 7, (1 − 3q)/4 = (4 − 2p)/3}.
а) Умножим первое уравнение на 15: 3x = 15 − y, то есть 3x + y = 15. Умножим его на 5: 15x + 5y = 75 и сложим со вторым 2x − 5y = 0: 17x = 75, x = 75/17 = 4 7/17. Тогда y = 2x/5 = 30/17 = 1 13/17. Ответ: x = 4 7/17, y = 1 13/17.
б) Умножим второе уравнение на 20: 5m + 12n = 20. Умножим первое на 5, а полученное на −3: 15m + 25n = 5 и −15m − 36n = −60. Сложим: −11n = −55, n = 5. Тогда 3m = 1 − 25 = −24, m = −8. Ответ: m = −8, n = 5.
в) Второе уравнение: 8(2x + 1) = 6(9 − 5y), то есть 16x + 8 = 54 − 30y, откуда 8x + 15y = 23. Умножим первое уравнение на −2: −8x + 6y = −2 и сложим: 21y = 21, y = 1. Тогда 4x = 1 + 3 = 4, x = 1. Ответ: x = 1, y = 1.
г) Первое: 4p − 3q = 7. Второе: 3(1 − 3q) = 4(4 − 2p), то есть 3 − 9q = 16 − 8p, откуда 8p − 9q = 13. Умножим первое на −2: −8p + 6q = −14 и сложим со вторым: −3q = −1, q = 1/3. Тогда 4p = 7 + 1 = 8, p = 2. Ответ: p = 2, q = 1/3.
б) Умножим второе уравнение на 20: 5m + 12n = 20. Умножим первое на 5, а полученное на −3: 15m + 25n = 5 и −15m − 36n = −60. Сложим: −11n = −55, n = 5. Тогда 3m = 1 − 25 = −24, m = −8. Ответ: m = −8, n = 5.
в) Второе уравнение: 8(2x + 1) = 6(9 − 5y), то есть 16x + 8 = 54 − 30y, откуда 8x + 15y = 23. Умножим первое уравнение на −2: −8x + 6y = −2 и сложим: 21y = 21, y = 1. Тогда 4x = 1 + 3 = 4, x = 1. Ответ: x = 1, y = 1.
г) Первое: 4p − 3q = 7. Второе: 3(1 − 3q) = 4(4 − 2p), то есть 3 − 9q = 16 − 8p, откуда 8p − 9q = 13. Умножим первое на −2: −8p + 6q = −14 и сложим со вторым: −3q = −1, q = 1/3. Тогда 4p = 7 + 1 = 8, p = 2. Ответ: p = 2, q = 1/3.
1187. Найдите решение системы уравнений: а) {(x − 1)² − (x + 2)² = 9y, (y − 3)² − (y + 2)² = 5x}; б) {(7 + u)² − (5 + u)² = 6v, (2 − v)² − (6 − v)² = 4u}.
а) Первое: (x − 1)² − (x + 2)² = (x − 1 − x − 2)(x − 1 + x + 2) = −3(2x + 1) = −6x − 3. Уравнение: −6x − 3 = 9y, то есть 2x + 3y = −1. Второе: (y − 3)² − (y + 2)² = (−5)(2y − 1) = −10y + 5. Уравнение: −10y + 5 = 5x, то есть x + 2y = 1. Умножим второе на −2: −2x − 4y = −2 и сложим с первым: −y = −3, y = 3. Тогда x = 1 − 6 = −5. Ответ: (−5; 3).
б) Первое: (7 + u)² − (5 + u)² = (2)(12 + 2u) = 24 + 4u. Уравнение: 24 + 4u = 6v, то есть 2u − 3v = −12. Второе: (2 − v)² − (6 − v)² = (−4)(8 − 2v) = −32 + 8v. Уравнение: −32 + 8v = 4u, то есть u = 2v − 8. Подставим в первое: 4v − 16 − 3v = −12, v = 4, u = 0. Ответ: u = 0, v = 4.
б) Первое: (7 + u)² − (5 + u)² = (2)(12 + 2u) = 24 + 4u. Уравнение: 24 + 4u = 6v, то есть 2u − 3v = −12. Второе: (2 − v)² − (6 − v)² = (−4)(8 − 2v) = −32 + 8v. Уравнение: −32 + 8v = 4u, то есть u = 2v − 8. Подставим в первое: 4v − 16 − 3v = −12, v = 4, u = 0. Ответ: u = 0, v = 4.
1188. Решите систему уравнений: а) {8x + 5y = 20, 1,6x + 2y = 0}; б) {x/7 − y/13 = 1, 13x − 7y = 5}; в) {−1,8x + 2,4y = 1, 3x − 4y = 5}; г) {(2/3)x − (1/8)y = 1/2, −16x + 3y = 12}.
а) Умножим второе уравнение на −5: −8x − 10y = 0. Сложим с первым: −5y = 20, y = −4. Тогда 8x = 20 + 20 = 40, x = 5. Ответ: (5; −4).
б) Умножим первое уравнение на 91: 13x − 7y = 91. Второе: 13x − 7y = 5. Левые части равны, правые различны — решений нет.
в) Умножим первое уравнение на 10: −18x + 24y = 10, то есть −9x + 12y = 5. Умножим второе на 3: 9x − 12y = 15. Сложим: 0 = 20 — неверно. Решений нет.
г) Умножим первое уравнение на 24: 16x − 3y = 12. Сложим со вторым −16x + 3y = 12: 0 = 24 — неверно. Решений нет.
Ответ: а) (5; −4); б), в), г) решений нет.
б) Умножим первое уравнение на 91: 13x − 7y = 91. Второе: 13x − 7y = 5. Левые части равны, правые различны — решений нет.
в) Умножим первое уравнение на 10: −18x + 24y = 10, то есть −9x + 12y = 5. Умножим второе на 3: 9x − 12y = 15. Сложим: 0 = 20 — неверно. Решений нет.
г) Умножим первое уравнение на 24: 16x − 3y = 12. Сложим со вторым −16x + 3y = 12: 0 = 24 — неверно. Решений нет.
Ответ: а) (5; −4); б), в), г) решений нет.
1189. Имеет ли решения система уравнений: а) {5x − 4y = 1, 3x + y = 13, 7x − 5y = 1}; б) {11x + 3y = 1, 2x + y = 3, 5x + 2y = 4}?
Решим систему из первых двух уравнений и проверим третье.
а) Умножим второе уравнение на 4: 12x + 4y = 52 и сложим с первым: 17x = 53, x = 53/17, y = 13 − 159/17 = 62/17. Подставим в третье: 7·53/17 − 5·62/17 = (371 − 310)/17 = 61/17 ≠ 1. Третье уравнение не выполняется, поэтому система решений не имеет.
б) Из второго y = 3 − 2x. Подставим в первое: 11x + 9 − 6x = 1, 5x = −8, x = −1,6, y = 6,2. Подставим в третье: 5·(−1,6) + 2·6,2 = −8 + 12,4 = 4,4 ≠ 4. Решений нет.
Ответ: а) нет; б) нет.
а) Умножим второе уравнение на 4: 12x + 4y = 52 и сложим с первым: 17x = 53, x = 53/17, y = 13 − 159/17 = 62/17. Подставим в третье: 7·53/17 − 5·62/17 = (371 − 310)/17 = 61/17 ≠ 1. Третье уравнение не выполняется, поэтому система решений не имеет.
б) Из второго y = 3 − 2x. Подставим в первое: 11x + 9 − 6x = 1, 5x = −8, x = −1,6, y = 6,2. Подставим в третье: 5·(−1,6) + 2·6,2 = −8 + 12,4 = 4,4 ≠ 4. Решений нет.
Ответ: а) нет; б) нет.
1190. Проходят ли прямые 2x + 3y = 20, 3x − 5y = 11 и x + y = 9 через одну и ту же точку?
Из третьего уравнения x = 9 − y. Подставим в первое: 18 − 2y + 3y = 20, y = 2, x = 7. Проверим второе: 3·7 − 5·2 = 21 − 10 = 11 — верно.
Все три прямые проходят через точку (7; 2).
Ответ: да, через точку (7; 2).
Все три прямые проходят через точку (7; 2).
Ответ: да, через точку (7; 2).
1191. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки: а) A(1; 2) и B(−2; 3); б) M(−5; 0) и K(2; −1).
Ищем функцию в виде y = kx + b.
а) 2 = k + b и 3 = −2k + b. Вычтем из первого уравнения второе: −1 = 3k, k = −1/3. Тогда b = 2 + 1/3 = 7/3. Проверка по точке B: −2·(−1/3) + 7/3 = 3. Ответ: y = −x/3 + 7/3.
б) 0 = −5k + b и −1 = 2k + b. Вычтем из второго первое: −1 = 7k, k = −1/7. Тогда b = 5k = −5/7. Проверка по точке K: 2·(−1/7) − 5/7 = −1. Ответ: y = −x/7 − 5/7.
а) 2 = k + b и 3 = −2k + b. Вычтем из первого уравнения второе: −1 = 3k, k = −1/3. Тогда b = 2 + 1/3 = 7/3. Проверка по точке B: −2·(−1/3) + 7/3 = 3. Ответ: y = −x/3 + 7/3.
б) 0 = −5k + b и −1 = 2k + b. Вычтем из второго первое: −1 = 7k, k = −1/7. Тогда b = 5k = −5/7. Проверка по точке K: 2·(−1/7) − 5/7 = −1. Ответ: y = −x/7 − 5/7.
1192. (Для работы в парах.) Напишите уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через точки: а) M(−1; 1) и P(4; 4); б) A(−3; 3) и B(3; −3).
1. Обсудите друг с другом ход решения задачи.
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли составлены уравнения, построив соответствующие графики.
1) Подставляем координаты каждой точки в y = kx + b, получаем систему из двух уравнений с неизвестными k и b и решаем её способом сложения.
2) а) 1 = −k + b и 4 = 4k + b. Вычтем из второго первое: 3 = 5k, k = 0,6. Тогда b = 1 + k = 1,6. Ответ: y = 0,6x + 1,6.
б) 3 = −3k + b и −3 = 3k + b. Сложим: 0 = 2b, b = 0. Тогда 3k = −3, k = −1. Ответ: y = −x.
3) Проверка графиками: прямая y = 0,6x + 1,6 проходит через точки (−1; 1) и (4; 4); прямая y = −x проходит через точки (−3; 3) и (3; −3), то есть через начало координат.
2) а) 1 = −k + b и 4 = 4k + b. Вычтем из второго первое: 3 = 5k, k = 0,6. Тогда b = 1 + k = 1,6. Ответ: y = 0,6x + 1,6.
б) 3 = −3k + b и −3 = 3k + b. Сложим: 0 = 2b, b = 0. Тогда 3k = −3, k = −1. Ответ: y = −x.
3) Проверка графиками: прямая y = 0,6x + 1,6 проходит через точки (−1; 1) и (4; 4); прямая y = −x проходит через точки (−3; 3) и (3; −3), то есть через начало координат.
1193. Автомобиль проделал путь за 8 ч. Сначала он ехал со скоростью 40 км/ч, а затем со скоростью 60 км/ч. Весь этот путь он мог бы проехать за то же время, если бы ехал со скоростью 45 км/ч. Сколько часов ехал автомобиль со скоростью 40 км/ч и сколько со скоростью 60 км/ч?
Пусть x ч автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, y ч — со скоростью 60 км/ч. Тогда x + y = 8.
Весь путь равен 40x + 60y, а при скорости 45 км/ч за 8 ч получилось бы 45·8 = 360 км. Значит, 40x + 60y = 360, то есть 2x + 3y = 18.
Из первого x = 8 − y: 16 − 2y + 3y = 18, y = 2, x = 6.
Проверка: 40·6 + 60·2 = 240 + 120 = 360.
Ответ: 6 ч со скоростью 40 км/ч и 2 ч со скоростью 60 км/ч.
Весь путь равен 40x + 60y, а при скорости 45 км/ч за 8 ч получилось бы 45·8 = 360 км. Значит, 40x + 60y = 360, то есть 2x + 3y = 18.
Из первого x = 8 − y: 16 − 2y + 3y = 18, y = 2, x = 6.
Проверка: 40·6 + 60·2 = 240 + 120 = 360.
Ответ: 6 ч со скоростью 40 км/ч и 2 ч со скоростью 60 км/ч.