Глава VI. §15. п.45 Решение задач с помощью систем уравнений — с. 221
1111. Найдите решение системы уравнений: а) {(1/3)x − (1/12)y = 4, 6x + 5y = 150}; б) {(1/3)v − (1/8)u = 3, 7u + 9v = −2}; в) {x/4 + y/6 = 1, 2x + 3y = −12}; г) {4a − 5b − 10 = 0, a/5 − b/3 + 1/3 = 0}.
а) Умножим первое уравнение на 12: 4x − y = 48. Умножим его на 5: 20x − 5y = 240 и сложим со вторым: 26x = 390, x = 15. Тогда y = 4x − 48 = 12. Ответ: x = 15, y = 12.
б) Умножим первое уравнение на 24: 8v − 3u = 72. Умножим его на 7, а второе на 3: −21u + 56v = 504 и 21u + 27v = −6. Сложим: 83v = 498, v = 6. Тогда 7u = −2 − 54 = −56, u = −8. Ответ: u = −8, v = 6.
в) Умножим первое уравнение на 12: 3x + 2y = 12. Умножим его на 3, а второе на −2: 9x + 6y = 36 и −4x − 6y = 24. Сложим: 5x = 60, x = 12. Тогда 2y = 12 − 36 = −24, y = −12. Ответ: x = 12, y = −12.
г) Умножим второе уравнение на 15: 3a − 5b + 5 = 0, то есть 3a − 5b = −5. Первое: 4a − 5b = 10. Вычтем из первого второе: a = 15. Тогда 5b = 4a − 10 = 50, b = 10. Ответ: a = 15, b = 10.
б) Умножим первое уравнение на 24: 8v − 3u = 72. Умножим его на 7, а второе на 3: −21u + 56v = 504 и 21u + 27v = −6. Сложим: 83v = 498, v = 6. Тогда 7u = −2 − 54 = −56, u = −8. Ответ: u = −8, v = 6.
в) Умножим первое уравнение на 12: 3x + 2y = 12. Умножим его на 3, а второе на −2: 9x + 6y = 36 и −4x − 6y = 24. Сложим: 5x = 60, x = 12. Тогда 2y = 12 − 36 = −24, y = −12. Ответ: x = 12, y = −12.
г) Умножим второе уравнение на 15: 3a − 5b + 5 = 0, то есть 3a − 5b = −5. Первое: 4a − 5b = 10. Вычтем из первого второе: a = 15. Тогда 5b = 4a − 10 = 50, b = 10. Ответ: a = 15, b = 10.
1112. Имеет ли решения система уравнений и сколько: а) {2x − y = 1, −6x + 3y = 2}; б) {−5x + 2y = 7, 15x − 6y = −21}?
а) Умножим первое уравнение на 3: 6x − 3y = 3. Сложим со вторым: 0 = 5 — неверно. Система решений не имеет.
б) Умножим первое уравнение на 3: −15x + 6y = 21. Сложим со вторым: 0 = 0. Второе уравнение получается из первого умножением на −3, то есть уравнения равносильны. Система имеет бесконечно много решений (любая пара, удовлетворяющая уравнению −5x + 2y = 7).
б) Умножим первое уравнение на 3: −15x + 6y = 21. Сложим со вторым: 0 = 0. Второе уравнение получается из первого умножением на −3, то есть уравнения равносильны. Система имеет бесконечно много решений (любая пара, удовлетворяющая уравнению −5x + 2y = 7).
1113. Разложите на множители: а) 15a² − 15b²; б) 29a² + 29b² + 58ab; в) 10a³ + 10b³; г) 18a³ − 18b³; д) 47a⁶ − 47b⁶; е) 51a⁶ + 51b⁶.
а) 15(a² − b²) = 15(a − b)(a + b).
б) 29(a² + 2ab + b²) = 29(a + b)².
в) 10(a³ + b³) = 10(a + b)(a² − ab + b²).
г) 18(a³ − b³) = 18(a − b)(a² + ab + b²).
д) 47(a⁶ − b⁶) = 47(a³ − b³)(a³ + b³) = 47(a − b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² − ab + b²).
е) 51(a⁶ + b⁶) = 51((a²)³ + (b²)³) = 51(a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴).
б) 29(a² + 2ab + b²) = 29(a + b)².
в) 10(a³ + b³) = 10(a + b)(a² − ab + b²).
г) 18(a³ − b³) = 18(a − b)(a² + ab + b²).
д) 47(a⁶ − b⁶) = 47(a³ − b³)(a³ + b³) = 47(a − b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² − ab + b²).
е) 51(a⁶ + b⁶) = 51((a²)³ + (b²)³) = 51(a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴).
1114. Упростите выражение: а) 2x(8x − 1) − (4x + 1)²; б) 4(3y − 1)² − 18y(2y − 1).
а) 2x(8x − 1) − (4x + 1)² = 16x² − 2x − (16x² + 8x + 1) = 16x² − 2x − 16x² − 8x − 1 = −10x − 1.
б) 4(3y − 1)² − 18y(2y − 1) = 4(9y² − 6y + 1) − 36y² + 18y = 36y² − 24y + 4 − 36y² + 18y = −6y + 4.
б) 4(3y − 1)² − 18y(2y − 1) = 4(9y² − 6y + 1) − 36y² + 18y = 36y² − 24y + 4 − 36y² + 18y = −6y + 4.