Глава VI. §15. п.44 Способ сложения. Упражнения — с. 219
1098. Решите систему уравнений: а) {2x + 11y = 15, 10x − 11y = 9}; б) {8x − 17y = 4, −8x + 15y = 4}; в) {4x − 7y = 30, 4x − 5y = 90}; г) {13x − 8y = 28, 11x − 8y = 24}.
а) Коэффициенты при y противоположны. Складываем уравнения: 12x = 24, x = 2. Из первого: 11y = 15 − 4 = 11, y = 1. Ответ: (2; 1).
б) Коэффициенты при x противоположны. Складываем: −2y = 8, y = −4. Из первого: 8x = 4 + 17y = 4 − 68 = −64, x = −8. Ответ: (−8; −4).
в) Вычтем из второго уравнения первое: 2y = 60, y = 30. Из первого: 4x = 30 + 7·30 = 240, x = 60. Ответ: (60; 30).
г) Вычтем из первого уравнения второе: 2x = 4, x = 2. Из первого: 26 − 8y = 28, −8y = 2, y = −0,25. Ответ: (2; −0,25).
б) Коэффициенты при x противоположны. Складываем: −2y = 8, y = −4. Из первого: 8x = 4 + 17y = 4 − 68 = −64, x = −8. Ответ: (−8; −4).
в) Вычтем из второго уравнения первое: 2y = 60, y = 30. Из первого: 4x = 30 + 7·30 = 240, x = 60. Ответ: (60; 30).
г) Вычтем из первого уравнения второе: 2x = 4, x = 2. Из первого: 26 − 8y = 28, −8y = 2, y = −0,25. Ответ: (2; −0,25).
1099. Найдите решение системы уравнений: а) {x − 6y = 17, 5x + 6y = 13}; б) {4x − 7y = −12, −4x + 3y = 12}; в) {3x + 2y = 5, −5x + 2y = 45}; г) {9x − 4y = −13, 9x − 2y = −20}.
а) Складываем: 6x = 30, x = 5. Тогда 6y = x − 17 = −12, y = −2. Ответ: (5; −2).
б) Складываем: −4y = 0, y = 0. Тогда 4x = −12, x = −3. Ответ: (−3; 0).
в) Вычтем из первого уравнения второе: 8x = −40, x = −5. Тогда 2y = 5 − 3x = 5 + 15 = 20, y = 10. Ответ: (−5; 10).
г) Вычтем из первого уравнения второе: −2y = 7, y = −3,5. Тогда 9x = −20 + 2y = −20 − 7 = −27, x = −3. Ответ: (−3; −3,5).
б) Складываем: −4y = 0, y = 0. Тогда 4x = −12, x = −3. Ответ: (−3; 0).
в) Вычтем из первого уравнения второе: 8x = −40, x = −5. Тогда 2y = 5 − 3x = 5 + 15 = 20, y = 10. Ответ: (−5; 10).
г) Вычтем из первого уравнения второе: −2y = 7, y = −3,5. Тогда 9x = −20 + 2y = −20 − 7 = −27, x = −3. Ответ: (−3; −3,5).
1100. Решите систему уравнений: а) {40x + 3y = 10, 20x − 7y = 5}; б) {5x − 2y = 1, 15x − 3y = −3}; в) {33a + 42b = 10, 9a + 14b = 4}; г) {13x − 12y = 14, 11x − 4 = 18y}; д) {10x − 9y = 8, 21y + 15x = 0,5}; е) {9y + 8z = −2, 5z = −4y − 11}.
а) Умножим второе уравнение на −2: −40x + 14y = −10. Сложим с первым: 17y = 0, y = 0. Тогда 40x = 10, x = 0,25. Ответ: (0,25; 0).
б) Умножим первое уравнение на −3: −15x + 6y = −3. Сложим со вторым: 3y = −6, y = −2. Тогда 5x = 1 + 2y = −3, x = −0,6. Ответ: (−0,6; −2).
в) Умножим второе уравнение на −3: −27a − 42b = −12. Сложим с первым: 6a = −2, a = −1/3. Тогда 14b = 4 − 9a = 4 + 3 = 7, b = 1/2. Ответ: a = −1/3, b = 1/2.
г) Запишем второе уравнение так: 11x − 18y = 4. Умножим первое на 3, а второе на −2: 39x − 36y = 42 и −22x + 36y = −8. Сложим: 17x = 34, x = 2. Тогда 26 − 12y = 14, y = 1. Ответ: (2; 1).
д) Запишем второе уравнение так: 15x + 21y = 0,5. Умножим первое на 3, а второе на −2: 30x − 27y = 24 и −30x − 42y = −1. Сложим: −69y = 23, y = −1/3. Тогда 10x = 8 + 9y = 8 − 3 = 5, x = 1/2. Ответ: (1/2; −1/3).
е) Запишем второе уравнение так: 4y + 5z = −11. Умножим первое на 4, а второе на −9: 36y + 32z = −8 и −36y − 45z = 99. Сложим: −13z = 91, z = −7. Тогда 9y = −2 − 8z = −2 + 56 = 54, y = 6. Ответ: y = 6, z = −7.
б) Умножим первое уравнение на −3: −15x + 6y = −3. Сложим со вторым: 3y = −6, y = −2. Тогда 5x = 1 + 2y = −3, x = −0,6. Ответ: (−0,6; −2).
в) Умножим второе уравнение на −3: −27a − 42b = −12. Сложим с первым: 6a = −2, a = −1/3. Тогда 14b = 4 − 9a = 4 + 3 = 7, b = 1/2. Ответ: a = −1/3, b = 1/2.
г) Запишем второе уравнение так: 11x − 18y = 4. Умножим первое на 3, а второе на −2: 39x − 36y = 42 и −22x + 36y = −8. Сложим: 17x = 34, x = 2. Тогда 26 − 12y = 14, y = 1. Ответ: (2; 1).
д) Запишем второе уравнение так: 15x + 21y = 0,5. Умножим первое на 3, а второе на −2: 30x − 27y = 24 и −30x − 42y = −1. Сложим: −69y = 23, y = −1/3. Тогда 10x = 8 + 9y = 8 − 3 = 5, x = 1/2. Ответ: (1/2; −1/3).
е) Запишем второе уравнение так: 4y + 5z = −11. Умножим первое на 4, а второе на −9: 36y + 32z = −8 и −36y − 45z = 99. Сложим: −13z = 91, z = −7. Тогда 9y = −2 − 8z = −2 + 56 = 54, y = 6. Ответ: y = 6, z = −7.
1101. Решите систему уравнений: а) {12x − 7y = 2, 4x − 5y = 6}; б) {7u + 2v = 1, 17u + 6v = −9}; в) {6x = 25y + 1, 5x − 16y = −4}; г) {4b + 7a = 90, 5a − 6b = 20}.
а) Умножим второе уравнение на −3: −12x + 15y = −18. Сложим с первым: 8y = −16, y = −2. Тогда 4x = 6 + 5y = −4, x = −1. Ответ: x = −1, y = −2.
б) Умножим первое уравнение на −3: −21u − 6v = −3. Сложим со вторым: −4u = −12, u = 3. Тогда 2v = 1 − 21 = −20, v = −10. Ответ: u = 3, v = −10.
в) Первое уравнение: 6x − 25y = 1. Умножим его на 5, а второе на −6: 30x − 125y = 5 и −30x + 96y = 24. Сложим: −29y = 29, y = −1. Тогда 6x = 25y + 1 = −24, x = −4. Ответ: x = −4, y = −1.
г) Запишем систему: 7a + 4b = 90, 5a − 6b = 20. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: 21a + 12b = 270 и 10a − 12b = 40. Сложим: 31a = 310, a = 10. Тогда 4b = 90 − 70 = 20, b = 5. Ответ: a = 10, b = 5.
б) Умножим первое уравнение на −3: −21u − 6v = −3. Сложим со вторым: −4u = −12, u = 3. Тогда 2v = 1 − 21 = −20, v = −10. Ответ: u = 3, v = −10.
в) Первое уравнение: 6x − 25y = 1. Умножим его на 5, а второе на −6: 30x − 125y = 5 и −30x + 96y = 24. Сложим: −29y = 29, y = −1. Тогда 6x = 25y + 1 = −24, x = −4. Ответ: x = −4, y = −1.
г) Запишем систему: 7a + 4b = 90, 5a − 6b = 20. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: 21a + 12b = 270 и 10a − 12b = 40. Сложим: 31a = 310, a = 10. Тогда 4b = 90 − 70 = 20, b = 5. Ответ: a = 10, b = 5.