Глава VI. §15. Решение систем линейных уравнений. п.43 Способ подстановки — с. 216
1088. Решите систему уравнений: а) {3x + 4y = 0, 2x + 3y = 1}; б) {7x + 2y = 0, 4y + 9x = 10}; в) {5x + 6y = −20, 9y + 2x = 25}; г) {3x + 1 = 8y, 11y − 3x = −11}.
а) x = −4y/3. Подставим: 2·(−4y/3) + 3y = 1; y/3 = 1; y = 3; x = −4.
б) y = −3,5x. Подставим: 4·(−3,5x) + 9x = 10; −5x = 10; x = −2; y = 7.
в) x = (25 − 9y)/2. Подставим: 5(25 − 9y)/2 + 6y = −20; 125 − 45y + 12y = −40; −33y = −165; y = 5; x = (25 − 45)/2 = −10.
г) 3x = 8y − 1. Подставим во второе: 11y − (8y − 1) = −11; 3y = −12; y = −4; 3x = −33; x = −11.
Ответ: а) (−4; 3); б) (−2; 7); в) (−10; 5); г) (−11; −4).
б) y = −3,5x. Подставим: 4·(−3,5x) + 9x = 10; −5x = 10; x = −2; y = 7.
в) x = (25 − 9y)/2. Подставим: 5(25 − 9y)/2 + 6y = −20; 125 − 45y + 12y = −40; −33y = −165; y = 5; x = (25 − 45)/2 = −10.
г) 3x = 8y − 1. Подставим во второе: 11y − (8y − 1) = −11; 3y = −12; y = −4; 3x = −33; x = −11.
Ответ: а) (−4; 3); б) (−2; 7); в) (−10; 5); г) (−11; −4).
1089. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений: а) 7x + 4y = 23 и 8x − 10y = 19; б) 11x − 6y = 2 и −8x + 5y = 3.
Координаты точки пересечения — решение системы из двух уравнений.
а) y = (23 − 7x)/4. Подставим: 8x − 10(23 − 7x)/4 = 19; умножим на 4: 32x − 230 + 70x = 76; 102x = 306; x = 3; y = (23 − 21)/4 = 0,5.
б) x = (2 + 6y)/11. Подставим: −8(2 + 6y)/11 + 5y = 3; умножим на 11: −16 − 48y + 55y = 33; 7y = 49; y = 7; x = (2 + 42)/11 = 4.
Проверка б): 11·4 − 6·7 = 2; −32 + 35 = 3.
Ответ: а) (3; 0,5); б) (4; 7).
а) y = (23 − 7x)/4. Подставим: 8x − 10(23 − 7x)/4 = 19; умножим на 4: 32x − 230 + 70x = 76; 102x = 306; x = 3; y = (23 − 21)/4 = 0,5.
б) x = (2 + 6y)/11. Подставим: −8(2 + 6y)/11 + 5y = 3; умножим на 11: −16 − 48y + 55y = 33; 7y = 49; y = 7; x = (2 + 42)/11 = 4.
Проверка б): 11·4 − 6·7 = 2; −32 + 35 = 3.
Ответ: а) (3; 0,5); б) (4; 7).
1090. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения: а) 5x − 4y = 16 и x − 2y = 6; б) 20x − 15y = 100 и 3x − y = 6.
а) x = 6 + 2y. Подставим: 5(6 + 2y) − 4y = 16; 30 + 10y − 4y = 16; 6y = −14; y = −7/3 = −2 1/3; x = 6 − 14/3 = 4/3 = 1 1/3.
б) y = 3x − 6. Подставим: 20x − 15(3x − 6) = 100; 20x − 45x + 90 = 100; −25x = 10; x = −0,4; y = −1,2 − 6 = −7,2.
Ответ: а) (1 1/3; −2 1/3); б) (−0,4; −7,2).
б) y = 3x − 6. Подставим: 20x − 15(3x − 6) = 100; 20x − 45x + 90 = 100; −25x = 10; x = −0,4; y = −1,2 − 6 = −7,2.
Ответ: а) (1 1/3; −2 1/3); б) (−0,4; −7,2).
1091. Найдите решение системы уравнений: а) {3(x − 5) − 1 = 6 − 2x, 3(x − y) − 7y = −4}; б) {6(x + y) − y = −1, 7(y + 4) − (y + 2) = 0}.
а) Первое уравнение: 3x − 15 − 1 = 6 − 2x; 5x = 22; x = 4,4. Второе: 3x − 3y − 7y = −4; 3x − 10y = −4. Подставим x = 4,4: 13,2 − 10y = −4; 10y = 17,2; y = 1,72.
б) Второе уравнение: 7y + 28 − y − 2 = 0; 6y = −26; y = −13/3. Первое: 6x + 6y − y = −1; 6x + 5y = −1. Подставим y: 6x − 65/3 = −1; 6x = 62/3; x = 31/9 = 3 4/9.
Ответ: а) (4,4; 1,72); б) (3 4/9; −4 1/3).
б) Второе уравнение: 7y + 28 − y − 2 = 0; 6y = −26; y = −13/3. Первое: 6x + 6y − y = −1; 6x + 5y = −1. Подставим y: 6x − 65/3 = −1; 6x = 62/3; x = 31/9 = 3 4/9.
Ответ: а) (4,4; 1,72); б) (3 4/9; −4 1/3).
1092. Решите систему уравнений: а) {5y + 8(x − 3y) = 7x − 12, 9x + 3(x − 9y) = 11y + 46}; б) {−2(a − b) + 16 = 3(b + 7), 6a − (a − 5) = −8 − (b + 1)}.
а) Первое: 5y + 8x − 24y = 7x − 12; x − 19y = −12. Второе: 9x + 3x − 27y = 11y + 46; 12x − 38y = 46; 6x − 19y = 23. Из первого x = 19y − 12. Подставим: 6(19y − 12) − 19y = 23; 114y − 72 − 19y = 23; 95y = 95; y = 1; x = 7.
б) Первое: −2a + 2b + 16 = 3b + 21; −2a − b = 5; b = −2a − 5. Второе: 6a − a + 5 = −8 − b − 1; 5a + b = −14. Подставим b: 5a − 2a − 5 = −14; 3a = −9; a = −3; b = 6 − 5 = 1.
Ответ: а) x = 7, y = 1; б) a = −3, b = 1.
б) Первое: −2a + 2b + 16 = 3b + 21; −2a − b = 5; b = −2a − 5. Второе: 6a − a + 5 = −8 − b − 1; 5a + b = −14. Подставим b: 5a − 2a − 5 = −14; 3a = −9; a = −3; b = 6 − 5 = 1.
Ответ: а) x = 7, y = 1; б) a = −3, b = 1.
1093. Найдите решение системы уравнений: а) {x/3 − y/2 = −4, x/2 + y/2 = −2}; б) {a/6 − 2b = 6, −3a + b/2 = −37}; в) {2m/5 + n/3 = 1, m/10 − 7n/6 = 4}; г) {7x − 3y/5 = −4, x + 2y/5 = −3}.
Освободимся от знаменателей.
а) Первое уравнение умножим на 6: 2x − 3y = −24. Второе умножим на 2: x + y = −4, x = −4 − y. Подставим: 2(−4 − y) − 3y = −24; −8 − 5y = −24; y = 3,2; x = −7,2. Проверка: −2,4 − 1,6 = −4; −3,6 + 1,6 = −2.
б) Первое умножим на 6: a − 12b = 36; второе умножим на 2: −6a + b = −74, b = 6a − 74. Подставим: a − 12(6a − 74) = 36; a − 72a + 888 = 36; −71a = −852; a = 12; b = −2.
в) Первое умножим на 15: 6m + 5n = 15. Второе умножим на 30: 3m − 35n = 120, m = 40 + 35n/3. Подставим в первое, умножив его вторую запись: удобнее удвоить второе: 6m − 70n = 240. Вычтем из первого: 75n = −225; n = −3; 6m = 15 + 15 = 30; m = 5.
г) Первое умножим на 5: 35x − 3y = −20; второе умножим на 5: 5x + 2y = −15, x = −3 − 0,4y. Подставим: 35(−3 − 0,4y) − 3y = −20; −105 − 14y − 3y = −20; −17y = 85; y = −5; x = −3 + 2 = −1.
Ответ: а) x = −7,2, y = 3,2; б) a = 12, b = −2; в) m = 5, n = −3; г) x = −1, y = −5.
Оговорка: в ответах учебника для а) указано x = −6, y = 4; эта пара удовлетворяет первому уравнению, но для x/2 + y/2 получается −1, а не −2.
а) Первое уравнение умножим на 6: 2x − 3y = −24. Второе умножим на 2: x + y = −4, x = −4 − y. Подставим: 2(−4 − y) − 3y = −24; −8 − 5y = −24; y = 3,2; x = −7,2. Проверка: −2,4 − 1,6 = −4; −3,6 + 1,6 = −2.
б) Первое умножим на 6: a − 12b = 36; второе умножим на 2: −6a + b = −74, b = 6a − 74. Подставим: a − 12(6a − 74) = 36; a − 72a + 888 = 36; −71a = −852; a = 12; b = −2.
в) Первое умножим на 15: 6m + 5n = 15. Второе умножим на 30: 3m − 35n = 120, m = 40 + 35n/3. Подставим в первое, умножив его вторую запись: удобнее удвоить второе: 6m − 70n = 240. Вычтем из первого: 75n = −225; n = −3; 6m = 15 + 15 = 30; m = 5.
г) Первое умножим на 5: 35x − 3y = −20; второе умножим на 5: 5x + 2y = −15, x = −3 − 0,4y. Подставим: 35(−3 − 0,4y) − 3y = −20; −105 − 14y − 3y = −20; −17y = 85; y = −5; x = −3 + 2 = −1.
Ответ: а) x = −7,2, y = 3,2; б) a = 12, b = −2; в) m = 5, n = −3; г) x = −1, y = −5.
Оговорка: в ответах учебника для а) указано x = −6, y = 4; эта пара удовлетворяет первому уравнению, но для x/2 + y/2 получается −1, а не −2.
1094. Решите систему уравнений: а) {y/4 − x/5 = 6, x/15 + y/12 = 0}; б) {6x/5 + y/15 = 2,3, x/10 − 2y/3 = 1,2}; в) {x/2 − y/3 = 2, 3x/2 − y = 6}; г) {3x/5 − 2y = 5, x − 3y/2 = 6,5}.
а) Первое умножим на 20: 5y − 4x = 120. Второе умножим на 60: 4x + 5y = 0. Сложим: 10y = 120; y = 12; 4x = −60; x = −15.
б) Первое умножим на 30: 36x + 2y = 69; второе умножим на 30: 3x − 20y = 36. Из первого y = 34,5 − 18x. Подставим: 3x − 20(34,5 − 18x) = 36; 3x − 690 + 360x = 36; 363x = 726; x = 2; y = 34,5 − 36 = −1,5.
в) Первое умножим на 6: 3x − 2y = 12. Второе умножим на 2: 3x − 2y = 12. Получились одинаковые уравнения, поэтому система равносильна одному уравнению 3x − 2y = 12 и имеет бесконечно много решений: любая пара (x; 1,5x − 6), например (0; −6), (2; −3), (4; 0).
г) Первое умножим на 5: 3x − 10y = 25; второе умножим на 2: 2x − 3y = 13. Из второго x = (13 + 3y)/2. Подставим в первое: 3(13 + 3y)/2 − 10y = 25; 39 + 9y − 20y = 50; −11y = 11; y = −1; x = (13 − 3)/2 = 5.
Ответ: а) (−15; 12); б) (2; −1,5); в) бесконечно много решений, y = 1,5x − 6; г) (5; −1).
б) Первое умножим на 30: 36x + 2y = 69; второе умножим на 30: 3x − 20y = 36. Из первого y = 34,5 − 18x. Подставим: 3x − 20(34,5 − 18x) = 36; 3x − 690 + 360x = 36; 363x = 726; x = 2; y = 34,5 − 36 = −1,5.
в) Первое умножим на 6: 3x − 2y = 12. Второе умножим на 2: 3x − 2y = 12. Получились одинаковые уравнения, поэтому система равносильна одному уравнению 3x − 2y = 12 и имеет бесконечно много решений: любая пара (x; 1,5x − 6), например (0; −6), (2; −3), (4; 0).
г) Первое умножим на 5: 3x − 10y = 25; второе умножим на 2: 2x − 3y = 13. Из второго x = (13 + 3y)/2. Подставим в первое: 3(13 + 3y)/2 − 10y = 25; 39 + 9y − 20y = 50; −11y = 11; y = −1; x = (13 − 3)/2 = 5.
Ответ: а) (−15; 12); б) (2; −1,5); в) бесконечно много решений, y = 1,5x − 6; г) (5; −1).