Глава VI. §14. п.42 Системы линейных уравнений; контрольные вопросы — с. 213
1080. Укажите какие-нибудь три решения системы уравнений: а) {x − 3y = 5, 3x − 9y = 15}; б) {1,5y + x = −0,5, 2x + 3y = −1}.
а) Второе уравнение получается умножением первого на 3, поэтому уравнения равносильны и решениями системы служат все решения уравнения x − 3y = 5. Выразим x = 5 + 3y: y = 0, x = 5; y = 1, x = 8; y = −1, x = 2. Решения (x; y): (5; 0), (8; 1), (2; −1).
б) Второе уравнение получается умножением первого на 2, поэтому достаточно решить x + 1,5y = −0,5. Выразим x = −0,5 − 1,5y: y = 0, x = −0,5; y = 1, x = −2; y = −1, x = 1. Решения (x; y): (−0,5; 0), (−2; 1), (1; −1). Проверка: 2·(−2) + 3·1 = −1.
Ответ: а) (5; 0), (8; 1), (2; −1); б) (−0,5; 0), (−2; 1), (1; −1) (система имеет бесконечно много решений, годятся и другие).
б) Второе уравнение получается умножением первого на 2, поэтому достаточно решить x + 1,5y = −0,5. Выразим x = −0,5 − 1,5y: y = 0, x = −0,5; y = 1, x = −2; y = −1, x = 1. Решения (x; y): (−0,5; 0), (−2; 1), (1; −1). Проверка: 2·(−2) + 3·1 = −1.
Ответ: а) (5; 0), (8; 1), (2; −1); б) (−0,5; 0), (−2; 1), (1; −1) (система имеет бесконечно много решений, годятся и другие).
1081. Решите уравнение: а) (2x − 3)/4 − 3x = (x + 1)/2; б) 6 = (3x − 1)/3 − x/5.
а) Умножим на 4: 2x − 3 − 12x = 2(x + 1); −10x − 3 = 2x + 2; −12x = 5; x = −5/12.
б) Умножим на 15: 90 = 5(3x − 1) − 3x; 90 = 15x − 5 − 3x; 12x = 95; x = 95/12 = 7 11/12.
Ответ: а) −5/12; б) 7 11/12.
б) Умножим на 15: 90 = 5(3x − 1) − 3x; 90 = 15x − 5 − 3x; 12x = 95; x = 95/12 = 7 11/12.
Ответ: а) −5/12; б) 7 11/12.
1082. Представьте в виде многочлена: а) (5c² − c + 8)(2c − 3) − 16; б) 18m³ − (3m − 4)(6m² + m − 2).
а) (5c² − c + 8)(2c − 3) = 10c³ − 15c² − 2c² + 3c + 16c − 24 = 10c³ − 17c² + 19c − 24. Вычтем 16: 10c³ − 17c² + 19c − 40.
б) (3m − 4)(6m² + m − 2) = 18m³ + 3m² − 6m − 24m² − 4m + 8 = 18m³ − 21m² − 10m + 8. Тогда 18m³ − (18m³ − 21m² − 10m + 8) = 21m² + 10m − 8.
Ответ: а) 10c³ − 17c² + 19c − 40; б) 21m² + 10m − 8.
б) (3m − 4)(6m² + m − 2) = 18m³ + 3m² − 6m − 24m² − 4m + 8 = 18m³ − 21m² − 10m + 8. Тогда 18m³ − (18m³ − 21m² − 10m + 8) = 21m² + 10m − 8.
Ответ: а) 10c³ − 17c² + 19c − 40; б) 21m² + 10m − 8.
1083. Разложите на множители: а) a³ + a² − x²a − x²; б) b³ + b²c − 9b − 9c.
а) a²(a + 1) − x²(a + 1) = (a + 1)(a² − x²) = (a + 1)(a − x)(a + x).
б) b²(b + c) − 9(b + c) = (b + c)(b² − 9) = (b + c)(b − 3)(b + 3).
Ответ: а) (a + 1)(a − x)(a + x); б) (b + c)(b − 3)(b + 3).
б) b²(b + c) − 9(b + c) = (b + c)(b² − 9) = (b + c)(b − 3)(b + 3).
Ответ: а) (a + 1)(a − x)(a + x); б) (b + c)(b − 3)(b + 3).
1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, a, b и c — некоторые числа.
Пример: 5x + 2y = 10.
Пример: 5x + 2y = 10.
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
Является ли пара значений переменных x = 7, y = 3 решением уравнения 2x + y = 17?
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.
Подставим x = 7, y = 3: 2·7 + 3 = 14 + 3 = 17 — равенство верно. Значит, пара x = 7, y = 3 является решением уравнения 2x + y = 17.
Подставим x = 7, y = 3: 2·7 + 3 = 14 + 3 = 17 — равенство верно. Значит, пара x = 7, y = 3 является решением уравнения 2x + y = 17.
3. Что является графиком уравнения ax + by = c с переменными x и y, где a ≠ 0 или b ≠ 0?
Графиком линейного уравнения ax + by = c, в котором хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю, является прямая. Если b ≠ 0, это график линейной функции y = (c − ax)/b; если b = 0 (a ≠ 0), это прямая x = c/a, параллельная оси y; если a = 0 (b ≠ 0), это прямая y = c/b, параллельная оси x.
4. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
Что значит решить систему уравнений?
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?
Графиками уравнений системы являются прямые. Если прямые пересекаются, система имеет единственное решение; если прямые параллельны, решений нет; если прямые совпадают, решений бесконечно много. Итак, система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет либо одно решение, либо ни одного, либо бесконечно много решений.