Глава VI. §15. Решение систем линейных уравнений. п.43 Способ подстановки — с. 215
1084. Решите систему уравнений: а) {y = x − 1, 5x + 2y = 16}; б) {x = 2 − y, 3x − 2y − 11 = 0}.
а) Подставим y = x − 1 во второе уравнение: 5x + 2(x − 1) = 16; 5x + 2x − 2 = 16; 7x = 18; x = 18/7 = 2 4/7. Тогда y = 18/7 − 1 = 11/7 = 1 4/7.
Проверка: 5·18/7 + 2·11/7 = 90/7 + 22/7 = 112/7 = 16.
б) Подставим x = 2 − y во второе уравнение: 3(2 − y) − 2y − 11 = 0; 6 − 3y − 2y − 11 = 0; −5y = 5; y = −1. Тогда x = 2 − (−1) = 3.
Проверка: 3·3 − 2·(−1) − 11 = 9 + 2 − 11 = 0.
Ответ: а) x = 18/7, y = 11/7; б) x = 3, y = −1.
Проверка: 5·18/7 + 2·11/7 = 90/7 + 22/7 = 112/7 = 16.
б) Подставим x = 2 − y во второе уравнение: 3(2 − y) − 2y − 11 = 0; 6 − 3y − 2y − 11 = 0; −5y = 5; y = −1. Тогда x = 2 − (−1) = 3.
Проверка: 3·3 − 2·(−1) − 11 = 9 + 2 − 11 = 0.
Ответ: а) x = 18/7, y = 11/7; б) x = 3, y = −1.
1085. Решите систему уравнений: а) {y − 2x = 1, 6x − y = 7}; б) {7x − 3y = 13, x − 2y = 5}; в) {x + y = 6, 3x − 5y = 2}; г) {4x − y = 11, 6x − 2y = 13}; д) {y − x = 20, 2x − 15y = −1}; е) {25 − x = −4y, 3x − 2y = 30}.
а) y = 1 + 2x. Подставим: 6x − (1 + 2x) = 7; 4x = 8; x = 2; y = 5.
б) x = 5 + 2y. Подставим: 7(5 + 2y) − 3y = 13; 35 + 14y − 3y = 13; 11y = −22; y = −2; x = 5 − 4 = 1.
в) x = 6 − y. Подставим: 3(6 − y) − 5y = 2; 18 − 8y = 2; y = 2; x = 4.
г) y = 4x − 11. Подставим: 6x − 2(4x − 11) = 13; 6x − 8x + 22 = 13; −2x = −9; x = 4,5; y = 18 − 11 = 7.
д) y = x + 20. Подставим: 2x − 15(x + 20) = −1; 2x − 15x − 300 = −1; −13x = 299; x = −23; y = −3.
е) Из первого уравнения x = 25 + 4y. Подставим: 3(25 + 4y) − 2y = 30; 75 + 12y − 2y = 30; 10y = −45; y = −4,5; x = 25 − 18 = 7.
Ответ: а) (2; 5); б) (1; −2); в) (4; 2); г) (4,5; 7); д) (−23; −3); е) (7; −4,5).
б) x = 5 + 2y. Подставим: 7(5 + 2y) − 3y = 13; 35 + 14y − 3y = 13; 11y = −22; y = −2; x = 5 − 4 = 1.
в) x = 6 − y. Подставим: 3(6 − y) − 5y = 2; 18 − 8y = 2; y = 2; x = 4.
г) y = 4x − 11. Подставим: 6x − 2(4x − 11) = 13; 6x − 8x + 22 = 13; −2x = −9; x = 4,5; y = 18 − 11 = 7.
д) y = x + 20. Подставим: 2x − 15(x + 20) = −1; 2x − 15x − 300 = −1; −13x = 299; x = −23; y = −3.
е) Из первого уравнения x = 25 + 4y. Подставим: 3(25 + 4y) − 2y = 30; 75 + 12y − 2y = 30; 10y = −45; y = −4,5; x = 25 − 18 = 7.
Ответ: а) (2; 5); б) (1; −2); в) (4; 2); г) (4,5; 7); д) (−23; −3); е) (7; −4,5).
1086. Найдите решение системы уравнений: а) {2x + y = 12, 7x − 2y = 31}; б) {y − 2x = 4, 7x − y = 1}; в) {8y − x = 4, 2x − 21y = 2}; г) {2x = y + 0,5, 3x − 5y = 12}.
а) y = 12 − 2x. 7x − 2(12 − 2x) = 31; 7x − 24 + 4x = 31; 11x = 55; x = 5; y = 2.
б) y = 2x + 4. 7x − (2x + 4) = 1; 5x = 5; x = 1; y = 6.
в) x = 8y − 4. 2(8y − 4) − 21y = 2; 16y − 8 − 21y = 2; −5y = 10; y = −2; x = −16 − 4 = −20.
г) y = 2x − 0,5. 3x − 5(2x − 0,5) = 12; 3x − 10x + 2,5 = 12; −7x = 9,5; x = −19/14 = −1 5/14. Тогда y = 2·(−19/14) − 0,5 = −19/7 − 1/2 = −45/14 = −3 3/14.
Проверка: 3·(−19/14) − 5·(−45/14) = (−57 + 225)/14 = 168/14 = 12.
Ответ: а) (5; 2); б) (1; 6); в) (−20; −2); г) x = −19/14, y = −45/14.
Оговорка: в ответах учебника для г) указана пара (−1,5; −3,5); она удовлетворяет первому уравнению, но для второго даёт 3·(−1,5) − 5·(−3,5) = 13, а не 12.
б) y = 2x + 4. 7x − (2x + 4) = 1; 5x = 5; x = 1; y = 6.
в) x = 8y − 4. 2(8y − 4) − 21y = 2; 16y − 8 − 21y = 2; −5y = 10; y = −2; x = −16 − 4 = −20.
г) y = 2x − 0,5. 3x − 5(2x − 0,5) = 12; 3x − 10x + 2,5 = 12; −7x = 9,5; x = −19/14 = −1 5/14. Тогда y = 2·(−19/14) − 0,5 = −19/7 − 1/2 = −45/14 = −3 3/14.
Проверка: 3·(−19/14) − 5·(−45/14) = (−57 + 225)/14 = 168/14 = 12.
Ответ: а) (5; 2); б) (1; 6); в) (−20; −2); г) x = −19/14, y = −45/14.
Оговорка: в ответах учебника для г) указана пара (−1,5; −3,5); она удовлетворяет первому уравнению, но для второго даёт 3·(−1,5) − 5·(−3,5) = 13, а не 12.
1087. Решите систему уравнений: а) {2u + 5v = 0, −8u + 15v = 7}; б) {5p − 3q = 0, 3p + 4q = 29}; в) {4u + 3v = 14, 5u − 3v = 25}; г) {10p + 7q = −2, 2p − 22 = 5q}.
а) u = −2,5v. Подставим: −8·(−2,5v) + 15v = 7; 20v + 15v = 7; v = 0,2; u = −0,5.
б) p = 0,6q. Подставим: 3·0,6q + 4q = 29; 5,8q = 29; q = 5; p = 3.
в) Из первого уравнения 3v = 14 − 4u. Подставим во второе: 5u − (14 − 4u) = 25; 9u = 39; u = 13/3 = 4 1/3. Тогда 3v = 14 − 52/3 = −10/3; v = −10/9 = −1 1/9.
г) Из второго уравнения p = 2,5q + 11. Подставим в первое: 10(2,5q + 11) + 7q = −2; 25q + 110 + 7q = −2; 32q = −112; q = −3,5; p = −8,75 + 11 = 2,25.
Ответ: а) u = −0,5, v = 0,2; б) p = 3, q = 5; в) u = 4 1/3, v = −1 1/9; г) p = 2,25, q = −3,5.
б) p = 0,6q. Подставим: 3·0,6q + 4q = 29; 5,8q = 29; q = 5; p = 3.
в) Из первого уравнения 3v = 14 − 4u. Подставим во второе: 5u − (14 − 4u) = 25; 9u = 39; u = 13/3 = 4 1/3. Тогда 3v = 14 − 52/3 = −10/3; v = −10/9 = −1 1/9.
г) Из второго уравнения p = 2,5q + 11. Подставим в первое: 10(2,5q + 11) + 7q = −2; 25q + 110 + 7q = −2; 32q = −112; q = −3,5; p = −8,75 + 11 = 2,25.
Ответ: а) u = −0,5, v = 0,2; б) p = 3, q = 5; в) u = 4 1/3, v = −1 1/9; г) p = 2,25, q = −3,5.