Глава VI. §15. п.44 Способ сложения — с. 217
1095. Упростите выражение: а) (2x − 3y)² + (2x + 3y)²; б) (2x + 3y)² − (2x − 3y)²; в) 2(x/2 + y/4)² + (2x − y)²; г) 3(x/3 + y/9)² − (3x − y)².
а) (2x − 3y)² + (2x + 3y)² = 4x² − 12xy + 9y² + 4x² + 12xy + 9y² = 8x² + 18y².
б) (2x + 3y)² − (2x − 3y)² = (4x² + 12xy + 9y²) − (4x² − 12xy + 9y²) = 24xy.
в) 2(x/2 + y/4)² = 2(x²/4 + xy/4 + y²/16) = x²/2 + xy/2 + y²/8; (2x − y)² = 4x² − 4xy + y². Сумма: (1/2 + 4)x² + (1/2 − 4)xy + (1/8 + 1)y² = 4,5x² − 3,5xy + 9y²/8.
г) 3(x/3 + y/9)² = 3(x²/9 + 2xy/27 + y²/81) = x²/3 + 2xy/9 + y²/27; (3x − y)² = 9x² − 6xy + y². Разность: (1/3 − 9)x² + (2/9 + 6)xy + (1/27 − 1)y² = −26x²/3 + 56xy/9 − 26y²/27.
б) (2x + 3y)² − (2x − 3y)² = (4x² + 12xy + 9y²) − (4x² − 12xy + 9y²) = 24xy.
в) 2(x/2 + y/4)² = 2(x²/4 + xy/4 + y²/16) = x²/2 + xy/2 + y²/8; (2x − y)² = 4x² − 4xy + y². Сумма: (1/2 + 4)x² + (1/2 − 4)xy + (1/8 + 1)y² = 4,5x² − 3,5xy + 9y²/8.
г) 3(x/3 + y/9)² = 3(x²/9 + 2xy/27 + y²/81) = x²/3 + 2xy/9 + y²/27; (3x − y)² = 9x² − 6xy + y². Разность: (1/3 − 9)x² + (2/9 + 6)xy + (1/27 − 1)y² = −26x²/3 + 56xy/9 − 26y²/27.
1096. Разложите на множители: а) x⁵ + 4a²x³ − 4ax⁴; б) 4a⁶ − 12a⁵b + 9a⁴b².
а) Вынесем x³ за скобки и расположим слагаемые по степеням x: x⁵ − 4ax⁴ + 4a²x³ = x³(x² − 4ax + 4a²) = x³(x − 2a)².
б) Вынесем a⁴: 4a⁶ − 12a⁵b + 9a⁴b² = a⁴(4a² − 12ab + 9b²) = a⁴(2a − 3b)² (формула квадрата разности).
Ответ: а) x³(x − 2a)²; б) a⁴(2a − 3b)².
б) Вынесем a⁴: 4a⁶ − 12a⁵b + 9a⁴b² = a⁴(4a² − 12ab + 9b²) = a⁴(2a − 3b)² (формула квадрата разности).
Ответ: а) x³(x − 2a)²; б) a⁴(2a − 3b)².
1097. Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой y = x² − 4x + 5, расположены в верхней полуплоскости.
Выделим полный квадрат: x² − 4x + 5 = (x² − 4x + 4) + 1 = (x − 2)² + 1.
Так как (x − 2)² ≥ 0 при любом x, то y = (x − 2)² + 1 ≥ 1 > 0. Значит, ордината каждой точки графика положительна, то есть все точки графика лежат выше оси x — в верхней полуплоскости. Что и требовалось доказать.
Так как (x − 2)² ≥ 0 при любом x, то y = (x − 2)² + 1 ≥ 1 > 0. Значит, ордината каждой точки графика положительна, то есть все точки графика лежат выше оси x — в верхней полуплоскости. Что и требовалось доказать.