Глава VI. §15. п.44 Способ сложения. Упражнения (продолжение) — с. 220
1102. Найдите решение системы уравнений: а) {0,75x + 20y = 95, 0,32x − 25y = 7}; б) {0,5u − 0,6v = 0, 0,4u + 1,7v = 10,9}; в) {10x = 4,6 + 3y, 4y + 3,2y = 6x}; г) {−3b + 10a − 0,1 = 0, 15a + 4b − 2,7 = 0}.
а) Умножим первое уравнение на 5, а второе на 4: 3,75x + 100y = 475 и 1,28x − 100y = 28. Сложим: 5,03x = 503, x = 100. Тогда 20y = 95 − 75 = 20, y = 1. Ответ: x = 100, y = 1.
б) Умножим первое уравнение на 17, а второе на 6: 8,5u − 10,2v = 0 и 2,4u + 10,2v = 65,4. Сложим: 10,9u = 65,4, u = 6. Тогда 0,5·6 = 0,6v, v = 5. Ответ: u = 6, v = 5.
в) Приведём подобные слагаемые во втором уравнении: 7,2y = 6x, откуда x = 1,2y. Запишем первое уравнение в виде 10x − 3y = 4,6 и подставим x: 12y − 3y = 4,6, 9y = 4,6, y = 23/45, x = 1,2·23/45 = 46/75. Проверка: 10·46/75 = 92/15 = 4,6 + 3·23/45. Ответ: x = 46/75, y = 23/45.
г) Запишем систему: 10a − 3b = 0,1 и 15a + 4b = 2,7. Умножим первое уравнение на 3, а второе на −2: 30a − 9b = 0,3 и −30a − 8b = −5,4. Сложим: −17b = −5,1, b = 0,3. Тогда 10a = 0,1 + 0,9 = 1, a = 0,1. Ответ: a = 0,1, b = 0,3.
Оговорка: в ответах учебника для пункта в) указано x = 0,4, y = −0,2. Эта пара подходит к системе {10x = 4,6 + 3y, 4y + 3,2 = 6x} (во втором уравнении 3,2 без множителя y): при x = 0,4, y = −0,2 получаем 10·0,4 = 4 = 4,6 − 0,6 и 4·(−0,2) + 3,2 = 2,4 = 6·0,4. В напечатанном условии стоит 3,2y, поэтому выше решена система в том виде, как она напечатана; если во втором уравнении 3,2 без y, ответ: x = 0,4, y = −0,2.
б) Умножим первое уравнение на 17, а второе на 6: 8,5u − 10,2v = 0 и 2,4u + 10,2v = 65,4. Сложим: 10,9u = 65,4, u = 6. Тогда 0,5·6 = 0,6v, v = 5. Ответ: u = 6, v = 5.
в) Приведём подобные слагаемые во втором уравнении: 7,2y = 6x, откуда x = 1,2y. Запишем первое уравнение в виде 10x − 3y = 4,6 и подставим x: 12y − 3y = 4,6, 9y = 4,6, y = 23/45, x = 1,2·23/45 = 46/75. Проверка: 10·46/75 = 92/15 = 4,6 + 3·23/45. Ответ: x = 46/75, y = 23/45.
г) Запишем систему: 10a − 3b = 0,1 и 15a + 4b = 2,7. Умножим первое уравнение на 3, а второе на −2: 30a − 9b = 0,3 и −30a − 8b = −5,4. Сложим: −17b = −5,1, b = 0,3. Тогда 10a = 0,1 + 0,9 = 1, a = 0,1. Ответ: a = 0,1, b = 0,3.
Оговорка: в ответах учебника для пункта в) указано x = 0,4, y = −0,2. Эта пара подходит к системе {10x = 4,6 + 3y, 4y + 3,2 = 6x} (во втором уравнении 3,2 без множителя y): при x = 0,4, y = −0,2 получаем 10·0,4 = 4 = 4,6 − 0,6 и 4·(−0,2) + 3,2 = 2,4 = 6·0,4. В напечатанном условии стоит 3,2y, поэтому выше решена система в том виде, как она напечатана; если во втором уравнении 3,2 без y, ответ: x = 0,4, y = −0,2.
1103. Составьте уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через точки: а) M(5; 5) и N(−10; −19); б) P(4; 1) и Q(3; −5); в) A(8; −1) и B(−4; 17); г) C(−19; 31) и D(1; −9).
Подставляем координаты точек в y = kx + b и получаем систему для k и b; вычитанием уравнений находим k.
а) 5 = 5k + b, −19 = −10k + b. Вычтем: 24 = 15k, k = 1,6; b = 5 − 8 = −3. Ответ: y = 1,6x − 3.
б) 1 = 4k + b, −5 = 3k + b. Вычтем: 6 = k; b = 1 − 24 = −23. Ответ: y = 6x − 23.
в) −1 = 8k + b, 17 = −4k + b. Вычтем: −18 = 12k, k = −1,5; b = −1 + 12 = 11. Ответ: y = −1,5x + 11.
г) 31 = −19k + b, −9 = k + b. Вычтем: 40 = −20k, k = −2; b = −9 + 2 = −7. Ответ: y = −2x − 7. Проверка: −2·(−19) − 7 = 31.
а) 5 = 5k + b, −19 = −10k + b. Вычтем: 24 = 15k, k = 1,6; b = 5 − 8 = −3. Ответ: y = 1,6x − 3.
б) 1 = 4k + b, −5 = 3k + b. Вычтем: 6 = k; b = 1 − 24 = −23. Ответ: y = 6x − 23.
в) −1 = 8k + b, 17 = −4k + b. Вычтем: −18 = 12k, k = −1,5; b = −1 + 12 = 11. Ответ: y = −1,5x + 11.
г) 31 = −19k + b, −9 = k + b. Вычтем: 40 = −20k, k = −2; b = −9 + 2 = −7. Ответ: y = −2x − 7. Проверка: −2·(−19) − 7 = 31.
1104. График линейной функции пересекает оси координат в точках (−5; 0) и (0; 11). Задайте эту функцию формулой.
Линейная функция имеет вид y = kx + b. Точка (0; 11) лежит на оси y, поэтому b = 11. Точка (−5; 0): 0 = −5k + 11, откуда k = 11/5 = 2,2.
Ответ: y = 2,2x + 11.
Ответ: y = 2,2x + 11.
1105. Прямая y = kx + b проходит через точки A(−1; 3) и B(2; −1). Напишите уравнение этой прямой.
Составим систему: 3 = −k + b, −1 = 2k + b. Вычтем из первого уравнения второе: 4 = −3k, k = −4/3. Тогда b = 3 + k = 3 − 4/3 = 5/3.
Проверка по точке B: 2·(−4/3) + 5/3 = −1.
Ответ: y = −(4/3)x + 5/3, то есть y = −1 1/3·x + 1 2/3.
Проверка по точке B: 2·(−4/3) + 5/3 = −1.
Ответ: y = −(4/3)x + 5/3, то есть y = −1 1/3·x + 1 2/3.
1106. График линейной функции пересекает ось x в точке с абсциссой 4, а ось y в точке с ординатой 11. Задайте эту функцию формулой.
График проходит через точки (4; 0) и (0; 11). Из точки (0; 11) получаем b = 11. Из точки (4; 0): 0 = 4k + 11, k = −11/4 = −2,75.
Ответ: y = −2,75x + 11, то есть y = −2 3/4·x + 11.
Ответ: y = −2,75x + 11, то есть y = −2 3/4·x + 11.
1107. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке 96. [рисунок 96: на клетчатой плоскости прямая, убывающая слева направо; пересекает ось y ниже начала координат в точке (0; −1) и проходит через точку (1; −3)]
Линейная функция имеет вид y = kx + b. По рисунку прямая пересекает ось y в точке (0; −1), поэтому b = −1. Ещё одна точка прямой с целыми координатами — (1; −3).
Подставим её: −3 = k·1 − 1, откуда k = −2.
Проверка: прямая пересекает ось x при −2x − 1 = 0, то есть x = −0,5, что согласуется с рисунком.
Ответ: y = −2x − 1.
Подставим её: −3 = k·1 − 1, откуда k = −2.
Проверка: прямая пересекает ось x при −2x − 1 = 0, то есть x = −0,5, что согласуется с рисунком.
Ответ: y = −2x − 1.
1108. Решите систему уравнений: а) {5(x + 2y) − 3 = x + 5, y + 4(x − 3y) = 50}; б) {2,5(x − 3y) − 3 = −3x + 0,5, 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19}.
а) Раскроем скобки в первом уравнении: 5x + 10y − 3 = x + 5, откуда 4x + 10y = 8, то есть 2x + 5y = 4. Во втором: y + 4x − 12y = 50, то есть 4x − 11y = 50. Умножим первое уравнение на −2: −4x − 10y = −8. Сложим со вторым: −21y = 42, y = −2. Тогда 2x = 4 + 10 = 14, x = 7. Ответ: (7; −2).
б) Первое уравнение: 2,5x − 7,5y − 3 = −3x + 0,5, откуда 5,5x − 7,5y = 3,5; умножим на 2: 11x − 15y = 7. Второе: 3x + 18y + 4 = 9y + 19, откуда 3x + 9y = 15, то есть x + 3y = 5. Умножим второе на −11: −11x − 33y = −55. Сложим с первым: −48y = −48, y = 1. Тогда x = 5 − 3 = 2. Ответ: (2; 1).
б) Первое уравнение: 2,5x − 7,5y − 3 = −3x + 0,5, откуда 5,5x − 7,5y = 3,5; умножим на 2: 11x − 15y = 7. Второе: 3x + 18y + 4 = 9y + 19, откуда 3x + 9y = 15, то есть x + 3y = 5. Умножим второе на −11: −11x − 33y = −55. Сложим с первым: −48y = −48, y = 1. Тогда x = 5 − 3 = 2. Ответ: (2; 1).
1109. Найдите решение системы уравнений: а) {(1/3)x + (1/4)y − 2 = 0, 5x − y = 11}; б) {0,5x + 0,2y = 7, (1/3)x − (1/10)y = 0}; в) {(1/5)m − (1/6)n = 0, 5m − 4n = 2}; г) {(1/6)u − (1/3)v = −3, 0,2u + 0,1v = 3,9}.
а) Умножим первое уравнение на 12: 4x + 3y = 24. Умножим второе на 3: 15x − 3y = 33. Сложим: 19x = 57, x = 3. Тогда y = 5x − 11 = 4. Ответ: x = 3, y = 4.
б) Умножим первое уравнение на 10: 5x + 2y = 70. Умножим второе на 30: 10x − 3y = 0. Умножим первое на −2: −10x − 4y = −140 и сложим со вторым: −7y = −140, y = 20. Тогда 10x = 60, x = 6. Ответ: x = 6, y = 20.
в) Умножим первое уравнение на 30: 6m − 5n = 0. Умножим его на 4: 24m − 20n = 0; второе умножим на −5: −25m + 20n = −10. Сложим: −m = −10, m = 10. Тогда 5n = 6m = 60, n = 12. Ответ: m = 10, n = 12.
г) Умножим первое уравнение на 6: u − 2v = −18. Умножим второе на 10: 2u + v = 39. Умножим второе на 2: 4u + 2v = 78 и сложим с первым: 5u = 60, u = 12. Тогда v = 39 − 24 = 15. Ответ: u = 12, v = 15.
б) Умножим первое уравнение на 10: 5x + 2y = 70. Умножим второе на 30: 10x − 3y = 0. Умножим первое на −2: −10x − 4y = −140 и сложим со вторым: −7y = −140, y = 20. Тогда 10x = 60, x = 6. Ответ: x = 6, y = 20.
в) Умножим первое уравнение на 30: 6m − 5n = 0. Умножим его на 4: 24m − 20n = 0; второе умножим на −5: −25m + 20n = −10. Сложим: −m = −10, m = 10. Тогда 5n = 6m = 60, n = 12. Ответ: m = 10, n = 12.
г) Умножим первое уравнение на 6: u − 2v = −18. Умножим второе на 10: 2u + v = 39. Умножим второе на 2: 4u + 2v = 78 и сложим с первым: 5u = 60, u = 12. Тогда v = 39 − 24 = 15. Ответ: u = 12, v = 15.
1110. Решите систему уравнений: а) {x/3 + y/4 − 5 = 0, 2x − y = 10}; б) {2x − 7y = 4, x/6 − y/6 = 0}; в) {2x/3 − y/2 = 0, 3(x − 1) − 9 = 1 − y}; г) {5x/6 − y = −5/6, 2x/3 + 3y = −2/3}.
а) Умножим первое уравнение на 12: 4x + 3y = 60. Умножим второе на 3: 6x − 3y = 30. Сложим: 10x = 90, x = 9. Тогда y = 2x − 10 = 8. Ответ: (9; 8).
б) Умножим второе уравнение на −12: −2x + 2y = 0. Сложим с первым: −5y = 4, y = −0,8. Из второго уравнения x = y = −0,8. Ответ: (−0,8; −0,8).
в) Умножим первое уравнение на 6: 4x − 3y = 0. Второе: 3x − 3 − 9 = 1 − y, то есть 3x + y = 13; умножим на 3: 9x + 3y = 39. Сложим с первым: 13x = 39, x = 3. Тогда y = 13 − 9 = 4. Ответ: (3; 4).
г) Умножим первое уравнение на 6: 5x − 6y = −5. Умножим второе на 3: 2x + 9y = −2. Умножим первое на 3, а второе на 2: 15x − 18y = −15 и 4x + 18y = −4. Сложим: 19x = −19, x = −1. Тогда 9y = −2 + 2 = 0, y = 0. Ответ: (−1; 0).
б) Умножим второе уравнение на −12: −2x + 2y = 0. Сложим с первым: −5y = 4, y = −0,8. Из второго уравнения x = y = −0,8. Ответ: (−0,8; −0,8).
в) Умножим первое уравнение на 6: 4x − 3y = 0. Второе: 3x − 3 − 9 = 1 − y, то есть 3x + y = 13; умножим на 3: 9x + 3y = 39. Сложим с первым: 13x = 39, x = 3. Тогда y = 13 − 9 = 4. Ответ: (3; 4).
г) Умножим первое уравнение на 6: 5x − 6y = −5. Умножим второе на 3: 2x + 9y = −2. Умножим первое на 3, а второе на 2: 15x − 18y = −15 и 4x + 18y = −4. Сложим: 19x = −19, x = −1. Тогда 9y = −2 + 2 = 0, y = 0. Ответ: (−1; 0).