Глава VI. §14. п.42 Системы линейных уравнений с двумя переменными — с. 212
1073. Является ли пара чисел u = 3, v = −1 решением системы уравнений: а) {3u + v = 8, 7u − 2v = 23}; б) {v + 2u = 5, u + 2v = 1}?
а) 3u + v = 9 − 1 = 8 — верно; 7u − 2v = 21 + 2 = 23 — верно. Является решением.
б) v + 2u = −1 + 6 = 5 — верно; u + 2v = 3 − 2 = 1 — верно. Является решением.
Ответ: в обоих случаях да.
б) v + 2u = −1 + 6 = 5 — верно; u + 2v = 3 − 2 = 1 — верно. Является решением.
Ответ: в обоих случаях да.
1074. Какие из пар (−3; 4), (−2; −6), (−4; 3) являются решениями системы уравнений: а) {x = y − 7, 3x + 4y = 0}; б) {13x − y = 0, 5x − y = −4}?
Подставим пары в оба уравнения (x — первое число пары, y — второе).
а) (−3; 4): x = y − 7 даёт −3 = 4 − 7 — верно; 3x + 4y = −9 + 16 = 7 ≠ 0 — неверно. Не подходит.
(−2; −6): −2 = −6 − 7 = −13 — неверно. Не подходит.
(−4; 3): −4 = 3 − 7 — верно; 3·(−4) + 4·3 = 0 — верно. Подходит.
б) (−3; 4): 13·(−3) − 4 = −43 ≠ 0. Не подходит.
(−2; −6): 13·(−2) + 6 = −20 ≠ 0. Не подходит.
(−4; 3): 13·(−4) − 3 = −55 ≠ 0. Не подходит.
(Для проверки: из первого уравнения y = 13x, тогда 5x − 13x = −4, x = 0,5, y = 6,5 — этой пары среди данных нет.)
Ответ: а) (−4; 3); б) ни одна из данных пар не является решением.
а) (−3; 4): x = y − 7 даёт −3 = 4 − 7 — верно; 3x + 4y = −9 + 16 = 7 ≠ 0 — неверно. Не подходит.
(−2; −6): −2 = −6 − 7 = −13 — неверно. Не подходит.
(−4; 3): −4 = 3 − 7 — верно; 3·(−4) + 4·3 = 0 — верно. Подходит.
б) (−3; 4): 13·(−3) − 4 = −43 ≠ 0. Не подходит.
(−2; −6): 13·(−2) + 6 = −20 ≠ 0. Не подходит.
(−4; 3): 13·(−4) − 3 = −55 ≠ 0. Не подходит.
(Для проверки: из первого уравнения y = 13x, тогда 5x − 13x = −4, x = 0,5, y = 6,5 — этой пары среди данных нет.)
Ответ: а) (−4; 3); б) ни одна из данных пар не является решением.
1075. Составьте какую-нибудь систему линейных уравнений с переменными x и y, решением которой служит пара: а) x = 4, y = 1; б) x = 0, y = 3.
Подберём два разных линейных уравнения, которым удовлетворяет пара.
а) x + y = 4 + 1 = 5 и x − y = 4 − 1 = 3. Система {x + y = 5, x − y = 3}.
б) x + y = 0 + 3 = 3 и 2x + y = 0 + 3 = 3. Система {x + y = 3, 2x + y = 3}.
Проверка б): 0 + 3 = 3 и 0 + 3 = 3.
Ответ: например, а) {x + y = 5, x − y = 3}; б) {x + y = 3, 2x + y = 3}. Возможны и другие системы.
а) x + y = 4 + 1 = 5 и x − y = 4 − 1 = 3. Система {x + y = 5, x − y = 3}.
б) x + y = 0 + 3 = 3 и 2x + y = 0 + 3 = 3. Система {x + y = 3, 2x + y = 3}.
Проверка б): 0 + 3 = 3 и 0 + 3 = 3.
Ответ: например, а) {x + y = 5, x − y = 3}; б) {x + y = 3, 2x + y = 3}. Возможны и другие системы.
1076. Решите графически систему линейных уравнений: а) {x − y = 1, x + 3y = 9}; б) {x + 2y = 4, −2x + 5y = 10}; в) {x + y = 0, −3x + 4y = 14}; г) {3x − 2y = 6, 3x + 10y = −12}.
В каждой системе строим графики обоих уравнений; координаты точки пересечения — решение системы.
а) x − y = 1: y = x − 1, точки (0; −1), (1; 0). x + 3y = 9: точки (0; 3), (3; 2). Прямые пересекаются в точке (3; 2). Проверка: 3 − 2 = 1; 3 + 6 = 9.
б) x + 2y = 4: точки (0; 2), (4; 0). −2x + 5y = 10: точки (0; 2), (−5; 0). Точка пересечения (0; 2). Проверка: 0 + 4 = 4; 0 + 10 = 10.
в) x + y = 0: точки (0; 0), (2; −2). −3x + 4y = 14: точки (−2; 2), (2; 5). Точка пересечения (−2; 2). Проверка: −2 + 2 = 0; 6 + 8 = 14.
г) 3x − 2y = 6: точки (0; −3), (2; 0). 3x + 10y = −12: точки (1; −1,5), (−4; 0). Точка пересечения (1; −1,5). Проверка: 3 + 3 = 6; 3 − 15 = −12.
Ответ: а) (3; 2); б) (0; 2); в) (−2; 2); г) (1; −1,5).
а) x − y = 1: y = x − 1, точки (0; −1), (1; 0). x + 3y = 9: точки (0; 3), (3; 2). Прямые пересекаются в точке (3; 2). Проверка: 3 − 2 = 1; 3 + 6 = 9.
б) x + 2y = 4: точки (0; 2), (4; 0). −2x + 5y = 10: точки (0; 2), (−5; 0). Точка пересечения (0; 2). Проверка: 0 + 4 = 4; 0 + 10 = 10.
в) x + y = 0: точки (0; 0), (2; −2). −3x + 4y = 14: точки (−2; 2), (2; 5). Точка пересечения (−2; 2). Проверка: −2 + 2 = 0; 6 + 8 = 14.
г) 3x − 2y = 6: точки (0; −3), (2; 0). 3x + 10y = −12: точки (1; −1,5), (−4; 0). Точка пересечения (1; −1,5). Проверка: 3 + 3 = 6; 3 − 15 = −12.
Ответ: а) (3; 2); б) (0; 2); в) (−2; 2); г) (1; −1,5).
1077. Решите графически систему уравнений: а) {x − 2y = 6, 3x + 2y = −6}; б) {x − y = 0, 2x + 3y = −5}.
а) x − 2y = 6: точки (0; −3), (6; 0). 3x + 2y = −6: точки (0; −3), (−2; 0). Обе прямые проходят через (0; −3) — это точка пересечения. Проверка: 0 + 6 = 6; 0 − 6 = −6.
б) x − y = 0: y = x, точки (0; 0), (−1; −1). 2x + 3y = −5: точки (−1; −1), (2; −3), (−2,5; 0). Прямые пересекаются в точке (−1; −1). Проверка: −1 + 1 = 0; −2 − 3 = −5.
Ответ: а) (0; −3); б) (−1; −1).
б) x − y = 0: y = x, точки (0; 0), (−1; −1). 2x + 3y = −5: точки (−1; −1), (2; −3), (−2,5; 0). Прямые пересекаются в точке (−1; −1). Проверка: −1 + 1 = 0; −2 − 3 = −5.
Ответ: а) (0; −3); б) (−1; −1).
1078. Выясните, имеет ли система решения и сколько: а) {4y − x = 12, 3y + x = −3}; б) {y − 3x = 0, 3y − x = 6}; в) {1,5x = 1, −3x + 2y = −2}; г) {x + 2y = 3, y = −0,5x}; д) {2x = 11 − 2y, 6y = 22 − 4x}; е) {−x + 2y = 8, x + 4y = 10}.
Выразим y через x в каждом уравнении и сравним угловые коэффициенты. Если они различны — прямые пересекаются и решение одно; если равны, а свободные члены различны — прямые параллельны, решений нет; если совпадают полностью — решений бесконечно много.
а) y = 0,25x + 3 и y = −x/3 − 1. Коэффициенты 0,25 и −1/3 различны — одно решение.
б) y = 3x и y = x/3 + 2. Коэффициенты 3 и 1/3 различны — одно решение.
в) Первое уравнение: x = 2/3 (вертикальная прямая); второе: y = 1,5x − 1 (не вертикальная). Прямые пересекаются — одно решение.
г) y = −0,5x + 1,5 и y = −0,5x. Коэффициенты равны, свободные члены 1,5 и 0 различны — прямые параллельны, решений нет.
д) 2x + 2y = 11, y = −x + 5,5; 4x + 6y = 22, y = −(2/3)x + 11/3. Коэффициенты −1 и −2/3 различны — одно решение.
е) y = 0,5x + 4 и y = −0,25x + 2,5. Коэффициенты 0,5 и −0,25 различны — одно решение.
Ответ: а), б), в), д), е) — по одному решению; г) решений нет.
а) y = 0,25x + 3 и y = −x/3 − 1. Коэффициенты 0,25 и −1/3 различны — одно решение.
б) y = 3x и y = x/3 + 2. Коэффициенты 3 и 1/3 различны — одно решение.
в) Первое уравнение: x = 2/3 (вертикальная прямая); второе: y = 1,5x − 1 (не вертикальная). Прямые пересекаются — одно решение.
г) y = −0,5x + 1,5 и y = −0,5x. Коэффициенты равны, свободные члены 1,5 и 0 различны — прямые параллельны, решений нет.
д) 2x + 2y = 11, y = −x + 5,5; 4x + 6y = 22, y = −(2/3)x + 11/3. Коэффициенты −1 и −2/3 различны — одно решение.
е) y = 0,5x + 4 и y = −0,25x + 2,5. Коэффициенты 0,5 и −0,25 различны — одно решение.
Ответ: а), б), в), д), е) — по одному решению; г) решений нет.
1079. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько: а) {x = 6y − 1, 2x − 10y = 3}; б) {5x + y = 4, x + y − 6 = 0}; в) {12x − 3y = 5, 6y − 24x = −10}?
1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
Обсуждение (задание 1). Ответ зависит от взаимного расположения прямых, являющихся графиками уравнений, то есть от угловых коэффициентов и свободных членов после выражения y через x: различные угловые коэффициенты — одно решение; равные угловые коэффициенты и разные свободные члены — решений нет; полностью совпавшие уравнения — бесконечно много решений.
а) x = 6y − 1 ⇒ y = (x + 1)/6 = x/6 + 1/6; 2x − 10y = 3 ⇒ y = 0,2x − 0,3. Угловые коэффициенты 1/6 и 1/5 различны — одно решение.
б) y = −5x + 4 и y = −x + 6. Коэффициенты −5 и −1 различны — одно решение.
в) 12x − 3y = 5 ⇒ y = 4x − 5/3; 6y − 24x = −10 ⇒ y = 4x − 5/3. Уравнения равносильны, прямые совпадают — бесконечно много решений.
Ответ: а) одно решение; б) одно решение; в) бесконечно много решений.
а) x = 6y − 1 ⇒ y = (x + 1)/6 = x/6 + 1/6; 2x − 10y = 3 ⇒ y = 0,2x − 0,3. Угловые коэффициенты 1/6 и 1/5 различны — одно решение.
б) y = −5x + 4 и y = −x + 6. Коэффициенты −5 и −1 различны — одно решение.
в) 12x − 3y = 5 ⇒ y = 4x − 5/3; 6y − 24x = −10 ⇒ y = 4x − 5/3. Уравнения равносильны, прямые совпадают — бесконечно много решений.
Ответ: а) одно решение; б) одно решение; в) бесконечно много решений.