Глава VI. §14. п.41 График линейного уравнения с двумя переменными — с. 208
1061. Принадлежит ли графику уравнения 3x + 4y = 12 точка: а) A(4; 1); б) B(1; 3); в) C(−6; −7,5); г) D(0; 3)?
Точка принадлежит графику, если её координаты обращают уравнение в верное равенство.
а) A(4; 1): 3·4 + 4·1 = 16 ≠ 12 — не принадлежит.
б) B(1; 3): 3·1 + 4·3 = 15 ≠ 12 — не принадлежит.
в) C(−6; −7,5): 3·(−6) + 4·(−7,5) = −18 − 30 = −48 ≠ 12 — не принадлежит.
г) D(0; 3): 3·0 + 4·3 = 12 — принадлежит.
Ответ: графику принадлежит только точка D.
а) A(4; 1): 3·4 + 4·1 = 16 ≠ 12 — не принадлежит.
б) B(1; 3): 3·1 + 4·3 = 15 ≠ 12 — не принадлежит.
в) C(−6; −7,5): 3·(−6) + 4·(−7,5) = −18 − 30 = −48 ≠ 12 — не принадлежит.
г) D(0; 3): 3·0 + 4·3 = 12 — принадлежит.
Ответ: графику принадлежит только точка D.
1062. Какие из точек A(6; 1), B(−6; −5), C(0; −2), D(−1; 3) принадлежат графику уравнения x − 2y = 4?
A(6; 1): 6 − 2·1 = 4 — принадлежит.
B(−6; −5): −6 − 2·(−5) = −6 + 10 = 4 — принадлежит.
C(0; −2): 0 − 2·(−2) = 4 — принадлежит.
D(−1; 3): −1 − 2·3 = −7 ≠ 4 — не принадлежит.
Ответ: A, B и C.
B(−6; −5): −6 − 2·(−5) = −6 + 10 = 4 — принадлежит.
C(0; −2): 0 − 2·(−2) = 4 — принадлежит.
D(−1; 3): −1 − 2·3 = −7 ≠ 4 — не принадлежит.
Ответ: A, B и C.
1063. Докажите, что графики уравнений 3x − y = −5, −x + 10y = 21, 11x + 21y = 31 проходят через точку P(−1; 2).
Подставим x = −1, y = 2 в каждое уравнение.
3x − y = 3·(−1) − 2 = −5 — верно.
−x + 10y = 1 + 20 = 21 — верно.
11x + 21y = −11 + 42 = 31 — верно.
Координаты точки P удовлетворяют всем трём уравнениям, значит, все три графика проходят через P(−1; 2). Что и требовалось доказать.
3x − y = 3·(−1) − 2 = −5 — верно.
−x + 10y = 1 + 20 = 21 — верно.
11x + 21y = −11 + 42 = 31 — верно.
Координаты точки P удовлетворяют всем трём уравнениям, значит, все три графика проходят через P(−1; 2). Что и требовалось доказать.
1064. Постройте график уравнения: а) 2x − y = 6; б) 1,5x + 2y = 3; в) x + 6y = 0; г) 0,5y − x = 1; д) 1,2x = −4,8; е) 1,5y = 6.
Графиком линейного уравнения является прямая, поэтому достаточно двух точек.
а) y = 2x − 6. Точки: x = 0, y = −6; x = 3, y = 0. Прямая через (0; −6) и (3; 0).
б) y = 1,5 − 0,75x. Точки: x = 0, y = 1,5; x = 2, y = 0. Прямая через (0; 1,5) и (2; 0).
в) y = −x/6. Точки: x = 0, y = 0; x = 6, y = −1. Прямая через (0; 0) и (6; −1).
г) y = 2x + 2. Точки: x = 0, y = 2; x = −1, y = 0. Прямая через (0; 2) и (−1; 0).
д) x = −4. Это прямая, параллельная оси y и проходящая через точку (−4; 0).
е) y = 4. Это прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; 4).
Графики а), б), в) показаны на левом рисунке, г), д), е) — на правом.
а) y = 2x − 6. Точки: x = 0, y = −6; x = 3, y = 0. Прямая через (0; −6) и (3; 0).
б) y = 1,5 − 0,75x. Точки: x = 0, y = 1,5; x = 2, y = 0. Прямая через (0; 1,5) и (2; 0).
в) y = −x/6. Точки: x = 0, y = 0; x = 6, y = −1. Прямая через (0; 0) и (6; −1).
г) y = 2x + 2. Точки: x = 0, y = 2; x = −1, y = 0. Прямая через (0; 2) и (−1; 0).
д) x = −4. Это прямая, параллельная оси y и проходящая через точку (−4; 0).
е) y = 4. Это прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; 4).
Графики а), б), в) показаны на левом рисунке, г), д), е) — на правом.
1065. Постройте график уравнения: а) x + y = 5; б) y − 4x = 0; в) 1,6x = 4,8; г) 0,5y = 1,5.
а) y = 5 − x. Точки (0; 5) и (5; 0). Через них проводим прямую.
б) y = 4x. Точки (0; 0) и (1; 4). Прямая проходит через начало координат.
в) 1,6x = 4,8, x = 3. Графиком служит прямая, параллельная оси y и проходящая через точку (3; 0).
г) 0,5y = 1,5, y = 3. Графиком служит прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; 3).
Все четыре прямые построены на одной координатной плоскости.
б) y = 4x. Точки (0; 0) и (1; 4). Прямая проходит через начало координат.
в) 1,6x = 4,8, x = 3. Графиком служит прямая, параллельная оси y и проходящая через точку (3; 0).
г) 0,5y = 1,5, y = 3. Графиком служит прямая, параллельная оси x и проходящая через точку (0; 3).
Все четыре прямые построены на одной координатной плоскости.
1066. Постройте график уравнения: а) x − y − 1 = 0; б) 3x = y + 4; в) 2(x − y) + 3y = 4; г) (x + y) − (x − y) = 4.
Сначала упростим уравнения.
а) x − y − 1 = 0, y = x − 1. Точки (0; −1) и (1; 0).
б) 3x = y + 4, y = 3x − 4. Точки (0; −4) и (2; 2).
в) 2x − 2y + 3y = 4, 2x + y = 4, y = 4 − 2x. Точки (0; 4) и (2; 0).
г) x + y − x + y = 4, 2y = 4, y = 2. Прямая, параллельная оси x, через точку (0; 2).
Графики построены на одной координатной плоскости и подписаны буквами а), б), в), г).
а) x − y − 1 = 0, y = x − 1. Точки (0; −1) и (1; 0).
б) 3x = y + 4, y = 3x − 4. Точки (0; −4) и (2; 2).
в) 2x − 2y + 3y = 4, 2x + y = 4, y = 4 − 2x. Точки (0; 4) и (2; 0).
г) x + y − x + y = 4, 2y = 4, y = 2. Прямая, параллельная оси x, через точку (0; 2).
Графики построены на одной координатной плоскости и подписаны буквами а), б), в), г).
1067. На прямой, являющейся графиком уравнения 21x − 5y = 100, взята точка, абсцисса которой равна 3. Найдите ординату этой точки.
Подставим x = 3: 21·3 − 5y = 100, 63 − 5y = 100, −5y = 37, y = −7,4.
Проверка: 63 − 5·(−7,4) = 63 + 37 = 100.
Ответ: −7,4.
Проверка: 63 − 5·(−7,4) = 63 + 37 = 100.
Ответ: −7,4.
1068. Известно, что ордината некоторой точки прямой, являющейся графиком уравнения 12x − 5y = 132, равна 0. Найдите абсциссу этой точки.
Подставим y = 0: 12x − 0 = 132, x = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11.
1069. (Для работы в парах.) Не выполняя построения, определите, в каких координатных четвертях расположен график уравнения: а) 12x − 8y = 25; б) 6x + 3y = 11; в) 1,5x = 150; г) 0,2x = 43.
1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при a ≥ 0, b ≥ 0 может быть расположен график уравнения: ax = b; ay = b; ax + by = c.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
1) Обсудите друг с другом, в каких координатных углах при a ≥ 0, b ≥ 0 может быть расположен график уравнения: ax = b; ay = b; ax + by = c.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто — задания б), г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
а) 12x − 8y = 25, y = 1,5x − 3,125. Угловой коэффициент положителен, прямая не проходит через начало координат и пересекает ось y в точке (0; −3,125), ниже начала. Значит, при x < 0 всегда y < 0 (нет точек во II четверти), при больших x значения y положительны. Прямая проходит через I, III и IV четверти.
б) 6x + 3y = 11, y = −2x + 11/3. Угловой коэффициент отрицателен, ось y пересекается в точке (0; 11/3) выше начала. При x < 0 всегда y > 0 (нет точек в III четверти). Прямая проходит через I, II и IV четверти.
в) 1,5x = 150, x = 100. Вертикальная прямая правее оси y — через I и IV четверти.
г) 0,2x = 43, x = 215. Вертикальная прямая правее оси y — через I и IV четверти.
Обсуждение (задание 1). Считаем, что хотя бы один из коэффициентов в уравнении не равен нулю, чтобы график был прямой.
ax = b при a > 0: x = b/a ≥ 0. Если b > 0, то это вертикальная прямая в I и IV четвертях; если b = 0, то это сама ось y.
ay = b при a > 0: y = b/a ≥ 0. Если b > 0, то это горизонтальная прямая в I и II четвертях; если b = 0, то это ось x.
ax + by = c: если a > 0 и b > 0, угловой коэффициент −a/b отрицателен; при c > 0 прямая проходит через I, II, IV четверти, при c < 0 — через II, III, IV, при c = 0 — через начало координат и II, IV четверти. Если b = 0, a > 0, то x = c/a: при c > 0 — I и IV четверти, при c < 0 — II и III. Если a = 0, b > 0, то y = c/b: при c > 0 — I и II, при c < 0 — III и IV.
Ответ: а) I, III, IV; б) I, II, IV; в) I, IV; г) I, IV.
б) 6x + 3y = 11, y = −2x + 11/3. Угловой коэффициент отрицателен, ось y пересекается в точке (0; 11/3) выше начала. При x < 0 всегда y > 0 (нет точек в III четверти). Прямая проходит через I, II и IV четверти.
в) 1,5x = 150, x = 100. Вертикальная прямая правее оси y — через I и IV четверти.
г) 0,2x = 43, x = 215. Вертикальная прямая правее оси y — через I и IV четверти.
Обсуждение (задание 1). Считаем, что хотя бы один из коэффициентов в уравнении не равен нулю, чтобы график был прямой.
ax = b при a > 0: x = b/a ≥ 0. Если b > 0, то это вертикальная прямая в I и IV четвертях; если b = 0, то это сама ось y.
ay = b при a > 0: y = b/a ≥ 0. Если b > 0, то это горизонтальная прямая в I и II четвертях; если b = 0, то это ось x.
ax + by = c: если a > 0 и b > 0, угловой коэффициент −a/b отрицателен; при c > 0 прямая проходит через I, II, IV четверти, при c < 0 — через II, III, IV, при c = 0 — через начало координат и II, IV четверти. Если b = 0, a > 0, то x = c/a: при c > 0 — I и IV четверти, при c < 0 — II и III. Если a = 0, b > 0, то y = c/b: при c > 0 — I и II, при c < 0 — III и IV.
Ответ: а) I, III, IV; б) I, II, IV; в) I, IV; г) I, IV.