Глава VI. §14. п.40 Линейное уравнение с двумя переменными — с. 205
1052. Из двухрублёвых и пятирублёвых монет составлена сумма в 28 р. Сколько было взято двухрублёвых монет?
Пусть взято x двухрублёвых и y пятирублёвых монет (x и y — натуральные числа). Тогда 2x + 5y = 28.
Выразим x: x = (28 − 5y)/2. Число x целое, если 5y чётно, то есть y чётно.
y = 2: x = (28 − 10)/2 = 9; y = 4: x = (28 − 20)/2 = 4; y = 6 дало бы 30 > 28, не подходит.
Значит, двухрублёвых монет было 9 (пятирублёвых 2) или 4 (пятирублёвых 4).
Ответ: 9 или 4 монеты.
Оговорка: считаем, что монеты обоих видов были взяты, поэтому случай 14 двухрублёвых и ни одной пятирублёвой не рассматриваем.
Выразим x: x = (28 − 5y)/2. Число x целое, если 5y чётно, то есть y чётно.
y = 2: x = (28 − 10)/2 = 9; y = 4: x = (28 − 20)/2 = 4; y = 6 дало бы 30 > 28, не подходит.
Значит, двухрублёвых монет было 9 (пятирублёвых 2) или 4 (пятирублёвых 4).
Ответ: 9 или 4 монеты.
Оговорка: считаем, что монеты обоих видов были взяты, поэтому случай 14 двухрублёвых и ни одной пятирублёвой не рассматриваем.
1053. Ученик купил тетради по 50 р. и карандаши по 70 р. Сколько тетрадей купил ученик, если известно, что за всю покупку он заплатил 440 р.?
Пусть куплено x тетрадей и y карандашей (натуральные числа). Тогда 50x + 70y = 440, или 5x + 7y = 44.
x = (44 − 7y)/5. Переберём y:
y = 1: 37/5 — не целое;
y = 2: 30/5 = 6 — подходит;
y = 3: 23/5 — не целое;
y = 4: 16/5 — не целое;
y = 5: 9/5 — не целое;
y = 6: 2/5 — не целое; при y ≥ 7 число 44 − 7y отрицательно.
Единственное решение: x = 6, y = 2. Проверка: 50·6 + 70·2 = 300 + 140 = 440.
Ответ: 6 тетрадей.
x = (44 − 7y)/5. Переберём y:
y = 1: 37/5 — не целое;
y = 2: 30/5 = 6 — подходит;
y = 3: 23/5 — не целое;
y = 4: 16/5 — не целое;
y = 5: 9/5 — не целое;
y = 6: 2/5 — не целое; при y ≥ 7 число 44 − 7y отрицательно.
Единственное решение: x = 6, y = 2. Проверка: 50·6 + 70·2 = 300 + 140 = 440.
Ответ: 6 тетрадей.
1054. Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, уплатив за покупку 3200 р. Глубокая тарелка стоит 350 р., а мелкая тарелка стоит 300 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хозяйка?
Пусть куплено x глубоких и y мелких тарелок. Тогда 350x + 300y = 3200. Разделим на 50: 7x + 6y = 64.
y = (64 − 7x)/6. Переберём x (7x < 64, то есть x ≤ 9):
x = 1: 57/6 — не целое; x = 2: 50/6 — нет; x = 3: 43/6 — нет;
x = 4: 36/6 = 6 — подходит;
x = 5: 29/6 — нет; x = 6: 22/6 — нет; x = 7: 15/6 — нет; x = 8: 8/6 — нет; x = 9: 1/6 — нет.
Проверка: 350·4 + 300·6 = 1400 + 1800 = 3200.
Ответ: 4 глубокие и 6 мелких тарелок.
y = (64 − 7x)/6. Переберём x (7x < 64, то есть x ≤ 9):
x = 1: 57/6 — не целое; x = 2: 50/6 — нет; x = 3: 43/6 — нет;
x = 4: 36/6 = 6 — подходит;
x = 5: 29/6 — нет; x = 6: 22/6 — нет; x = 7: 15/6 — нет; x = 8: 8/6 — нет; x = 9: 1/6 — нет.
Проверка: 350·4 + 300·6 = 1400 + 1800 = 3200.
Ответ: 4 глубокие и 6 мелких тарелок.
1055. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 20 кг муки?
Пусть взяли x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x + 2y = 20, y = (20 − 3x)/2.
y целое, если 3x чётно, то есть x чётно, и 20 − 3x > 0.
x = 2: y = 7; x = 4: y = 4; x = 6: y = 1; x = 8 даёт 24 > 20.
Проверка: 3·2 + 2·7 = 20; 3·4 + 2·4 = 20; 3·6 + 2·1 = 20.
Ответ: 2 пакета по 3 кг и 7 по 2 кг, или 4 и 4, или 6 и 1.
y целое, если 3x чётно, то есть x чётно, и 20 − 3x > 0.
x = 2: y = 7; x = 4: y = 4; x = 6: y = 1; x = 8 даёт 24 > 20.
Проверка: 3·2 + 2·7 = 20; 3·4 + 2·4 = 20; 3·6 + 2·1 = 20.
Ответ: 2 пакета по 3 кг и 7 по 2 кг, или 4 и 4, или 6 и 1.
1056. (Для работы в парах.) Купили тетради в линейку, по 10 р. за каждую, и тетради в клетку, по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.
а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.
б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
1) Выполните совместно задания а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто — задание г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.
б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
1) Выполните совместно задания а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто — задание г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
Пусть куплено x тетрадей в линейку и y тетрадей в клетку. Тогда 10x + 15y = 320, или 2x + 3y = 64.
а) Если x = y, то 5x = 64, x = 12,8 — не целое. Одинаковое количество купить нельзя.
б) x = (64 − 3y)/2 — целое, если y чётно. Пусть y = 2k, тогда x = 32 − 3k. Нужно x ≥ 1 и y ≥ 1: k от 1 до 10.
Пары (x; y): (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).
Проверка одной пары: 10·29 + 15·2 = 290 + 30 = 320.
в) Всего тетрадей x + y = 32 − 3k + 2k = 32 − k. Наибольшее значение при k = 1: 31 тетрадь (29 в линейку и 2 в клетку).
г) Наименьшее значение при k = 10: 22 тетради (2 в линейку и 20 в клетку). Проверка: 20 + 300 = 320.
Ответ: а) нельзя; б) десять пар, перечисленных выше; в) 31; г) 22.
Оговорка: считаем, что тетради обоих видов куплены, то есть x ≥ 1 и y ≥ 1.
а) Если x = y, то 5x = 64, x = 12,8 — не целое. Одинаковое количество купить нельзя.
б) x = (64 − 3y)/2 — целое, если y чётно. Пусть y = 2k, тогда x = 32 − 3k. Нужно x ≥ 1 и y ≥ 1: k от 1 до 10.
Пары (x; y): (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).
Проверка одной пары: 10·29 + 15·2 = 290 + 30 = 320.
в) Всего тетрадей x + y = 32 − 3k + 2k = 32 − k. Наибольшее значение при k = 1: 31 тетрадь (29 в линейку и 2 в клетку).
г) Наименьшее значение при k = 10: 22 тетради (2 в линейку и 20 в клетку). Проверка: 20 + 300 = 320.
Ответ: а) нельзя; б) десять пар, перечисленных выше; в) 31; г) 22.
Оговорка: считаем, что тетради обоих видов куплены, то есть x ≥ 1 и y ≥ 1.
1057. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.
Пусть число имеет a десятков и b единиц: 10a + b, причём a ≥ 1. После перестановки получится 10b + a.
По условию (10b + a) − (10a + b) = 54, 9b − 9a = 54, b − a = 6, b = a + 6.
Цифра b ≤ 9, значит, a ≤ 3: a = 1, b = 7; a = 2, b = 8; a = 3, b = 9.
Получаем числа 17, 28, 39. Проверка: 71 − 17 = 54; 82 − 28 = 54; 93 − 39 = 54.
Ответ: 17, 28 или 39.
По условию (10b + a) − (10a + b) = 54, 9b − 9a = 54, b − a = 6, b = a + 6.
Цифра b ≤ 9, значит, a ≤ 3: a = 1, b = 7; a = 2, b = 8; a = 3, b = 9.
Получаем числа 17, 28, 39. Проверка: 71 − 17 = 54; 82 − 28 = 54; 93 − 39 = 54.
Ответ: 17, 28 или 39.
1058. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 — остаток 2.
Пусть число n = 5x + 1 = 6y + 2, где x и y — целые неотрицательные. Тогда 5x − 6y = 1.
Числа с остатком 1 при делении на 5: 1, 6, 11, 16, 21, 26, ... Проверим остатки от деления на 6:
1 → 1; 6 → 0; 11 → 5; 16 → 4; 21 → 3; 26 → 2 — подходит.
Проверка: 26 = 5·5 + 1 = 6·4 + 2.
Ответ: 26.
Числа с остатком 1 при делении на 5: 1, 6, 11, 16, 21, 26, ... Проверим остатки от деления на 6:
1 → 1; 6 → 0; 11 → 5; 16 → 4; 21 → 3; 26 → 2 — подходит.
Проверка: 26 = 5·5 + 1 = 6·4 + 2.
Ответ: 26.
1059. Найдите значение выражения: а) 2c(c − 4)² − c²(2c − 10) при c = 0,2; б) (a − 4b)(4b + a) при a = 1,2, b = −0,6; в) 3p(1 + 0,1p)² − 0,6p² при p = −2.
а) Упростим: 2c(c² − 8c + 16) − 2c³ + 10c² = 2c³ − 16c² + 32c − 2c³ + 10c² = −6c² + 32c.
При c = 0,2: −6·0,04 + 32·0,2 = −0,24 + 6,4 = 6,16.
б) (a − 4b)(a + 4b) = a² − 16b². При a = 1,2, b = −0,6: 1,44 − 16·0,36 = 1,44 − 5,76 = −4,32.
в) 3p(1 + 0,2p + 0,01p²) − 0,6p² = 3p + 0,6p² + 0,03p³ − 0,6p² = 3p + 0,03p³.
При p = −2: −6 + 0,03·(−8) = −6 − 0,24 = −6,24.
Ответ: а) 6,16; б) −4,32; в) −6,24.
При c = 0,2: −6·0,04 + 32·0,2 = −0,24 + 6,4 = 6,16.
б) (a − 4b)(a + 4b) = a² − 16b². При a = 1,2, b = −0,6: 1,44 − 16·0,36 = 1,44 − 5,76 = −4,32.
в) 3p(1 + 0,2p + 0,01p²) − 0,6p² = 3p + 0,6p² + 0,03p³ − 0,6p² = 3p + 0,03p³.
При p = −2: −6 + 0,03·(−8) = −6 − 0,24 = −6,24.
Ответ: а) 6,16; б) −4,32; в) −6,24.
1060. Разложите на множители: а) 1 + a − a² − a³; б) 8 − b³ + 4b − 2b².
а) Сгруппируем: (1 + a) − a²(1 + a) = (1 + a)(1 − a²) = (1 + a)(1 − a)(1 + a) = (1 + a)²(1 − a).
б) Сгруппируем: (8 + 4b) − (b³ + 2b²) = 4(2 + b) − b²(b + 2) = (2 + b)(4 − b²) = (2 + b)(2 − b)(2 + b) = (2 − b)(2 + b)².
Ответ: а) (1 + a)²(1 − a); б) (2 − b)(2 + b)².
б) Сгруппируем: (8 + 4b) − (b³ + 2b²) = 4(2 + b) − b²(b + 2) = (2 + b)(4 − b²) = (2 + b)(2 − b)(2 + b) = (2 − b)(2 + b)².
Ответ: а) (1 + a)²(1 − a); б) (2 − b)(2 + b)².