Глава V. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 — с. 200
1034. Преобразуйте в произведение выражение: а) a² + b² − 2ab − 25; б) 36 − b² − c² + 2bc; в) 49 − 2ax − a² − x²; г) b² − a² − 12a − 36; д) 81a² + 6bc − 9b² − c²; е) b²c² − 4bc − b² − c² + 1.
Выделяем полный квадрат, затем применяем формулу разности квадратов.
а) (a − b)² − 25 = (a − b − 5)(a − b + 5).
б) 36 − (b² − 2bc + c²) = 36 − (b − c)² = (6 − b + c)(6 + b − c).
в) 49 − (a² + 2ax + x²) = 49 − (a + x)² = (7 − a − x)(7 + a + x).
г) b² − (a² + 12a + 36) = b² − (a + 6)² = (b − a − 6)(b + a + 6).
д) 81a² − (9b² − 6bc + c²) = (9a)² − (3b − c)² = (9a − 3b + c)(9a + 3b − c).
е) b²c² − 4bc − b² − c² + 1 = (b²c² − 2bc + 1) − (b² + 2bc + c²) = (bc − 1)² − (b + c)² = (bc − 1 − b − c)(bc − 1 + b + c).
а) (a − b)² − 25 = (a − b − 5)(a − b + 5).
б) 36 − (b² − 2bc + c²) = 36 − (b − c)² = (6 − b + c)(6 + b − c).
в) 49 − (a² + 2ax + x²) = 49 − (a + x)² = (7 − a − x)(7 + a + x).
г) b² − (a² + 12a + 36) = b² − (a + 6)² = (b − a − 6)(b + a + 6).
д) 81a² − (9b² − 6bc + c²) = (9a)² − (3b − c)² = (9a − 3b + c)(9a + 3b − c).
е) b²c² − 4bc − b² − c² + 1 = (b²c² − 2bc + 1) − (b² + 2bc + c²) = (bc − 1)² − (b + c)² = (bc − 1 − b − c)(bc − 1 + b + c).
1035. Разложите на множители: а) x³ + y³ + 2xy(x + y); б) x³ − y³ − 5x(x² + xy + y²); в) 2b³ + a(a² − 3b²); г) p³ − 2p² + 2p − 1; д) 8b³ + 6b² + 3b + 1; е) a³ − 4a² + 20a − 125.
а) (x + y)(x² − xy + y²) + 2xy(x + y) = (x + y)(x² − xy + y² + 2xy) = (x + y)(x² + xy + y²).
б) (x − y)(x² + xy + y²) − 5x(x² + xy + y²) = (x² + xy + y²)(x − y − 5x) = −(4x + y)(x² + xy + y²).
в) 2b³ + a³ − 3ab² = a³ − ab² − 2ab² + 2b³ = a(a² − b²) − 2b²(a − b) = (a − b)(a(a + b) − 2b²) = (a − b)(a² + ab − 2b²) = (a − b)(a − b)(a + 2b) = (a − b)²(a + 2b).
г) (p³ − 1) − 2p(p − 1) = (p − 1)(p² + p + 1) − 2p(p − 1) = (p − 1)(p² − p + 1).
д) (8b³ + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b² − 2b + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b² + b + 1).
е) (a³ − 125) − 4a(a − 5) = (a − 5)(a² + 5a + 25) − 4a(a − 5) = (a − 5)(a² + a + 25).
б) (x − y)(x² + xy + y²) − 5x(x² + xy + y²) = (x² + xy + y²)(x − y − 5x) = −(4x + y)(x² + xy + y²).
в) 2b³ + a³ − 3ab² = a³ − ab² − 2ab² + 2b³ = a(a² − b²) − 2b²(a − b) = (a − b)(a(a + b) − 2b²) = (a − b)(a² + ab − 2b²) = (a − b)(a − b)(a + 2b) = (a − b)²(a + 2b).
г) (p³ − 1) − 2p(p − 1) = (p − 1)(p² + p + 1) − 2p(p − 1) = (p − 1)(p² − p + 1).
д) (8b³ + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b² − 2b + 1) + 3b(2b + 1) = (2b + 1)(4b² + b + 1).
е) (a³ − 125) − 4a(a − 5) = (a − 5)(a² + 5a + 25) − 4a(a − 5) = (a − 5)(a² + a + 25).
1036. Представьте в виде произведения: а) x³ + y³ + 2x² − 2xy + 2y²; б) a³ − b³ + 3a² + 3ab + 3b²; в) a^4 + ab³ − a³b − b^4; г) x^4 + x³y − xy³ − y^4.
а) (x + y)(x² − xy + y²) + 2(x² − xy + y²) = (x² − xy + y²)(x + y + 2).
б) (a − b)(a² + ab + b²) + 3(a² + ab + b²) = (a² + ab + b²)(a − b + 3).
в) a(a³ + b³) − b(a³ + b³) = (a − b)(a³ + b³) = (a − b)(a + b)(a² − ab + b²).
г) x³(x + y) − y³(x + y) = (x + y)(x³ − y³) = (x + y)(x − y)(x² + xy + y²).
б) (a − b)(a² + ab + b²) + 3(a² + ab + b²) = (a² + ab + b²)(a − b + 3).
в) a(a³ + b³) − b(a³ + b³) = (a − b)(a³ + b³) = (a − b)(a + b)(a² − ab + b²).
г) x³(x + y) − y³(x + y) = (x + y)(x³ − y³) = (x + y)(x − y)(x² + xy + y²).
1037. Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения: а) x² − 2xy + y² + a²; б) 4x² + a² − 4x + 1; в) 9b² − 6b + 4c² + 1; г) a² + 2ab + 2b² + 2b + 1; д) x² − 4xy + y² + x²y² + 1; е) x² + y² + 2x + 6y + 10.
Представим каждый многочлен в виде суммы квадратов; квадрат любого выражения неотрицателен, поэтому и сумма квадратов неотрицательна.
а) (x − y)² + a² ≥ 0.
б) (4x² − 4x + 1) + a² = (2x − 1)² + a² ≥ 0.
в) (9b² − 6b + 1) + 4c² = (3b − 1)² + (2c)² ≥ 0.
г) (a² + 2ab + b²) + (b² + 2b + 1) = (a + b)² + (b + 1)² ≥ 0.
д) (x² − 2xy + y²) + (x²y² − 2xy + 1) = (x − y)² + (xy − 1)² ≥ 0.
е) (x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) = (x + 1)² + (y + 3)² ≥ 0.
а) (x − y)² + a² ≥ 0.
б) (4x² − 4x + 1) + a² = (2x − 1)² + a² ≥ 0.
в) (9b² − 6b + 1) + 4c² = (3b − 1)² + (2c)² ≥ 0.
г) (a² + 2ab + b²) + (b² + 2b + 1) = (a + b)² + (b + 1)² ≥ 0.
д) (x² − 2xy + y²) + (x²y² − 2xy + 1) = (x − y)² + (xy − 1)² ≥ 0.
е) (x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) = (x + 1)² + (y + 3)² ≥ 0.
1038. Может ли выражение: а) a² + 16a + 64 принимать отрицательные значения; б) −b² − 25 + 10b принимать положительные значения; в) −x² + 6x − 9 принимать неотрицательные значения; г) (y + 10)² − 0,1 принимать отрицательные значения; д) 0,001 − (a + 100)² принимать положительные значения?
а) a² + 16a + 64 = (a + 8)² ≥ 0 при любом a. Отрицательных значений не принимает: нет.
б) −b² + 10b − 25 = −(b − 5)² ≤ 0 при любом b. Положительных значений не принимает: нет.
в) −x² + 6x − 9 = −(x − 3)² ≤ 0. Значение равно нулю при x = 3, а ноль — неотрицательное число. Да, может (принимает значение 0).
г) При y = −10 получаем 0 − 0,1 = −0,1 < 0. Да, может.
д) При a = −100 получаем 0,001 − 0 = 0,001 > 0. Да, может.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) да; д) да.
б) −b² + 10b − 25 = −(b − 5)² ≤ 0 при любом b. Положительных значений не принимает: нет.
в) −x² + 6x − 9 = −(x − 3)² ≤ 0. Значение равно нулю при x = 3, а ноль — неотрицательное число. Да, может (принимает значение 0).
г) При y = −10 получаем 0 − 0,1 = −0,1 < 0. Да, может.
д) При a = −100 получаем 0,001 − 0 = 0,001 > 0. Да, может.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) да; д) да.
1039. Делится ли на 5 при любом целом n выражение: а) (2n + 3)(3n − 7) − (n + 1)(n − 1); б) (7n + 8)(n − 1) + (3n − 2)(n + 2)?
а) (2n + 3)(3n − 7) = 6n² − 14n + 9n − 21 = 6n² − 5n − 21; (n + 1)(n − 1) = n² − 1. Разность: 5n² − 5n − 20 = 5(n² − n − 4). Множитель 5 есть, значение делится на 5 при любом целом n.
б) (7n + 8)(n − 1) = 7n² + n − 8; (3n − 2)(n + 2) = 3n² + 4n − 4. Сумма: 10n² + 5n − 12. Первые два слагаемых делятся на 5, а число −12 на 5 не делится, поэтому при целом n выражение на 5 не делится.
Ответ: а) да; б) нет.
б) (7n + 8)(n − 1) = 7n² + n − 8; (3n − 2)(n + 2) = 3n² + 4n − 4. Сумма: 10n² + 5n − 12. Первые два слагаемых делятся на 5, а число −12 на 5 не делится, поэтому при целом n выражение на 5 не делится.
Ответ: а) да; б) нет.
1040. Докажите тождество (10n + 5)² = 100n(n + 1) + 25. Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу 25², 45², 75², 115².
Доказательство: (10n + 5)² = 100n² + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25.
Правило. Число, оканчивающееся цифрой 5, имеет вид 10n + 5, где n — число его десятков (для 115 это n = 11). Его квадрат равен 100n(n + 1) + 25: нужно число десятков n умножить на следующее натуральное число n + 1 и справа приписать 25.
25²: n = 2, 2·3 = 6, получаем 625.
45²: n = 4, 4·5 = 20, получаем 2025.
75²: n = 7, 7·8 = 56, получаем 5625.
115²: n = 11, 11·12 = 132, получаем 13225.
Правило. Число, оканчивающееся цифрой 5, имеет вид 10n + 5, где n — число его десятков (для 115 это n = 11). Его квадрат равен 100n(n + 1) + 25: нужно число десятков n умножить на следующее натуральное число n + 1 и справа приписать 25.
25²: n = 2, 2·3 = 6, получаем 625.
45²: n = 4, 4·5 = 20, получаем 2025.
75²: n = 7, 7·8 = 56, получаем 5625.
115²: n = 11, 11·12 = 132, получаем 13225.