Глава V. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 — с. 198
1009. Докажите, что функция, заданная формулой y = (2x − 5)(3 + 8x) − (1 − 4x)², линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка A(−1; 10); точка B(0; 16)?
Преобразуем правую часть: (2x − 5)(3 + 8x) = 6x + 16x² − 15 − 40x = 16x² − 34x − 15; (1 − 4x)² = 1 − 8x + 16x². Тогда y = 16x² − 34x − 15 − 1 + 8x − 16x² = −26x − 16.
Формула имеет вид y = kx + b при k = −26, b = −16, значит, функция линейная.
Точка A(−1; 10): y(−1) = −26·(−1) − 16 = 10, ордината совпадает, точка A принадлежит графику.
Точка B(0; 16): y(0) = −16 ≠ 16, точка B графику не принадлежит.
Ответ: A принадлежит, B не принадлежит.
Формула имеет вид y = kx + b при k = −26, b = −16, значит, функция линейная.
Точка A(−1; 10): y(−1) = −26·(−1) − 16 = 10, ордината совпадает, точка A принадлежит графику.
Точка B(0; 16): y(0) = −16 ≠ 16, точка B графику не принадлежит.
Ответ: A принадлежит, B не принадлежит.
1010. Найдите значение выражения: а) (3n − 1)(n + 1) + (2n − 1)(n − 1) − (3n + 5)(n − 2) при n = −3,5; б) (5y − 1)(2 − y) − (3y + 4)(1 − y) + (2y + 6)(y − 3) при y = 4.
а) (3n − 1)(n + 1) = 3n² + 2n − 1; (2n − 1)(n − 1) = 2n² − 3n + 1; (3n + 5)(n − 2) = 3n² − n − 10. Выражение: 3n² + 2n − 1 + 2n² − 3n + 1 − 3n² + n + 10 = 2n² + 10. При n = −3,5: 2·12,25 + 10 = 34,5.
б) (5y − 1)(2 − y) = −5y² + 11y − 2; (3y + 4)(1 − y) = −3y² − y + 4; (2y + 6)(y − 3) = 2y² − 18. Выражение: −5y² + 11y − 2 + 3y² + y − 4 + 2y² − 18 = 12y − 24. При y = 4: 48 − 24 = 24.
Ответ: а) 34,5; б) 24.
б) (5y − 1)(2 − y) = −5y² + 11y − 2; (3y + 4)(1 − y) = −3y² − y + 4; (2y + 6)(y − 3) = 2y² − 18. Выражение: −5y² + 11y − 2 + 3y² + y − 4 + 2y² − 18 = 12y − 24. При y = 4: 48 − 24 = 24.
Ответ: а) 34,5; б) 24.
1011. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: а) (a − 3)(a² − 8a + 5) − (a − 8)(a² − 3a + 5); б) (x² − 3x + 2)(2x + 5) − (2x² + 7x + 17)(x − 4).
а) (a − 3)(a² − 8a + 5) = a³ − 11a² + 29a − 15; (a − 8)(a² − 3a + 5) = a³ − 11a² + 29a − 40. Разность равна −15 + 40 = 25.
б) (x² − 3x + 2)(2x + 5) = 2x³ − x² − 11x + 10; (2x² + 7x + 17)(x − 4) = 2x³ − x² − 11x − 68. Разность равна 10 + 68 = 78.
Получены числа 25 и 78, не зависящие от переменной.
б) (x² − 3x + 2)(2x + 5) = 2x³ − x² − 11x + 10; (2x² + 7x + 17)(x − 4) = 2x³ − x² − 11x − 68. Разность равна 10 + 68 = 78.
Получены числа 25 и 78, не зависящие от переменной.
1012. Докажите тождество (a² + b²)(ab + cd) − ab(a² + b² − c² − d²) = (ac + bd)(ad + bc).
Левая часть: (a² + b²)(ab + cd) − ab(a² + b²) + ab(c² + d²) = (a² + b²)ab + (a² + b²)cd − ab(a² + b²) + ab(c² + d²) = a²cd + b²cd + abc² + abd².
Правая часть: (ac + bd)(ad + bc) = a²cd + abc² + abd² + b²cd.
Обе части равны a²cd + b²cd + abc² + abd², тождество доказано.
Правая часть: (ac + bd)(ad + bc) = a²cd + abc² + abd² + b²cd.
Обе части равны a²cd + b²cd + abc² + abd², тождество доказано.
1013. Докажите, что значение выражения (b + c − 2a)(c − b) + (c + a − 2b)(a − c) − (a + b − 2c)(a − b) при любых значениях a, b и c равно 0.
(b + c − 2a)(c − b) = bc − b² + c² − bc − 2ac + 2ab = c² − b² − 2ac + 2ab.
(c + a − 2b)(a − c) = ac − c² + a² − ac − 2ab + 2bc = a² − c² − 2ab + 2bc.
(a + b − 2c)(a − b) = a² − ab + ab − b² − 2ac + 2bc = a² − b² − 2ac + 2bc.
Сумма первых двух: c² − b² − 2ac + 2ab + a² − c² − 2ab + 2bc = a² − b² − 2ac + 2bc. Вычитая третье произведение, получаем (a² − b² − 2ac + 2bc) − (a² − b² − 2ac + 2bc) = 0, что и требовалось доказать.
(c + a − 2b)(a − c) = ac − c² + a² − ac − 2ab + 2bc = a² − c² − 2ab + 2bc.
(a + b − 2c)(a − b) = a² − ab + ab − b² − 2ac + 2bc = a² − b² − 2ac + 2bc.
Сумма первых двух: c² − b² − 2ac + 2ab + a² − c² − 2ab + 2bc = a² − b² − 2ac + 2bc. Вычитая третье произведение, получаем (a² − b² − 2ac + 2bc) − (a² − b² − 2ac + 2bc) = 0, что и требовалось доказать.
1014. Упростите выражение: а) (a + 8)² − 2(a + 8)(a − 2) + (a − 2)²; б) (y − 7)² − 2(y − 7)(y − 9) + (y − 9)².
Каждое выражение имеет вид u² − 2uv + v² = (u − v)².
а) u = a + 8, v = a − 2: ((a + 8) − (a − 2))² = 10² = 100.
б) u = y − 7, v = y − 9: ((y − 7) − (y − 9))² = 2² = 4.
Ответ: а) 100; б) 4.
а) u = a + 8, v = a − 2: ((a + 8) − (a − 2))² = 10² = 100.
б) u = y − 7, v = y − 9: ((y − 7) − (y − 9))² = 2² = 4.
Ответ: а) 100; б) 4.
1015. Упростите: а) 2(a² − 1)² − (a² + 3)(a² − 3) − (1/2)(a² + a − 4)(2a² + 3); б) 4(m³ − 3)² − (m² − 6)(m² + 6) − 9(8 − m + m²)(1 − m).
а) 2(a² − 1)² = 2a^4 − 4a² + 2; (a² + 3)(a² − 3) = a^4 − 9; (1/2)(a² + a − 4)(2a² + 3) = (1/2)(2a^4 + 2a³ − 5a² + 3a − 12) = a^4 + a³ − 2,5a² + 1,5a − 6.
Итог: 2a^4 − 4a² + 2 − a^4 + 9 − a^4 − a³ + 2,5a² − 1,5a + 6 = −a³ − 1,5a² − 1,5a + 17.
б) 4(m³ − 3)² = 4m^6 − 24m³ + 36; (m² − 6)(m² + 6) = m^4 − 36; (8 − m + m²)(1 − m) = 8 − 9m + 2m² − m³, умножаем на 9: 72 − 81m + 18m² − 9m³.
Итог: 4m^6 − 24m³ + 36 − m^4 + 36 − 72 + 81m − 18m² + 9m³ = 4m^6 − m^4 − 15m³ − 18m² + 81m.
Ответ: а) −a³ − 1,5a² − 1,5a + 17; б) 4m^6 − m^4 − 15m³ − 18m² + 81m.
Итог: 2a^4 − 4a² + 2 − a^4 + 9 − a^4 − a³ + 2,5a² − 1,5a + 6 = −a³ − 1,5a² − 1,5a + 17.
б) 4(m³ − 3)² = 4m^6 − 24m³ + 36; (m² − 6)(m² + 6) = m^4 − 36; (8 − m + m²)(1 − m) = 8 − 9m + 2m² − m³, умножаем на 9: 72 − 81m + 18m² − 9m³.
Итог: 4m^6 − 24m³ + 36 − m^4 + 36 − 72 + 81m − 18m² + 9m³ = 4m^6 − m^4 − 15m³ − 18m² + 81m.
Ответ: а) −a³ − 1,5a² − 1,5a + 17; б) 4m^6 − m^4 − 15m³ − 18m² + 81m.
1016. Представьте в виде многочлена (a(a + 2b) + b²)(a(a − 2b) + b²)((a² − b²)² + 4a²b²).
Преобразуем каждый множитель.
a(a + 2b) + b² = a² + 2ab + b² = (a + b)².
a(a − 2b) + b² = a² − 2ab + b² = (a − b)².
(a² − b²)² + 4a²b² = a^4 − 2a²b² + b^4 + 4a²b² = a^4 + 2a²b² + b^4 = (a² + b²)².
Произведение равно ((a + b)(a − b)(a² + b²))² = ((a² − b²)(a² + b²))² = (a^4 − b^4)² = a^8 − 2a^4b^4 + b^8.
Ответ: a^8 − 2a^4b^4 + b^8.
a(a + 2b) + b² = a² + 2ab + b² = (a + b)².
a(a − 2b) + b² = a² − 2ab + b² = (a − b)².
(a² − b²)² + 4a²b² = a^4 − 2a²b² + b^4 + 4a²b² = a^4 + 2a²b² + b^4 = (a² + b²)².
Произведение равно ((a + b)(a − b)(a² + b²))² = ((a² − b²)(a² + b²))² = (a^4 − b^4)² = a^8 − 2a^4b^4 + b^8.
Ответ: a^8 − 2a^4b^4 + b^8.
1017. Докажите тождество: а) (a + b)²(a − b) − 2ab(b − a) − 6ab(a − b) = (a − b)³; б) (a + b)(a − b)² + 2ab(a + b) − 2ab(−a − b) = (a + b)³.
а) Так как b − a = −(a − b), левая часть равна (a − b)((a + b)² + 2ab − 6ab) = (a − b)(a² + 2ab + b² − 4ab) = (a − b)(a − b)² = (a − b)³. Тождество доказано.
б) Так как −a − b = −(a + b), левая часть равна (a + b)(a − b)² + 2ab(a + b) + 2ab(a + b) = (a + b)((a − b)² + 4ab) = (a + b)(a² + 2ab + b²) = (a + b)(a + b)² = (a + b)³. Тождество доказано.
б) Так как −a − b = −(a + b), левая часть равна (a + b)(a − b)² + 2ab(a + b) + 2ab(a + b) = (a + b)((a − b)² + 4ab) = (a + b)(a² + 2ab + b²) = (a + b)(a + b)² = (a + b)³. Тождество доказано.
1018. Докажите тождество (a² + b²)(a^4 − a²b² + b^4) − (a³ − b³)(a³ + b³) = 2b^6.
По формуле суммы кубов (a² + b²)(a^4 − a²b² + b^4) = (a²)³ + (b²)³ = a^6 + b^6. По формуле разности квадратов (a³ − b³)(a³ + b³) = a^6 − b^6.
Левая часть: a^6 + b^6 − a^6 + b^6 = 2b^6. Тождество доказано.
Левая часть: a^6 + b^6 − a^6 + b^6 = 2b^6. Тождество доказано.
1019. Найдите значение выражения: а) (y + 5)(y² − 5y + 25) − y(y² + 3) при y = −2; б) x(x + 3)² − (x − 1)(x² + x + 1) при x = −4; в) (2p − 1)(4p² + 2p + 1) − p(p − 1)(p + 1) при p = 1,5.
а) (y + 5)(y² − 5y + 25) = y³ + 125; y(y² + 3) = y³ + 3y. Выражение: 125 − 3y. При y = −2: 125 + 6 = 131.
б) x(x² + 6x + 9) = x³ + 6x² + 9x; (x − 1)(x² + x + 1) = x³ − 1. Выражение: 6x² + 9x + 1. При x = −4: 96 − 36 + 1 = 61.
в) (2p − 1)(4p² + 2p + 1) = 8p³ − 1; p(p − 1)(p + 1) = p³ − p. Выражение: 7p³ + p − 1. При p = 1,5: 7·3,375 + 1,5 − 1 = 23,625 + 0,5 = 24,125.
Ответ: а) 131; б) 61; в) 24,125.
б) x(x² + 6x + 9) = x³ + 6x² + 9x; (x − 1)(x² + x + 1) = x³ − 1. Выражение: 6x² + 9x + 1. При x = −4: 96 − 36 + 1 = 61.
в) (2p − 1)(4p² + 2p + 1) = 8p³ − 1; p(p − 1)(p + 1) = p³ − p. Выражение: 7p³ + p − 1. При p = 1,5: 7·3,375 + 1,5 − 1 = 23,625 + 0,5 = 24,125.
Ответ: а) 131; б) 61; в) 24,125.
1020. В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество (p² + cq²)(r² + cs²) = (pr + cqs)² + c(ps − qr)². Докажите его.
Левая часть: (p² + cq²)(r² + cs²) = p²r² + cp²s² + cq²r² + c²q²s².
Правая часть: (pr + cqs)² = p²r² + 2cpqrs + c²q²s²; c(ps − qr)² = c(p²s² − 2pqrs + q²r²) = cp²s² − 2cpqrs + cq²r². Сумма: p²r² + c²q²s² + cp²s² + cq²r² (члены 2cpqrs и −2cpqrs взаимно уничтожаются).
Обе части равны p²r² + cp²s² + cq²r² + c²q²s², тождество доказано.
Правая часть: (pr + cqs)² = p²r² + 2cpqrs + c²q²s²; c(ps − qr)² = c(p²s² − 2pqrs + q²r²) = cp²s² − 2cpqrs + cq²r². Сумма: p²r² + c²q²s² + cp²s² + cq²r² (члены 2cpqrs и −2cpqrs взаимно уничтожаются).
Обе части равны p²r² + cp²s² + cq²r² + c²q²s², тождество доказано.